Какими свойствами должны обладать матрицы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матрица
(
A=left(begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {dots} & {a_{1 n}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {ldots} & {a_{2 n}} \ {ldots} & {ldots} & {ldots} & {ldots} \ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {dots} & {a_{m n}}end{array}right)
) представляет собой прямоугольную таблицу чисел, состоящую из (
mathrm{m}
) строк и (
mathrm{n}
) столбцов.
Он имеет размер (
m times n
) и обозначается (
A_{m times n}
) .
Элементы матрицы (
A
) обозначаются буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой находится элемент, а второй — номер столбца.
Две матрицы (
A
) и (
B
) называются равными, если они имеют одинаковый размер и соответствующие им элементы равны, т.е.
(
A_{m times n}=B_{k times p} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}{m=k} \ {n=p} \ {a_{i j}=b_{i j}, i=overline{1, m}, j=overline{1, n}}end{array}right.
)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если (
m=n
), то матрица называется квадратной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы равны нулю, кроме тех, которые расположены на главной диагонали.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Единичные матрицы являются диагональной матрицей, в которой все элементы на главной диагонали равны 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.
Сумма двух матриц (
A
) и (
B
) того же размера (
m times n
) является матрицей (
C
) того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матрицы, т. е. Если (
A_{m times n}=left(a_{i j}right)
) и (
B_{m times n}=left(b_{i j}right)
),
то
(
C_{m times n}=A_{m times n}+B_{m times n}=left(a_{i j}+b_{i j}right)
)
где (
i=overline{1, m}, quad j=overline{1, n}
)
Произведением матрицы (
A_{m times n}=left(a_{i j}right)
) числом (
k in R
) является матрица того же размера (
B_{m times n}=left(b_{i j}right)
)в ,каждый элемент которой получается путем умножения соответствующего элемента матрицы A на число k, т.е.
(
b_{i j}=k cdot a_{i j}
)
где (
i=overline{1, m}
), (
j=overline{1, n}
)
Свойства линейных матричных операций
1. (
A+B=B+A
) — коммутативность (взаимозаменяемый закон) сложения;
2. (
A+(B+C)=(A+B)+C
) — ассоциативность (объединение закона) сложения;
3. для любой матрицы (
A
) существует единственная нулевая матрица (
theta
) такая, что (
A+theta=A
) ;
4. для любой матрицы (
A
) существует единственная матрица (
(-A)=-1 cdot A
) , называемая противоположной, такая, что (
A+(-A)=theta
) где (
theta
) — нулевая матрица;
5.(
1 cdot A=A
)
6.(
alpha cdot(beta A)=(alpha beta) cdot A
)
7.(
(alpha+beta) cdot A=alpha A+beta A
)
8.(
alpha cdot(A+B)=alpha A+alpha B
)
ПРИМЕР
Для матриц (
Delta
) и (
B
) найдите (
2 A+3 B
).
(
A=left(begin{array}{cc}{1} & {2} \ {-1} & {7}end{array}right), quad B=left(begin{array}{cc}{0} & {4} \ {3} & {-2}end{array}right)
)
Найти матрицы (
2 A
) и (
3 mathrm{B}
):
(
2 A=2 cdotleft(begin{array}{cc}{1} & {2} \ {-1} & {7}end{array}right)=left(begin{array}{cc}{2} & {4} \ {-2} & {14}end{array}right)
)
(
3 B=3 cdotleft(begin{array}{cc}{0} & {4} \ {3} & {-2}end{array}right)=left(begin{array}{cc}{0} & {12} \ {9} & {-6}end{array}right)
)
Затем мы найдем их сумму
(
2 A+3 B=left(begin{array}{cc}{2} & {4} \ {-2} & {14}end{array}right)+left(begin{array}{cc}{0} & {12} \ {9} & {-6}end{array}right)=left(begin{array}{cc}{2} & {16} \ {7} & {8}end{array}right)
)
(
2 A+3 B=left(begin{array}{ll}{2} & {16} \ {7} & {8}end{array}right)
)
Произведение матрицы (
A
) размера (
m times n
) и матрицы (
mathrm{B}
) размера (
n times k
) называется матрицей (
C=A B
) размера (
m times k
) , элемент (
c_{i j}
) в i-й строке и j-столбце равен к сумме произведений соответствующих элементов -ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы (
B
):
(
c_{i j}=a_{i 1} cdot b_{1 j}+a_{i 2} cdot b_{2 j}+ldots+a_{i n} cdot b_{n k}=sum_{p=1}^{n} a_{i p} b_{p k}
)
Комментарий. Для матриц (
A
) и (
B
) произведение определено, если число столбцов матрицы (
A
) равно числу строк матрицы (
B
).
Свойства операции умножения матрицы
(
A,B,C
) — матрицы, (
alpha, beta in R
)
1.(
A cdot(B cdot C)=(A cdot B) cdot C
) — ассоциативность умножения;
2.(
alpha cdot(A cdot B)=(alpha A) B
)
3.(
(A+B) cdot C=A cdot C+B cdot C
)
4.(
A cdot(B+C)=A cdot B+A cdot C
)
Если матрица (
A
) имеет размер (
m times n
) , то равенство (
E_{m} A=A E_{n}=A
) справедливо только в том случае, если (
E_{m}, E_{n}
) является единичной матрицей m-го и n-го порядка.
ПРИМЕР 2
Найти работу с матрицей
(
A=left(begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {0} & {4}end{array}right), quad B=left(begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-1} \ {0} & {2} & {-3}end{array}right)
)
Матрица A имеет размеры 2 x 2, а матрица B имеет размеры 2 x 3, то есть число столбцов первой матрицы совпадает с числом столбцов второй матрицы, что означает, что их можно умножить. В результате умножения получаем матрицу C с размерами 2 x 3:
(
A_{2 times 2} B_{2 times 3}=C_{2 times 3}
)
(
C_{2 times 3}=left(begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {0} & {4}end{array}right) cdotleft(begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-1} \ {0} & {2} & {-3}end{array}right)= left(begin{array}{ccc}{-1 cdot 1+2 cdot 0} & {-1 cdot 2+2 cdot 2} & {-1 cdot(-1)+2 cdot(-3)} \ {0 cdot 1+4 cdot 0} & {0 cdot 2+4 cdot 2} & {0 cdot(-1)+4 cdot(-3)}end{array}right) =left(begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {-5} \ {0} & {8} & {-12}end{array}right)
)
(
C=left(begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {-5} \ {0} & {8} & {-12}end{array}right)
)
Матрица (
A^{t}
) размера (
n times m
) называется транспонированной в матрицу (
A
) размера (
m times n
) , если элемент (
a_{j i}
)матрицы (
A
) вместо (
(i, j)
) , или, в противном случае, матрица, полученная из этой замены каждого из ее строки с столбцом с тем же номером. Так что если
(
A=left(begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {dots} & {a_{1 n}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {dots} & {a_{2 n}} \ {ldots} & {dots} & {dots} & {ldots} \ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {dots} & {a_{m n}}end{array}right)
)
тот
(
A^{t}=left(begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{21}} & {dots} & {a_{m 1}} \ {a_{12}} & {a_{22}} & {dots} & {a_{m 2}} \ {dots} & {dots} & {cdots} & {dots} \ {a_{1 n}} & {a_{2 n}} & {dots} & {a_{m n}}end{array}right)
)
Свойства переноса матрицы
(
A, B
)- матрицы, (
alpha in R
)
1.(
left(A^{t}right)^{t}=A
)
2.(
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}
)
3.(
(A B)^{t}=B^{t} A^{t}
)
4. (
(alpha A)^{t}=alpha A^{t}
)
Свойства матриц — вопрос, который у многих может вызвать сложности. Поэтому стоит рассмотреть его подробнее.
Матрица — это таблица прямоугольного вида, включающая в себя числа и элементы. Также это некая совокупность чисел и элементов какой-либо другой структуры, которые записаны как прямоугольная таблица, состоящая из определенного количества строк и столбцов. Такая таблица обязательно должна быть заключена в скобки. Это могут быть округлые скобки, скобки квадратного типа или двойные скобки прямого типа. Все числа в матрице носят название – элемент матрицы, а также они имеют свои координаты в поле таблицы. Матрица в обязательном порядке обозначается прописной буквой латинского алфавита.
Свойства матриц или математических таблиц включают несколько аспектов. Сложение и вычитание матриц проходит строго поэлементно. Умножение и деление их выходит за рамки обычной арифметики. Чтобы умножить одну матрицу на другую, нужно вспомнить сведения о скалярном произведении одного вектора на другой.
С = (а, b) = а 1 b 1 + а 2 b 2 + … + а N b N
Свойства умножения матриц имеют некоторые нюансы. Произведение одной матрицы на другую является некоммутативным, то есть (a, b) не равно (a, b).
В основные свойства матриц входит такое понятие, как мера приличия. Мерой приличия для таких таблиц считается определитель. Определитель — это некая функция нескольких элементов квадратной матрицы, входящей в порядок n. Иными словами определитель называется детерминант. У таблицы со вторым порядком определитель приравнивается к разности произведений чисел или элементов двух диагоналей этой матрицы А11А22-А12A21. Определитель для матрицы с более высоким порядком выражается определителями ее блоков.
Чтобы понять, насколько вырождена матрица, было введено такое понятие, как ранг (rank) матрицы. Ранг — это количество независимых линейно столбцов и строк данной таблицы. Матрица может быть инвертируема лишь тогда, когда ранг ее является полным, то есть rank (A) равен N.
Свойства определителей матрицы включают в себя:
1. Для квадратной матрицы определитель не изменится при ее транспонировании. То есть детерминант данной матрицы будет приравниваться к детерминанту этой таблицы в транспонированном виде.
2. Если какой-либо столбец или какая-либо строка будет включать в себя одни нули, тогда определитель такой матрицы будет приравниваться к нулю.
3. Если в матрице любые два столбца или любые две строки поменять местами, то знак определителя такой таблицы изменит свое значение на противоположное.
4. Если любой столбец или любую строку матрицы умножить на какое-либо число, то и определитель ее умножается на это же число.
5. Если в матрице любой из элементов записан, как сумма двух или более компонентов, то определитель такой таблицы записывается, как сумма нескольких определителей. Каждый определитель такой суммы – это определитель матрицы, у которой вместо элемента, представленного суммой, записано одно из слагаемых этой суммы соответственно очередности определителя.
6. Если в какой-либо матрице имеются две строки с одинаковыми элементами или два одинаковых столбца, то определитель этой таблицы приравнивается к нулю.
7. Также определитель приравнивается к нулю у такой матрицы, у которой два столбца или две строки пропорциональны друг другу.
8. Если элементы какой-либо строки или столбца умножить на какое-либо число, а затем прибавить к ним элементы в другой строке или столбце этой же матрицы, соответственно, то определитель данной таблицы не изменится.
В общей сложности, можно сказать, что свойства матриц представляют собой набор сложных, но в то же время необходимых знаний о сущности таких математических единиц. Все свойства матрицы напрямую зависят от ее компонентов и элементов.
Матрицы: (A), (B), (C) | Присоединенная матрица: ({C^*}) |
Определение матрицы
Матрицей размером (m times n) называется прямоугольная таблица элементов ({a_{ij}}), принадлежащих
некоторому множеству (как правило, это числа или функции), состоящая из (m) строк и (n) столбцов.(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & ldots & {{a_{1n}}}\
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & ldots & {{a_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & ldots & {{a_{mn}}}
end{array}} right))Квадратная матрица (n)-го порядка имеет (n) строк и (n) столбцов.
Квадратная матрица (left( {{a_{ij}}} right)) называется симметричной (или симметрической),
если ({{a_{ij}}} = {{a_{ji}}}), т.е. элементы матрицы расположены симметрично относительно главной диагонали.Квадратная матрица (left( {{a_{ij}}} right)) называется кососимметричной (или антисимметричной),
если ({{a_{ij}}} = -{{a_{ji}}}).Квадратная матрица называется диагональной,
если все ее элементы вне главной диагонали равны нулю.Диагональная матрица называется единичной, если все элементы на ее
главной диагонали равны (1). (Все остальные элементы при этом равны (0).)Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой матрицей.
Равенство матриц
Две матрицы (A) и (B) равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер (m times n) и их соответствующие элементы равны.Сложение и вычитание матриц
Две матрицы (A) и (B) можно складывать (или вычитать) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер
(m times n). Если(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & ldots & {{a_{1n}}}\
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & ldots & {{a_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & ldots & {{a_{mn}}}
end{array}} right)),(B = left( {{b_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{11}}} & {{b_{12}}} & ldots & {{b_{1n}}}\
{{b_{21}}} & {{b_{22}}} & ldots & {{b_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{b_{m1}}} & {{b_{m2}}} & ldots & {{b_{mn}}}
end{array}} right),)то сумма этих матриц равна
(A + B = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}} + {b_{11}}}&{{a_{12}} + {b_{12}}}& ldots &{{a_{1n}} + {b_{1n}}}\
{{a_{21}} + {b_{21}}}&{{a_{22}} + {b_{22}}}& ldots &{{a_{2n}} + {b_{2n}}}\
vdots & vdots &{}& vdots \
{{a_{m1}} + {b_{m1}}}&{{a_{m2}} + {b_{m2}}}& ldots &{{a_{mn}} + {b_{mn}}}
end{array}} right).)Умножение матрицы на число
Пусть даны постоянное число (k) и матрица (A = left( {{a_{ij}}} right)). Тогда(kA = left( {{ka_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{ka_{11}}} & {{ka_{12}}} & ldots & {{ka_{1n}}}\
{{ka_{21}}} & {{ka_{22}}} & ldots & {{ka_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{ka_{m1}}} & {{ka_{m2}}} & ldots & {{ka_{mn}}}
end{array}} right).)Умножение матриц
Пусть даны две матрицы (A) и (B). Произведение матриц (AB)
существует тогда и только тогда, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй. Если(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & ldots & {{a_{1n}}}\
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & ldots & {{a_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & ldots & {{a_{mn}}}
end{array}} right)),(B = left( {{b_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{11}}} & {{b_{12}}} & ldots & {{b_{1k}}}\
{{b_{21}}} & {{b_{22}}} & ldots & {{b_{2k}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{b_{n1}}} & {{b_{n2}}} & ldots & {{b_{nk}}}
end{array}} right),)то произведение (AB) представляется в виде матрицы
(AB = C = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{c_{11}}} & {{c_{12}}} & ldots & {{c_{1k}}}\
{{c_{21}}} & {{c_{22}}} & ldots & {{c_{2k}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{c_{m1}}} & {{c_{m2}}} & ldots & {{c_{mk}}}
end{array}} right)),где элементы матрицы C равны
({c_{ij}} = {a_{i1}}{b_{1j}} + {a_{i2}}{b_{2j}} + ldots + {a_{in}}{b_{nj}} = sumlimits_{lambda = 1}^n {{a_{ilambda }}{b_{lambda j}}} ),
(left( {i = 1,2, ldots ,m,;j = 1,2, ldots ,k} right))
Так, например, если
(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{31}}}
end{array}} right),;;B = left( {{b_i}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1}}\
{{b_2}}\
{{b_3}}
end{array}} right),)
то произведение (AB) равно(AB = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{31}}}
end{array}} right) cdot left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1}}\
{{b_2}}\
{{b_3}}
end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{c_{11}}}\
{{c_{21}}}
end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}{b_1} + {a_{12}}{b_2} + {a_{13}}{b_3}}\
{{a_{21}}{b_1} + {a_{22}}{b_2} + {a_{23}}{b_3}}
end{array}} right).)Транспонированная матрица
Если строки и столбцы в матрице (A) поменять местами, то новая матрица будет называться
транспонированной. Транспонированная матрица обозначается
как (A^T).Матрица A называется ортогональной, если
(A{A^T} = I),
где (I) − единичная матрица.Если произведение матриц (AB) определено, то
({left( {AB} right)^T} = {B^T}{A^T}).Присоединенная матрица
Если (A) является квадратной матрицей порядка (n), то соответствующая ей присоединенная матрица,
обозначаемая как (C^*), представляет собой матрицу, составленную из
алгебраических дополнений ({A_{ij}}) к элементам транспонированной матрицы (A^T).След матрицы
Если (A) − квадратная матрица порядка (n), то ее след,
обозначаемый как (text{tr }A), равен сумме элементов, расположенных на главной диагонали:
(text{tr }A = {a_{11}} + {a_{22}} + {a_{33}} + ldots + {a_{nn}}.)Обратная матрица
Обратная матрица определяется как матрица (A^{-1}), такая, что в результате умножения исходной матрицы (A)
на (A^{-1}) получается единичная матрица (I):
(A{A^{ — 1}} = I).
Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц (определитель которых не равен нулю).
Если (A) − квадратная невырожденная матрица порядка (n), то обратная матрица
(A^{-1}) находится по формуле:
({A^{ — 1}} = largefrac{{{C^*}}}{{det A}}normalsize),
где (C^*) − присоединенная матрица, а (det A) − определитель матрицы (A).Если произведение матриц (AB) определено, то
({left( {AB} right)^{ — 1}} = {B^{ — 1}}{A^{ — 1}}).Собственные векторы и собственные значения матрицы
Если (A) является квадратной матрицей, то ее собственные векторы (X)
удовлетворяют матричному уравнению
(AX = lambda X),
а собственные значения (lambda) определяются характеристическим уравнением
(left| {A — lambda I} right| = 0).
Лекция 1. «Матрицы и основные действия над ними. Определители
Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.
А =
Основные действия над матрицами.
Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.
Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.
Определение. Матрица вида:
= E,
называется единичной матрицей.
Определение. Если amn = anm, то матрица называется симметрической.
Пример. — симметрическая матрица
Определение.Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
cij = aij bij
С = А + В = В + А.
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
(А+В) =А В А() = А А
Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.
2А = , 2А + В = .
Операция умножения матриц.
Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
AB = C; .
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Свойства операции умножения матриц.
1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.
Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
АЕ = ЕА = А
Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
AO = O; OA = O,
где О – нулевая матрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа верно соотношение:
(AB) = (A)B = A(B).
5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ, где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.
6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.
Что такое det будет рассмотрено ниже.
Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
А = ; В = АТ=;
другими словами, bji = aij.
В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC)T = CTBTAT,
при условии, что определено произведение матриц АВС.
Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число = 2. Найти АТВ+С.
AT = ; ATB = = = ;
C = ; АТВ+С = + = .
Пример. Найти произведение матриц А = и В = .
АВ = = .
ВА = = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример. Найти произведение матриц А=, В =
АВ = = = .
Определители (детерминанты).
Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
det A = , где (1)
М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:
det A = (2)
Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:
detA = , i = 1,2,…,n. (3)
Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.
Определитель единичной матрицы равен 1.
Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.
Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:
det A = det AT;
Свойство 2. det ( A B) = det A det B.
Свойство 3. det (AB) = detAdetB
Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.
Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.
Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.
Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.
Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)
Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.
Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1d2 , e = e1e2 , f = f1f2 , то верно:
Пример. Вычислить определитель матрицы А =
= -5 + 18 + 6 = 19.
Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).
1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.
2- й способ: AB = , det (AB) = 718 — 819 = 126 –
– 152 = -26.