В каком классе изучают свойства функций
Урок № 1, 2
Тема урока: Функции, их свойства и графики
Цели урока.
Обобщить и систематизировать материал вышеуказанной темы; совершенствовать умения учащихся определять свойства функции по ее графику; совершенствовать умения и навыки учащихся строить графики функций; развивать графическую культуру учащихся.
Продолжить работу над формированием математической речи, логического мышления, развития творческих способностей учащихся.
Воспитывать уважительное отношение к общечеловеческим ценностям. Продолжить работу над формированием гуманных отношений на уроке.
Наглядные пособия: мультимедийная доска.
Ход урока
I Организационный момент.
II Проверка домашнего задания.
На доске изображено решение номеров, заданных на дом. Учитель комментирует это решение. Учащиеся проверяют выполнение домашних упражнений.
В-3 № 14 ( 1 – 4 )
Найдите область значения функции.
1)
Составим уравнение .
Оно равносильно уравнению , которое имеет решение, если a – 9 ≥ 0, т.е. при a ≥ 9 . Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом,
E ( f) = [ 9 ; +∞ ) .
2).
Составим уравнение x² + 3 = a .
Оно равносильно уравнению x² + 3 = a , которое имеет решения, если
a – 3 ≥ 0 , т.е. при a≥ 3 . . Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом,
E ( f) = [ 3 ; +∞ ) .
3).
Построим график функции
По графику видно, что
E(g)= (−∞ ; 7 ]
4) φ (x)= 3 + 4 x + x²
Составим уравнение 3 + 4 x + x² = a .
Оно равносильно уравнению x² + 4 x + ( 3 – a ) = 0 которое имеет решение при D≥ 0 .
D = 4² −- 4 · 1 · ( 3 – a ) = 16 – 12 + 4 a = 4 + 4 a ;
4 + 4 a ≥ 0 ; 4 a ≥ -4 ; a ≥ −1 .
Значит, E (φ) = [ −1 ; +∞).
В — 3 №24 ( 1 – 5 ; 8 )
Является ли четной или нечетной функция?
1).
D( f) = ( −∞ ; +∞ ).
Область определения данной функции симметрична относительно 0.
Значит, f(x ) – четная функция.
2).
D(f) = ( −∞ ; +∞ ) .
Область определения данной функции симметрична относительно 0.
f( −-x) ≠ f(x) ; f(x) ≠ −- f (x).
значит, f ( x ) не является ни четной, ни нечетной функцией.
3).
x² − 16 ≠ 0 ; |x| ≠ 4 ; x1 ≠ −4 ; x2 ≠ 4 .
Область определения данной функции симметрична относительно 0.
Значит, f(x)четная функция.
4).
3 − |x| ≥ 0 ; |x| ≤ 3 ; −3 ≤ x ≤ 3 .
Следовательно, D(f) = [−3 ; 3] .
Область определения данной функции симметрична относительно 0.
Значит, f(x)четная функция.
5).
D ( f ) = (−∞ ; +∞ ).
Область определения данной функции симметрична относительно 0.
Значит, f(x)нечетная функция.
8).
f ( x ) = 16x ; D ( f )= (−∞ ;+∞).
Область определения данной функции симметрична относительно 0.
f (−x ) = 16∙ (−x ) = −16x = −f ( x ) .
Значит, f(x)нечетная функция.
В-3 № 16 ( 7 )
На рисунке изображен график функции y = f(x) , определенной на промежутке [−5 ; 4 ]. Пользуясь графиком, найдите количество корней уравнения f (x) = aв зависимости от значения a.
Решение
а) При а = −3 ; уравнение имеет один корень.
б) При a = 1,5 ; уравнение имеет два корня.
в) При уравнение имеет три корня.
г) При уравнение корней не имеет.
III Мотивация учебной деятельности учащихся.
Учитель напоминает учащимся, что с понятием функции и свойствами функции они познакомились в курсе алгебры. Эта тема является важной и в курсе начал анализа. На уроках в 10 классе учащиеся расширили и углубили знания о функциях. Сегодня на уроках учащимся предстоит обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме «Функции, их свойства и графики»; подготовиться к контрольной работе.
Учитель предлагает каждому из учащихся, соответственно с целью уроков, поставить свои цели, над достижением которых они будут трудиться.
IV Обобщение и систематизация знаний.
Разминка. Учитель разбивает класс на три команды: I ряд – первая команда; II ряд – вторая команда; III ряд – третья команда. Представители команд, поочередно, задают другим командам вопросы по теории, подготовленные заранее.
V Обобщение и систематизация умений и навыков.
1. На доске изображены задания теста-диагностики. Учащиеся в тетради записывают ответы. Затем на доске появляются правильные ответы. Учащиеся выполняют проверку.
Тест
1). Укажите значение функции y = −x2 + 2, если x = 2.
А) 8 Б) 5 В) −5 Г) −2 Д) 7
2). Функция задана формулой f(x) – x2+ 4x .
Найдите все значения x, для которых f(x ) = 5 .
А) 0 Б) −5; 1 В) −1 Г) 1 Д) −5
3). Областью определения какой из данных функций является множество действительных чисел?
А) Б) В) Г)
4). У какой из приведенных функций область определения совпадает с множеством значений?
А) y = x2Б) В) Г)
5). Укажите функцию, график которой проходит через точку A (2 ; 1)
А) y = x + 1 Б) y = x2В) y = x3 − 7 Г) y = 4 − x2 Д)
6). Укажите эскиз графика функции y = x2 + ax + b ,
если a2 − 4 b > .
7) Какая из приведенных функций является строго убывающей в своей области определения?
А) y = π − 2xБ) y = x2 + 2 xВ)
Г) Д) y = π+ 2 x
8) Известно, что y = f(x)возрастает на множестве действительных чисел. Укажите верное неравенство.
А) f( −5) > f( 5 )Б)f( −5 ) ≤ f( 5 )
В) Г)
9) Найдите нули функции y = −3x + 2
А) 0,5 Б) ⅔ В) 1,5 Г) −2 Д) 0
10) На каком из рисунков изображен график четной функции?
11) На каком из рисунков изображен график нечетной функции?
12) На рисунке изображен график функции y = f(x) , определенный на множестве действительных чисел. Пользуясь рисунком, найдите множество решений неравенства f(x) > 0 .
А) (−1 ; 3 )
Б) (−3 ; 2 )
В)
Г)
Ответы к тестовым заданиям
1) Г 5) В 9) Б
2) Б 6) В 10) Б
3) А 7) А 11) В
4) Г 8) В 12) Г
2) Работа в группах
Учитель объединяет учащихся в группы: I группа – парты 1, 3, 5; II группа – парты 2, 4, 6. I группа – «художники»; II группа – «аналитики». Группы получают задания.
Задание для «художников»
Начертите эскиз графика функции, используя следующие сведения об этой функции: f(x) – нечетная функция; нули функции x = −6 ; x = ; x = …; наименьшее значение функции равное −2 достигается при x =−3. При x = 3 достигается наибольшее значение, равное … Функция убывает на промежутках [ −8 ; −3 ] и …; возрастает на промежутке [ −3 ;…].
f( −8 ) = 1. Область определения функции:
Множество значений функции: .
Задание для «аналитиков»
По графику функции, представленному на рисунке, полностью опишите ее свойства.
Во время работы групп учитель консультирует учеников, отвечает на вопросы, которые у них возникают.
Группы выделяют представителей для презентации решения заданий у доски.
Учащиеся записывают в тетрадях оба задания.
Решение задания «художников»
Решение задания «аналитиков»
Область определения функции: D(f) = [−6 ; 6 ].
Множество значений функции: E (f) = [−2 ; 4 ].
Функция является четной, т.к. график функции симметричен относительно оси ординат. Нули функции: .
Функция возрастает на промежутке [ −4 ; −2 ] ; [ 0 ; 2 ] ; [ 4 ; 6 ].
Функция убывает на промежутке [ −6 ; −4 ] ; [−2 ; 0 ] ; [ 2 ; 4 ] .
Промежутки знакопостоянства: y > 0 при
; y < 0 при
.
Наибольшее значение функции равно 4 при x = −6 и x = 6.
Наименьшее значение функции равно −2 при x = −4 x = 4.
В то время, как представители команд у доски готовятся к ответу, учитель предлагает учащимся класса устные упражнения.
3) Решение устных упражнений на геометрическое преобразование графиков функций
График какой функции изображен на рисунке?
А) y = x2+ 3
Б)y = x2 – 3
В) y = −x2 + 3
Г) y = −x2 − 3
График какой функции изображен на рисунке?
А)
Б)
В)
Г)
3) Как надо перенести параллельно график функции , чтобы получить график функции ?
А) на 4 единицы вверх;
Б) на 4 единицы вниз;
В) на 4 единицы вправо;
Г) на 4 единицы влево.
4) График функции y = x2 отобразили симметрично относительно оси абсцисс, а затем параллельно перенесли на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. График какой функции получили?
А) y = −( x2 + 2 )В)y= (−x− 2 )2
Б) y = −x2+ 2Г)y = −(x − 2 )2
5) На рисунке изображен эскиз графика функции y = f(x) .Укажите эскиз функции графика y = f(x + 2 ) .
Среди приведенных графиков определите график функции
y = −( x − 1)2
7) График функции параллельно перенесли на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс, а затем параллельно перенесли на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. График какой функции получили?
А) В)
Б) Г)
Ответы к устным упражнениям
1) В 2) Б 3) В 4) Б
5) А 6) Б 7) А
4) Решение письменных упражнений
Дидактический материал: А.Г. Мерзляк; В.Б. Полонский; Е.М.Рабинович; М.С. Якир «Алгебра и начала анализа 10. сборник задач и контрольных работ»; Харьков; «Гимназия»; 2010: В – 1 № 19 ( 2 ) ; № 20 ( 2 ).
В – 1 № 19 ( 2 )
Постройте график функции; укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функции:
Решение
1) f(x) =−2 x −3 ; x ≤ −4
x
-5
-4
f(x)
7
5
2) f ( x ) = x2 + 2 x −3 ; −4 < x < 2
x
-3
-2
-1
1
f(x)
-3
-4
-3
3) f(x) = 5 ; x ≥ 2
Функция f (x)убывает на промежутке .
Функция f(x )возрастаетна промежутке .
В – 1 № 20 (2 )
Найдите область определения функции и постройте ее график:
Решение
x2 −5x≠ 0 ; x(x −5 ) ≠ ; x ≠ ; x ≠ 5
Значит, надо построить график функции на области определения
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
f( x )
-1
-1⅓
-2
-4
4
2
1⅓
1
5. «Мозговой штурм»
После оглашения условия задания, которое необходимо решить, учитель предлагает всем высказать свои идеи, комментарии, пути решения. Все предложения записываются на доске в порядке их оглашения без комментариев или вопросов. После обговариваются и оцениваются предложенные идеи. Учащиеся записывают в тетрадях решение задания.
Задание На рисунке изображен график функции y = ax2 + bx + c.
Определите знаки параметров a , b , c .
Решение
Так как ветви параболы направлены вниз, то a< 0 . Поскольку
y(0 ) = c , то из рисунка видно, что с > 0 . Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле: ; −b> 0 ; b < 0 .
Значит, a< 0 , b< 0 , c > .
Ответ: a < 0, b < 0, c > .
6. Дополнительное задание
При каком наименьшем целом значении m функция
y = 7mx + 6 − 20xявляется возрастающей?
Решение
y = 7mx + 6 − 20x ;
y = (7m − 20)x + 6 − это линейная функция. Она будет строго возрастающей в своей области определения, если 7m − 20 > 0 ;
7 m > 20 ; ; .
Значит, m = 3 − наименьшее целое значение, при котором данная функция является возрастающей.
Ответ: при m = 3 .
VI Итог уроков
Учитель задает классу вопросы.
Понравилась ли вам форма проведения урока?
Была ли ваша работа на уроке продуктивной?
Удалось ли вам заполнить пробелы в знаниях?
Достигнута ли цель урока?
На какие моменты нужно обратить внимание при подготовке к контрольной работе?
VII Домашнее задание
По сборнику из В–3 № 13 ( 16 ; 17 ; 19 ) ; № 15 ( 3 ; 4 ) ; № 19 ( 2 ) ;
№ 20 ( 2 ) .
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- функция, аргумент функции, значение функции
- график функции, преобразование графика функции
- свойства функции, исследование свойств функции
Глоссарий по теме урока
Определение
Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
х – независимая переменная, аргумент,
у — зависимая переменная, значение функции
Определение
Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).
Определение
Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).
Определение
Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
- для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).
Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).
Определение
Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.
Определение
Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1<х2, выполняется неравенство у1<у2.
Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких что, х1<х2, выполняется неравенство у1>у2.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.
Дополнительная литература:
Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.
Открытые электронные ресурсы:
Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.
https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. https://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Исследование функции и построение графика
Схема исследования функции на примере функции
1) Область определения функции
Знаменатель дроби не равен нулю:
Получили область определения
D(y)=
- Множество значений функции
Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).
Получили 
- Четность / нечетность функции
D(y)= 
— симметрична относительно нуля
,
следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ
- Нули функции
Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение 
Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ
- Промежутки знакопостоянства
у>0 при 
у<0 при 
- Монотонность
Найдем производную
Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.
Определим знаки производной в полученных промежутках.
точки -1, 1 – выколоты, 0 — закрашена
Производная положительна, а значит, функция возрастает при 
.
Производная отрицательна, а значит, функция убывает при 
- Экстремум
х=0 – стационарная точка.
В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.
Значение функции в точке максимума
- Дополнительные точки
у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4
- Отразим найденные свойства графически, построим график функции
2. Решение задачи на оптимизацию
Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.
В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:
1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:
- вводят независимую переменную х
- выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
- выражают у через х и другие известные величины
- устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х
2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.
3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.
Рассмотрим план решения на примере задачи.
Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?
Решение:
1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.
Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4×2 у.е.
Тогда на 2 объект направлено (24 — x) рабочих – суточная заработная плата (24 — x)2 (у.е.)
Всем рабочим нужно заплатить 4×2+(24 — x)2 = 5×2 -48x+576 (у.е.)
Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.
2 этап.
Рассмотрим функцию f(x)=5×2-48x+576.
Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x0 = 4,8 .
3 этап. Перевод на язык задачи
Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.
24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.
Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.
Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.
Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Исследуйте функции на четность.
Функции |
у=0 |
у=sin(x+5π/2) |
у=lg(x+10) |
|
Решение:
- у=0
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, — симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.
Данная функция одновременно четна и нечетна.
- у=sin(x+5π/2)
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x
у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная
- у=lg(x+10)
логарифмируемое выражение должно быть положительным
x+10>0; x>-10
D(y): x>-10
Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, — функция общего вида.
Найдем область определения D(f)
Проверим второе условие
Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.
Зайдем с другого конца, выразим -f(x):
домножим на сопряженное
Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.
Ответ:
Функции | Четность / нечетность |
у=0 | и четная, и нечетная |
у=sin(x+5π/2) | четная |
у=lg(x+10) | общего вида |
| нечетная |
2. 
Решение:
Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.
Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.
В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.
Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7
Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим: 
Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.
Выполним построения выделенных функций.
Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.
Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.
Ответ: 
Опыт, накопленный отечественной школой, показывает, что изучение конкретных функций в основной школе полезно проводить по следующей методической схеме:
1. Рассмотреть конкретные ситуации или задачи, приводящие к данной функции.
На этом этапе учащиеся должны убедиться в целесообразности изучения данной функции, исходя из практики или необходимости дальнейшего развития теории.
2. С формулировать определение функции и записать её в виде формулы.
На этом этапе учащиеся выявляют существенные свойства данной функции, формулируют её определения, записывают функцию формулой, проводят исследование входящих в эту формулу параметров. Здесь же идет усвоение определения функции, выполняются упражнения на распознавание.
3. Ознакомить учащихся с графиком дайной функции.
На этом этапе учащиеся учатся изображать изучаемую функцию графически, отличать по графику данную функцию от других, заданных графиками функций, устанавливать влияние параметров на характер графического изображения функции.
4. Исследовать функцию на основные свойства.
Здесь учащиеся находят область определения и множество значений функции, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули, экстремумы функции, исследуют её на четность или нечетность, периодичность, ограниченность, непрерывность и т.д.
В основной школе свойства функций устанавливаются по се графику, то есть на основе наглядных соображений, и лишь немногие обосновываются аналитически. В 7 — 9 классах школьники учатся истолковывать свойства функций на трёх «языках»: графическом, словесном и символическом. Это умение формируется постепенно и имеет большое дидактическое значение.
5. Использовать изученные свойства функций при решении различных задачу в частности уравнений и неравенств.
Этот этап является этапом закрепления основных понятий и теоретических положений, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирования соответствующих умений и навыков.
Эта методическая схема является планом — программой для изучения любой функции.
Замечание. Изучение функций в школе связано с новым видом специфической учебной деятельности — исследовательской. Было бы неправильно утверждать, что до изучения функций учащиеся нс встречались с исследовательской деятельностью, но она не была прямой целью деятельности, и учебная задача формировать исследовательские умения не ставилась. При изучении в школе первой конкретной функции — линейной необходимо поставить такую цель.
Специфическая особенность функционального материала выражается в том, что функции есть модели реальных процессов. Изучение отдельных свойств процессов осуществляется путем исследования функций. Конкретные функции обладают определенными свойствами, которые есть абстракции реальных свойств процессов. Установить наличие и специфику для конкретной функции определенных свойств — значит исследовать функцию.
Методы выяснения определенных свойств функций есть методы исследования. Они могут выполняться средствами: 1) координатного метода; 2) элементарного анализа (с помощью уравнений и неравенств); 3) математического анализа (с помощью производной).
Исследовательские умения, необходимые при изучении функций — это умения выделить условия, при которых функция обладает определенным свойством, и умения выяснить, как с изменением условий изменяются свойства функций. Формирование названных специфических исследовательских умений окажет влияние на формирование исследовательской деятельности вообще.
При изучении функций в школе формируются и используются следующие специфические исследовательские действия: установить числовое множество, на котором функция существует, и то множество значений, которое она может принимать на этом множестве; выяснить, убывающая или возрастающая функция на своей области определения или некоторых её частях, имеет ли максимумы или минимумы, каковы корни у функции, если они есть, четна функция или нечетна, периодична или нет, какой вид графика данной функции и т. д.
Для линейной функции это: выяснение характеристического свойства этой функции, множества её значений, влияния коэффициентов к и b на поведение функции, установление вида графика и влияние на его положение значений к и Ь, корней функции и т.д. Рассмотрим все это более подробно.