Какими свойствами обладают стороны четырехугольника описанного
Определение 1. Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником.
Рис.1
Замечание. В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
Рис.2
В силу теоремы об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки, справедливы равенства
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AE + BE + CG + DG,
Поскольку
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
AD + BC = AB + CD,
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, длины сторон которого удовлетворяют равенству
AD +BC = AB + CD,
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O, и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Рис.3
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAD, то справедливо равенство
OH = OE,
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ADC, то справедливо равенство
OH = OG,
Следовательно, справедливы равенства
OH = OE = OG,
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH, касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
Рис.4
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC.
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B, пересекает прямую DC в точке K, и возможны два случая:
- Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
- Точка C лежит между точками K и D (рис.6)
Рис.5
Рис.6
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольниканеравенству треугольниканеравенству треугольника. Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
- Главная
- Вопросы & Ответы
- Вопрос 3153300
Гость:
6 лет назад
7
1
Лучший ответ:
Гость:
Суммы противоположных сторон равны:
a c=b d
6 лет назад
Ваш ответ (не менее 20 символов):
Ваше имя (не менее 2 символов):
Лучшее из галереи:
Другие вопросы:
Гость:
Ребят пожалуйста помогите. 1) Что из перечисленного способствовало объединению русских земель а) единая православная вера б) единая культура в) один язык г) необходимость борьбы против внешних врагов д) всё вышеперечисленное Заранее спасибо =)
6 лет назад
Смотреть ответ
6
1
Гость:
Помогите решить плизззз!
6 лет назад
Смотреть ответ
2
1
Гость:
Первый уровень на котором изучаются химические вещества?
6 лет назад
Смотреть ответ
3
1
Гость:
Cсоставить стих из слов like,climb,run,fun
6 лет назад
Смотреть ответ
3
1
Гость:
1 было ли сходство в правлении римской республики и афинами при перикле ? если да то в чём ? 2 каково содержание второй части библии — нового завета можно ответить только на один вопрос
6 лет назад
Смотреть ответ
3
1