Какими свойствами обладает сумма векторов

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Определение 1

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Определение 2

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Определение 3

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Определение 4

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Определение 5

Исходные данные: векторы a→ и b→ . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор AB→, равный вектору а→; из полученной точки undefined – вектор ВС→, равный вектору b→. Соединив точки undefined и C, получаем отрезок (вектор) АС→, который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Определение 6

Исходные данные: векторы a→ , b→, c→,d→. Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a→; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b→; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B, а полученный отрезок (вектор) AB→ – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Определение 7

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a→и b→есть сумма векторов a→ и — b→.

Умножение вектора на число

Определение 8

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k, необходимо учитывать следующие правила:
— еслиk>1, то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0<k<1, то это число приведет к сжатию вектора в 1k раз;
— если k<0, то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k=1, то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a→и число k=2;
2) вектор b→и число k=-13.

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a→, b→, c→и произвольные действительные числа λ и μ.

1. Свойство коммутативности: a⇀+b→=b→+a→ .
   
2. Свойство ассоциативности: (a→+b→)+c→=a→+(b→+c→) .
   
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0→ ⃗). Это очевидное свойство: a→+0→=a→
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1·a→=a→. Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
5. Любой ненулевой вектор a→ имеет противоположный вектор -a→ и верным является равенство: a→+(-a→)=0→. Указанное свойство — очевидное.
6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a→ = λ · ( µ·a→ ). Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a→ = λ ·a→ + µ · a→.
8. Второе распределительное свойство: λ · (a→ +b→) = λ ·a→ + λ · b→ .
   Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
   

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Пример 1

Задача: упростить выражение a→-2·(b→+3·a→)
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a→-2·(b→+3·a→)=a→-2·b→-2·(3·a→)
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a→-2·b→-2·(3·a→)=a→-2·b→-(2·3)·a→=a→-2·b→-6·a→
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые:a→-2·b→-6·a→=a→-6·a→-2·b→
— затем по первому распределительному свойству получаем:a→-6·a→-2·b→=(1-6)·a→-2·b→=-5·a→-2·b→Краткая запись решения будет выглядеть так:a→-2·(b→+3·a→)=a→-2·b→-2·3·a→=5·a→-2·b→
Ответ: a→-2·(b→+3·a→)=-5·a→-2·b→

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектор представляет собой направленный сегмент, который обозначается (
A B
) (начиная с точки (
A
), заканчивается в точке (
B
)) или (
overline{a}
)

Если концы вектора задаются по их координатам в пространстве (
A=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
), (
B=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
) , то координаты вектора

(
A B=left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}right)
)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модуль (длина) вектора (
overline{c}=left(c_{1}, c_{2}, c_{3}right)
) представляет собой число, равное расстоянию от начала до конца вектора, оно вычисляется по формуле:

(
overline{c}=sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}
)

Вектор называется одиночным, если его длина равна единице. Вектор называется нулевым, если его длина равна нулю.

Векторы (
overline{a}
) и
(
overline{b}
) называются коллинеарными, если они либо лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Суммой векторов (
overline{a}
) и (
overline{b}
) (конец вектора (
overline{a}
) совпадает с началом (
overline{b}
) называется вектор (
overline{c}
) , начало которого совпадает с началом вектора (
overline{a}
), конец – с концом вектора (
b
).Графически это выглядит так, как показано на рисунке (правило треугольника)

Операция сложения векторов обладает такими свойствами
1.(
overline{a}+overline{b}=overline{b}+overline{a}
)

(
(overline{a}+overline{b})+overline{c}=a+(overline{b}+overline{c})
)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разностью векторов (
overline{a}
) и (
b
) называется такой вектор (
overline{c}
) , который в сумме с вектором (
overline{b}
) дает вектор (
overline{a}
).

Если векторы (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
) и (
overline{b}=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
) заданы своими координатами, то сумма/разность этих векторов

(
overline{a} pm overline{b}=left(a_{1} pm b_{1}, a_{2} pm b_{2}, a_{3} pm b_{3}right)
)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Произведением вектора (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
) на число (
alpha
) называется вектор (
alpha cdot overline{a}=left(alpha a_{1}, alpha a_{2}, alpha a_{3}right)
) , который параллелен вектору (
overline{a}
) , сонаправлен (
overline{a}
) , если (
alpha>0
) , и противоположно направлен, если (
alphaОПРЕДЕЛЕНИЕ

Скалярным произведением векторов (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
) и (
overline{b}=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
) называется число (
(overline{a}, overline{b})
), равное сумме произведений соответствующих координат:

(
(overline{a}, overline{b})=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}
)

Также скалярное произведение векторов можно вычислить как произведение модулей векторов на косинус угла между ними:

(
(overline{a}, overline{b})=|overline{a}||overline{b}| cos (overline{a}, overline{b})
)

Свойства скалярного произведения

1.(
(overline{a}, overline{b})=(overline{b}, overline{a})
)

2.(
(overline{a}, overline{b}+overline{c})=(overline{a}, overline{b})+(overline{a}, overline{c})
)

3.(
(lambda overline{a}, overline{b})=(overline{a}, lambda overline{b})=lambda(overline{a}, overline{b})
)

4.(
(overline{a}, overline{a}) geq 0
)

5.(
(overline{a}, overline{a})=|overline{a}|^{2}
)

6.(
(overline{a}, overline{b})=0 Leftrightarrow overline{a} perp overline{b}
)

Векторным произведением векторов (
a
) и (
overline{b}
) называется вектор (
overline{c}=overline{a} times overline{b}
) (или (
overline{c}=[overline{a}, b]
) )такой, что:

1) вектор (
overline{c}
) ортогонален векторам (
overline{a}
) и (
overline{b}
) :

(
overline{c} perp overline{a}, overline{c} perp overline{b}
)

2) векторы (
overline{a}
), (
overline{b}
) и (
overline{c}
) образуют правую тройку;

3) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах (
overline{a}
) и (
overline{b}
) :

(
|overline{c}|=|overline{a}| cdot|overline{b}| cdot sin (overline{a}, overline{b})
)

Если векторы (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
) и (
overline{b}=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
) заданы своими координатами, то векторное произведение находится по формуле:

(
[overline{a}, overline{b}]=left|begin{array}{ccc}{overline{i}} & {overline{j}} & {k} \ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}}end{array}right|
)

Свойства векторного произведения

1.(
[overline{a}, overline{b}]=-[overline{b}, overline{a}]
)

2.(
[overline{a}, overline{b}+overline{c}]=[overline{a}, overline{b}]+[overline{a}, overline{c}]
)

3.(
[lambda overline{a}, overline{b}]=[overline{a}, lambda overline{b}]=lambda[overline{a}, overline{b}]
)

4.(
[overline{a}, overline{b}]=overline{0}
) если векторы (
a
) и (
overline{b}
)коллинеарные

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Смешанным произведением (
overline{a}
), (
overline{b}
) и (
overline{c}
) векторов называется скалярное произведение вектора (
overline{a}
) на векторное произведение векторов (
overline{b}
) и (
overline{c}
) :

(
(overline{a}, overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{b} times overline{c})
)

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение равно нулю, если векторы (
overline{a}
), (
overline{b}
) и (
overline{c}
) – компланарны

2. Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов (
overline{a}
), (
overline{b}
) и (
vec{C}
) равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах

3. Смешанное произведение векторов (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
), (
overline{b}=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
), (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
), (
overline{b}=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
) и (
overline{c}=left(c_{1}, c_{2}, c_{3}right)
) , заданных своими координатами, равно значению определителя, составленного из координат этих векторов:

(
(overline{a}, overline{b}, overline{c})=left|begin{array}{lll}{a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}} \ {c_{1}} & {c_{2}} & {c_{3}}end{array}right|
)

4. Если тройка векторов (
overline{a}
), (
overline{b}
) и (
overline{c}
) правая, то смешанное произведение (
(overline{a}, b, overline{c})>0
) , если левая, то (
(overline{a}, overline{b}, overline{c})5.(
(lambda overline{a}, overline{b}, overline{c})=(overline{a}, lambda overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{b}, lambda overline{c})=lambda(overline{a}, overline{b}, overline{c})
)

6.(
(overline{a}+d, overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{b}, overline{c})+(d, overline{b}, overline{c})
)

(
(overline{a}, overline{b}, overline{c})+(overline{b}, overline{c}, overline{a},)+(overline{c}, overline{a}, overline{b})=0
)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1