Какими свойствами обладает нормальное распределение случайных погрешностей

Нормальный закон распределения получил широкое применение в практической метрологии, что объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей (теоремой Ляпунова), согласно которой распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному во всех случаях, когда результаты наблюдений формируются под влиянием большого числа независимых факторов, каждый из которых оказывает незначительное действие по сравнению с суммарным действием остальных.

Нормальный закон распределения характеризуется свойствами:

— погрешность может принимать непрерывный ряд значений от до ;

— равные по абсолютному значению погрешности и равновероятны;

— малые по абсолютному значению погрешности более вероятны, чем большие.

Нормальный закон распределения описывается выражением

, (2.9)

где — среднеквадратическое отклонение погрешности .

График нормального закона распределения представлен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – График нормального закона распределения плотности

вероятности случайных погрешностей

Из графиков следует, что центр распределения находится в нуле, т.е. в точке нулевой погрешности . По мере удаления от центра распределения вероятность появления погрешности уменьшается. Чем больше , тем выше вероятность появления более точных результатов измерений, о чем говорит более высокий уровень максимума при большем .

В теории вероятностей часто используется понятие дисперсия D, характеризующая рассеяние погрешностей относительно центра распределения

. (2.10)

Дисперсия D связана с среднеквадратическим отклонением соотношением

. (2.11)

Для определения вероятности при нормальном законе распределения случайной погрешности необходимо вычислить интеграл

. (2.12)

Для симметричного интервала распределения погрешностей от до будем иметь

. (2.13)

Если в подинтегральном выражении вероятности заменить погрешность на относительную , получим нормированный нормальный закон распределения плотности вероятностей

. (2.14)

График нормированного нормального закона распределения соответствует нормальному закону распределения, приведенному на рисунке 2.1 при .

На практике часто используют интеграл вероятностей , который численно равен вероятности при интегрировании нормированного нормального закона распределения плотности вероятностей в пределах от нуля до z, где

. (2.15)

Значения интеграла вероятностей в зависимости от пределов интегрирования приведены в таблице 2.1. Пользуясь таблицей значений интеграла вероятностей можно выполнять вычисления интервала погрешности измерений по заданной вероятности или вероятности по заданным границам погрешности измерений.

Для оценки погрешности измерений используют среднеквадратическое отклонение , равновероятную () погрешность , максимальную () погрешность .

Таблица 2.1 — Значения интеграла вероятностей

Пользуясь таблицей значений интеграла вероятностей можно выполнять вычисления интервала погрешности измерений по заданной вероятности или вероятности по заданным границам погрешности измерений.

Нормальный закон распределения применяют для обработки результатов измерений при числе повторных измерений больше 20.

Случайные погрешности представляют собой погрешности, в появлении каждой из которых не наблюдается какой-либо закономерности. Случайные погрешности неизбежны и неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Они вызывают рассеяние результатов при многократном и достаточно точном измерении одной и той же величины при неизменных условиях, вызывая различие их в последних значащих цифрах (результаты многократных измерений одной и той же постоянной величины в одних и тех же условиях с помощью одного и того же измерительного устройства одним и тем же оператором могут отличаться друг от друга).

Каждая случайная погрешность возникает в результате воздействия многих факторов, каждый из которых сам по себе не оказывает значительного влияния на результат.

Так как случайные погрешности не поддаются исключению из результатов измерений, то при рассмотрении их влияния на результат измерений задача сводится к изучению свойств совокупностей результатов отдельных наблюдений.

Природа и физическая сущность случайных и систематических составляющих погрешности измерений различна. Однако оценки неисключенных остатков систематических погрешностей и случайных погрешностей осуществляются на основе обработки статистического материала, представляющего собой совокупность результатов измерений.

Для изучения случайных погрешностей используются методы теории вероятностей и математической статистики. Эти методы применимы и для неисключенных систематических составляющих.

Распределения случайных величин

Дискретные и непрерывные случайные величины. По своей физической природе измеряемые величины могут быть детерминированными и случайными.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, отдельные значения которой можно перенумеровать.

Примерами дискретных случайных величин являются число изделий, отказавших в процессе испытаний, количество бракованных деталей в партии и т. д.

Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток. Примеры непрерывных случайных величин: отклонение размера изготовленной детали от номинала, погрешность измерения, величина отклонения формы детали, высота микронеровностей в данной точке поверхности и т. д.

Случайная величина не может характеризоваться каким-то одним значением. Для нее необходимо обязательно указать множество возможных значений и вероятностные характеристики, заданные на этом множестве.

Дискретные случайные величины полностью характеризуются вероятностями своих отдельных значений

Равенство X = хк является случайным событием.

Так как равенства X = хк образуют полную группу событий, то

Вероятностным описанием случайной величины является закон ее распределения.

Законом распределения случайной величины называют соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан в различной форме. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, например:

Такую таблицу называют рядом распределения. Графическое изображение ряда распределения называют полигоном распределения случайной величины (рис. 5.1).

Задание функции распределения является обшей формой закона распределения как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Функцию распределения можно задать в виде интегрального закона распределения (функция распределения) и в виде дифференциального закона распределения (плотность вероятности).

Функцией распределения случайной величины X называют вероятность выполнения неравенства X< х

где х — неслучайный аргумент.

Рис. 5.1. График распределения вероятностей дискретной случайной величины

Функция распределения F(x) должна быть неубывающей функцией своего аргумента, т. е. F(-°°) = 0 и F(+°°) = 1.

На рис. 5.2 приведены графики функции распределения F(x) для дискретной (5.2, а) и непрерывной (5.2, б) случайных величин.

Рис. 5.2. Функции распределения дискретной: а) и непрерывной б) случайных величин

Плотностью вероятности непрерывной случайной величины называют производную функцию распределения

Плотность вероятности со(х) обладает следующими свойствами: ср(х) > 0 — неотрицательна;

Функция распределения F(x) выражается через плотность вероятности (р (х)

Функция распределения Я», как и вероятность, есть величина безразмерная, а плотность вероятности имеет размерность, обратную размерности случайной величины.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на заданный интервал (а, Ь) определяется выражением

Геометрически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ь (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Одно- (а) и двухмодальное (б) распределение вероятности случайной величины х

Дифференциальные функции распределения случайных погрешностей могут подчиняться различным законам. На практике подавляющее число этих функций достаточно хорошо описываются четырьмя законами распределения.

В связи с этим в метрологической практике для описания случайных погрешностей обычно используют ограниченный набор стандартных аппроксимирующих функций распределения: нормальную, равномерную, по треугольнику, по трапеции.

Нормальную функцию распределения имеют следующие случайные величины:

• • погрешности, складывающиеся из достаточно большого числа (можно считать, что более 5) независимых составляющих при отсутствии доминирующей составляющей;
• • флуктуационные погрешности разного рода;
• • случайные погрешности средств измерений.

Равномерные функции распределения имеют:

• • погрешности результатов наблюдений, округленных в ближайшую сторону отсчетов с неточностью целого (или долевого) деления шкалы;
• • погрешности приближенных вычислений с округлением до ближайшей значащей цифры;
• • погрешности регулировки в допустимых пределах ±а
• • люфтовые погрешности;
• • погрешности от изменения температуры в допустимых пределах;
• • вариация показаний измерительных приборов.

Треугольные функции распределения (по Симпсону) имеют погрешности измерений длины, угла, интервала времени по двум отсчетам (начало — конец). По этому закону распределены, например, погрешности суммы или разности двух равномерно распределенных величин. Если, например, отклонения размеров отверстия и вала распределены в пределах их допусков равномерно, а допуски вала и отверстия примерно одинаковы, то зазоры в пределах их допуска будут распределены по закону треугольника.

Аналитические зависимости, области определения, соотношения между параметрами и графики наиболее часто используемых законов распределения представлены в табл. 5.1.

Наиболее распространенной функцией распределения случайной погрешности является нормальная функция (функция Гаусса). При об-

Таблица 5.1

Наиболее часто применяемые законы распределения

работке результатов наблюдений при априорно неизвестном законе распределения случайных погрешностей проводят проверку нормальности распределения результатов наблюдений. Для этого используют методы проверки статистических гипотез. Поскольку проверка статистических гипотез основывается на опытных данных, то при принятии решения всегда возможны ошибки.

Когда отвергается в действительности верная гипотеза, то совершается ошибка первого рода.

Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости q: q = 1 — а, где а — вероятность правильного принятия верной гипотезы.

Когда принимается в действительности неверная гипотеза, то совершается ошибка второго рода. В общем случае вычислить ее вероятность нельзя. Однако при уменьшении вероятности ошибки первого рода вероятность ошибки второго рода увеличивается. Поэтому не имеет смысла выбирать слишком низкий уровень значимости q. Обычно на практике q принимают в пределах 1…5%. Критерии проверки статистических гипотез приводятся в справочной литературе по теории вероятностей и в нормативных документах по метрологии, в частности в ГОСТ 8.207 «ГСП. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения».

Контрольные вопросы

• 1. Распределение каких случайных величин, как правило, подчиняется нормальному закону?
• 2. Распределение каких случайных величин, как правило, подчиняется равномерному закону?
• 3. Распределение каких случайных величин, как правило, подчиняется треугольному закону?
• 4. Распределение каких случайных величин, как правило, подчиняется трапециевидному закону?
• 5. Ошибки первого и второго рода.