Какими свойствами обладает непрерывная функция
Определение непрерывности функции
Определение
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности этой точки, если существует предел при x стремящемся к x0, и если этот предел равен значению функции в x0:
.
Используя определения предела функции по Коши и по Гейне, можно дать развернутые определения непрерывности функции в точке.
Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
Определение непрерывности справа (слева)
Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x0 равен значению функции в x0:
.
Более подробно, см. «Определение непрерывности функции в точке».
Свойства непрерывных в точке функций
Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда существует такая окрестность U(x0), на которой функция ограничена.
Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
при .
Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции и непрерывны в точке .
Тогда функции , и непрерывны в .
Если , то и функция непрерывна в точке .
Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.
Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций».
Непрерывность сложной функции
Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция t = g(x) непрерывна в точке x0. И пусть функция f(t) непрерывна в точке t0 = g(x0).
Тогда сложная функция f(g(x)) непрерывна в точке x0.
Доказательство
Предел сложной функции
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции t = g(x) при x → x0, и он равен t0:
.
Здесь точка x0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(t) непрерывна в точке t0.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)), и он равен f(t0):
.
Доказательство
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство
Точки разрыва
Определение точки разрыва
Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в , но не является непрерывной ⇑ в этой точке.
Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.
Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.
Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .
Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.
Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.
Подробнее, см. «Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры».
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b, соответственно.
Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .
Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.
Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.
Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.
Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .
Подробнее, см. «Свойства функций, непрерывных на отрезке».
Обратные функции
Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.
Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .
Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).
Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции . Для убывающей – .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.
Подробнее, см. «Обратные функции – определение и свойства».
Свойства и непрерывность элементарных функций
Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.
Показательная функция
Показательная функция f(x) = ax, с основанием a > 0 – это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
.
Теорема. Свойства показательной функции
Показательная функция имеет следующие свойства:
(П.0) определена, при , для всех ;
(П.1) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(П.2) строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;
(П.3) ;
(П.3*) ;
(П.4) ;
(П.5) ;
(П.6) ;
(П.7) ;
(П.8) непрерывна для всех ;
(П.9) при ;
при .
Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств показательной функции».
Логарифм
Логарифмическая функция, или логарифм, y = loga x, с основанием a – это функция, обратная к показательной функции с основанием a.
Теорема. Свойства логарифма
Функция, y = loga x, имеет следующие свойства:
(Л.1) определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента,;
(Л.2) имеет множество значений ;
(Л.3) строго возрастает при , строго убывает при ;
(Л.4) при ;
при ;
(Л.5) ;
(Л.6) при ;
(Л.7) при ;
(Л.8) при ;
(Л.9) при .
Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств логарифма».
Экспонента и натуральный логарифм
В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a, которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e:
.
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e – натуральным логарифмом: .
Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Число e – его смысл и доказательство сходимости последовательности»;
«Экспонента, е в степени х»;
«Натуральный логарифм, функция ln x».
Степенная функция
Степенная функция с показателем степени p – это функция f(x) = x p, значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p.
Кроме этого, f(0) = 0 p = 0 при p > 0.
Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m, степенная функция определена и для отрицательных x. В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».
Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
Степенная функция, y = x p, с показателем p имеет следующие свойства:
(С.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(С.2) имеет множество значений
при ,
при ;
(С.3) строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(С.4) при ;
при ;
(С.5) ;
(С.5*) ;
(С.6) ;
(С.7) ;
(С.8) ;
(С.9) .
Подробнее, см. «Непрерывность и свойства степенной функции».
Тригонометрические функции
Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x) и котангенс (ctg x), непрерывны на своих областях определения.
Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x) и арккотангенс (arcctg x), непрерывны на своих областях определения.
Подробнее, см. «Доказательство непрерывности тригонометрических функций».
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 15-08-2018 Изменено: 09-06-2020
Next: Свойства нормального распределения
Up: Случайные величины и их
Previous: Примеры абсолютно непрерывных распределений
§ 6. Свойства функций распределения
Общие свойства функций распределения.
Функцией распределения случайной величины
мы назвали функцию . Основные свойства этой функции
заключены в теореме:
Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство
непрерывности вероятностной меры.
Доказательство свойства (F2).
Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности
и ограниченности функции . Остается лишь доказать
равенства
,
и
.
Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь
подпоследовательности , так как существование предела
влечёт совпадение всех частичных пределов.
Докажем, что при .
Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий :
Пересечение всех этих событий состоит из тех и только тех , для которых
меньше любого вещественного
числа. Но для любого элементарного исхода значение
вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел.
Иначе говоря, пересечение событий не содержит элементарных
исходов, т.е. . По свойству непрерывности меры,
при .
Точно так же докажем остальные свойства.
Покажем, что при , т.е.
.
Обозначим через событие . События вложены:
а пересечение этих событий снова пусто оно означает, что больше
любого вещественного числа.
По свойству непрерывности меры, при .
Доказательство свойства (F3).
Достаточно доказать, что при .
Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности:
QED
Следующая теорема говорит о том, что три доказанных свойства полностью
описывают класс функций распределения. То, что любая функция распределения
ими обладает, мы с вами доказали, а теорема утверждает, что любая функция
с такими свойствами есть функция распределения.
Теорема 21.
Если функция удовлетворяет свойствам (F1)(F3),
то есть функция распределения некоторой случайной величины , т.е. найдётся вероятностное пространство
и случайная величина на нём такая,
что .
Эту теорему мы доказывать не станем. Хотя её можно попробовать
доказать конструктивно предъявив то вероятностное
пространство (проще всего отрезок с -алгеброй борелевских
множеств и мерой Лебега) и ту случайную величину, о существовании
которых идёт речь.
Упражнение 31. Непременно попробуйте сделать это!
Например, можно попробовать, не подойдёт ли
.
Помимо отмеченных в теореме 20, функции распределения обладают
следующими свойствами:
(F4)
В любой точке разница равна :
или, иначе говоря, .
Упражнение 32.
Докажите сами (так же, как мы доказывали (F2) и (F3)).
Заметим, что разница между пределом
при стремлении к справа и значением в точке есть
величина скачка функции распределения. Эта величина равна нулю, если функция
распределения непрерывна (справа) в точке . Слева функция распределения непрерывна всегда.
Доказательство.
Докажем только равенство (13). Все остальные
равенства следуют из него и свойства (F4).
Заметим, что , и первые два события
несовместны. Поэтому или
, что и требовалось доказать.
QED
Функция распределения дискретного распределения.
Мы видели, как выглядят функции распределения некоторых
дискретных распределений. Согласно определению дискретного распределения,
его функция распределения может быть найдена по таблице распределения так:
Из свойств (F4) и (F5) получаем следующее свойство.
Свойство 8.
Случайная величина имеет дискретное распределение тогда
и только тогда, когда функция распределения
ступенчатая функция. При этом значения суть точки скачков , и величины скачков.
Упражнение 33. Доказать, что любая функция распределения
имеет не более чем счётное число точек разрыва (или «скачков»).
Сколько скачков величиной более 1/2 может иметь функция
распределения? Не больше одного или не больше двух?
А скачков величиной более 1/3? Более 1/4?
Свойства абсолютно непрерывного распределения.
Пусть случайная величина имеет абсолюлютно непрерывное распределение
с плотностью . Тогда функция распределения в любой точке может быть найдена по плотности распределения так:
| (14) |
Поскольку функция распределения однозначно определяет распределение
случайной величины (эту фразу стоит как следует обдумать!), можно считать возможность представить функцию распределения
интегралом (14) от неотрицательной функции определением
абсолютно непрерывного распределения.
(f3)
Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное
распределение, то её функция распределения всюду непрерывна.
Этот факт следует из свойства 7 и из (F4).
Заметим, что (f3) есть также следствие представления
(14) и непрерывности интеграла как функции верхнего предела.
(f4)
Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное
распределение, то её функция распределения дифференцируема почти всюду, и
Заметим, что любая функция распределения дифференцируема
почти всюду. Например, функции распределения равномерного распределения
и распределения Бернулли дифференцируемы всюду, кроме двух точек.
Но у равномерного распределения плотность существует, а у распределения Бернулли
нет. Поэтому возможность дифференцировать функцию распределения
никакого отношения к существованию плотности не имеет.
Даже если мы дополнительно потребуем непрерывности функции распределения,
этого не будет достаточно для абсолютной непрерывности распределения.
Например, далее мы увидим, что функция распределения сингулярного распределения непрерывна
и дифференцируема почти всюду, однако плотности у этого распределения нет,
так как производная функции распределения почти всюду равна нулю.
Опираясь на свойства
(f4) и (14), можно сформулировать такой критерий
абсолютной непрерывности распределения: распределение с функцией распределения
абсолютно непрерывно, если при всех имеет место равенство:
Из определения абсолютно непрерывного распределения и свойства 7
сразу следует свойство:
(f5)
Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное
распределение, то для любых имеют место равенства:
Функция распределения сингулярного распределения.
Функция распределения смешанного распределения.
Функция распределения смешанного распределения есть линейная комбинация
функций распределения дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного
распределений. Если смешивать только дискретное и абсолютно непрерывное распределения,
то функция распределения будет иметь разрывы в точках значений дискретного
распределения и участки непрерывного роста, приращение функции
на которых восстанавливается по её производной.
Next: Свойства нормального распределения
Up: Случайные величины и их
Previous: Примеры абсолютно непрерывных распределений
N.Ch.
Выше мы определили свойство непрерывности функции при заданном значении . Положим теперь, что функция определена в конечном промежутке
Если она непрерывна при любом значении х из этого промежутка, то говорят, что она непрерывна в промежутке . Заметим при этом, что непрерывность функции на концах промежутка состоит в следующем:
Все непрерывные функции обладают следующими свойствами:
1. Если функция непрерывна в промежутке то существует в этом промежутке, по крайней мере, одно такое значение при котором принимает свое наибольшее значение и, по крайней мере, одно такое значение при котором функция принимает свое наименьшее значение.
2. Если функция непрерывна в промежутке причем и если k — любое число, заключающееся между , то существует в промежутке по крайней мере, одно такое значение при котором значение равно k; в частности, если разных знаков, то существует внутри промежутка по крайней мере, одно такое значение при котором обращается в нуль.
Эти два свойства становятся непосредственно ясными, если принять во внимание, что в случае непрерывности функции соответствующий ей график будет представлять собою непрерывную кривую. Это замечание не может, конечно, служить доказательством. Самое понятие о непрерывной кривой, наглядное с первого взгляда, оказывается чрезвычайно сложным при ближайшем его рассмотрении. Строгое доказательство указанных двух свойств, так же как и следующего, третьего, основано на теории иррациональных чисел. Мы примем эти свойства без доказательства.
В последних номерах настоящего параграфа мы выясним основы теории иррациональных чисел и связь этой теории с теорией пределов и свойствами непрерывных функций. Заметим, что второе свойство непрерывных функций можно еще формулировать так: при непрерывном изменении от а до b непрерывная функция проходит, по крайней мере, один раз через все числа, лежащие между
На рис. 48 и 49 изображен график непрерывной в промежутке функции, у которой На рис. 48 график один раз пересекает ось ОХ, и при соответствующем значении X функция обращается в нуль. В случае рис. 49 таких значений будет не одно, а три.
Мы переходим теперь к третьему свойству непрерывных функций, которое является менее наглядным, чем два предшествующих.
3. Если непрерывна в промежутке и если есть некоторое значение из этого промежутка, то в силу условия (19) [34] (заменяя с на ) для любого заданного положительного существует такое зависящее, очевидно, от , что
причем мы считаем, конечно, также принадлежащим промежутку . (Если, например, то обязательно больше а, а если то Но число может зависеть не только от , но и от того, какое именно значение из промежутка мы рассматриваем. Третье свойство непрерывных функций заключается в том, что на самом деле для любого заданного в существует одно и то же для всех значений из промежутка
Рис. 48.
Рис. 49.
Иными словами, если непрерывна в промежутке то для любого заданного положительного существует такое положительное что
для любых двух значений из промежутка удовлетворяющих неравенству
Это свойство называется равномерной непрерывностью. Таким образом, если функция непрерывна в промежутке (а, b), то она будет равномерно непрерывна в этом промежутке.
Отметим еще раз, что мы предполагаем функцию непрерывной не только для всех лежащих внутри промежутка но и для значений
Мы поясним свойства равномерной непрерывности еще на одном простом примере. Предварительно перепишем предыдущие неравенства в другом виде, заменяя букву на и на . При этом представляет собою приращение независимой переменной и соответствующее приращение функции.
Свойство равномерной непрерывности запишется так:
где любые две точки из промежутка (а, b).
Для примера рассмотрим функцию
В данном случае мы имеем
При любом заданном значении выражение дающее приращение нашей функции, стремится, очевидно, к нулю, если приращение независимой переменной стремится к нулю. Этим еще раз подтверждается [34], что взятая функция непрерывна при всяком значении х. Тем самым она будет непрерывна, например, в промежутке . Покажем, что она будет равномерно непрерывна в этом промежутке. Нам нддо удовлетворить неравенству
соответствующим подбором числа в неравенстве причем должны принадлежать промежутку имеем
Но наибольшее значение в промежутке равно двум, и потому мы можем заменить предыдущее неравенство более сильным:
Будем считать во всяком случае . При этом и мы можем переписать предыдущее неравенство в виде:
Неравенство (22) будет, наверное, удовлетворено, если мы подчиним условию . Таким образом, h должно удовлетворять двум неравенствам
Следовательно, за число мы можем взять наименьшее из двух чисел 1 и
При малых s (а именно при мы должны взять во всяком случае очевидно, что найденное будет, при заданном , одним и тем же для всех из промежутка
Указанные свойства могут уже не иметь места в случае разрывных функций или функций, непрерывных только внутри промежутка. Рассмотрим функцию, график которой изображен на рис. 46. Она определена на промежутке и имеет разрыв при Среди ее значений имеются сколь угодно близкие к единице, но она не принимает значения, равного единице, и значений, больших единицы. Таким образом, среди значений этой функции нет наибольшего. Точно так же среди этих значений нет и наименьшего. Элементарная функция не принимает внутри промежутка (0, 1) ни наибольшего, ни наименьшего значения. Если рассматривать эту же функцию в замкнутом промежутке (0, 1), то она будет достигать своего наименьшего значения при х = 0 и наибольшего при х = 1.
Рассмотрим еще функцию, непрерывную в промежутке открытом слева.
При стремлении х к нулю аргумент беспредельно растет, и колеблется между и не имеет предела при Покажем, что указанная функция не обладает равномерной непрерывностью в промежутке Рассмотрим два значения: где — целое положительное число. Оба они принадлежат упомянутому промежутку при любом выборе . Далее, мы имеем
Таким образом,
При беспредельном возрастании целого положительного числа разность стремится к нулю, а разность остается равной единице. Отсюда видно, что не существует положительного для промежутка такого, что из (21) следует это соответствует выбору в формуле (20).
Возьмем функцию При первый множитель стремится к нулю, а второй не превышает единицы по абсолютной величине, а потому при При второй множитель не имеет смысла, но если мы дополним определение нашей функции, положив т. е. будем считать при , то получим функцию, непрерывную в замкнутом промежутке (0, 1). Функции обладают, очевидно, непрерывностью при любом отличном от нуля.