Какими свойствами обладает множество действительных чисел
Примеры числовых множеств
— множество натуральных чисел.
— множество целых чисел.
— множество целых неотрицательных чисел.
— множество рациональных чисел.
— множество действительных чисел.
Свойства множества действительных чисел
Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.
1. Оно упорядоченное: для двух любых различных чисел и имеет место одно из двух соотношений либо .
2. Множество плотное: между любыми двумя различными числами и ( ) содержится бесконечное множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству
.
3. Множество непрерывное.
Пусть множество разбито на два непустых подмножества и таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел выполняется неравенство .
Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству
( ).
Оно отделяет числа из классов и . Число является либо наибольшим числом в классе (тогда в классе нет наименьшего числа) либо наименьшим числом в классе (тогда в классе нет наибольшего числа).
1.2. Функции заданные явно и неявно и параметрически
Функция называется явнозаданной, если действия, выполняемые для ее вычисления, указаны и можно их осуществить для .
Функция может быть задана неявно. Форма ее задания в имеет вид
, (1)
где — символ функции двух аргументов, заданной явно.
Например,
.
Теперь нет явного правила вычисления функции по ее аргументу . Однако, в этом случае оно может быть легко получено в виде
или .
Под неявно заданной функцией
понимается такая, подстановка которой в уравнение (1) обращает его в тождество
.
Зависимость от можно задать с помощью третьей переменной в виде
,
где .
Этот способ задания функции называется параметрическим. В частности при получается — явный способ задания функции.
2. Графики элементарных функций
2.1. Степенная функция
Степенная функция задается следующим аналитическим выражением:
, (1)
где — действительное число[2].
Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени . Например, если — целое положительное (натуральное) число, то областью определения степенной функции является множество действительных чисел . В этом случае получается следующий ряд степенных функций: , , … Степенные функции с нечетными показателями степени являются нечетными, а с четными показателями степени – четными. Графики некоторых нечетных функций приведены на рис. 1, а четных – на рис. 2.
Рис. 1. — сплошная линия, — пунктирная линия
Рис. 2. — сплошная линия, — пунктирная линия
Если — целое отрицательное число, то в этом случае степенная функция определена для всех действительных значений , кроме . Если степень является четным отрицательным числом, то степенная функция является четной. В противном случае она является нечетной. Эти утверждения проиллюстрированы на рис. 3 и 4.
Рис. 3. Степенная функция
Рис. 4. Степенная функция
Среди степенных функций с показателем степени, являющимся рациональной дробью рассмотрим функцию . Поскольку рассматривается арифметическое значение корня, то областью определения функции будет множество неотрицательных действительных чисел ( ). График этой степенной функции представлен на рис. 5.
Рис. 5. Степенная функция
График функции представлен на рис. 6. Областью определения функции является вся действительная ось.
Рис. 6. Степенная функция
2.2. Показательная функция
Показательная функция задается следующим аналитическим выражением:
, (1)
где и — действительное число.
Показательная функция с указанными ограничениями для основания степени определена для любых значений ( ). Вид показательной функции существенно зависит от основания степени . Если , то функция является убывающей (см. рис. 1). Если , то функция является возрастающей (см. рис. 2).
Рис. 1. Показательная функция .
Рис. 2. Показательная функция .
Отметим, что графики всех показательных функций проходят через одну и ту же точку с координатами .
2.3. Логарифмическая функция
Логарифмическая функция задается следующим аналитическим выражением:
, (1)
где и — действительное число. Она понимается как число, которое должно быть степенью числа , чтобы получить . Иначе говоря, значение функции должно быть таким, чтобы выполнялось соотношение
.
Число называется основанием логарифмической функции. Поскольку любая степень положительного числа дает также положительное число, то областью определения логарифмической функции (1) является множество положительных вещественных чисел ( ). Вид логарифмической функции существенно зависит от величины основания логарифма . Если , то функция является убывающей (см. рис. 1). Если , то функция является возрастающей (см. рис. 2).
Рис. 1. Логарифмическая функция .
Рис. 2. Логарифмическая функция .
Отметим, что графики всех логарифмических функций проходят через одну и ту же точку с координатами .
2.4. Тригонометрические функции
2.4.1. Функция
Аргумент называется углом. Угол определяется как отношение длины дуги части окружности, проведенной из вершины угла как из центра, к величине радиуса окружности. Угол является безразмерной величиной. Однако условно его считают выраженным в радианах. Отметим, что угол может выражаться в градусах. Для острых углов, т. е. для углов величиной функция синуса определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для остальных значений аргумента функция синуса определяется как ордината конца подвижного радиуса единичной окружности. Очевидно, что функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция синуса .
Областью определения функции синуса является все множество действительных чисел ( ).
2.4.2. Функция
Для острых углов, т. е. для углов величиной функция косинуса определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для остальных значений аргумента функция косинуса определяется как абсцисса конца подвижного радиуса единичной окружности. Очевидно, что функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция косинуса .
Областью определения функции косинуса является все множество действительных чисел ( ).
2.4.3. Функция
Для острых углов, т. е. для углов величиной функция тангенса определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему прямоугольного треугольника или как отношение синуса к косинусу
. (1)
Для остальных значений аргумента функция тангенса определяется как отношение ординаты конца подвижного радиуса единичной окружности к его абсциссе или как ордината точки пересечения подвижного луча с прямой перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через точку с координатами . Функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция тангенса .
Областью определения функции косинуса является все множество действительных чисел кроме тех, в которых функция косинуса обращается в нуль, т. е. кроме
,
где ( ).
2.4.4. Функция
Для острых углов, т. е. для углов величиной функция котангенса определяется как отношение прилежащему катета противолежащего к прямоугольного треугольника или как отношение косинуса к синусу
. (1)
Для остальных значений аргумента функция тангенса определяется как отношение абсциссы конца подвижного радиуса единичной окружности к его ординате или как абсцисса точки пересечения подвижного луча с прямой перпендикулярной оси ординат и проходящей через точку с координатами . Функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция тангенса .
Областью определения функции котангенса является все множество действительных чисел кроме тех, в которых функция синуса обращается в нуль, т. е. кроме
,
где ( ).
2.5. Обратные тригонометрические функции
2.5.1. Функция
Величина называется углом. Величина определяется равенством
. (1)
Поскольку функция синуса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал
.
Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку значение функции (1) по модулю не превосходит единице, то областью определения функции является .
График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция арксинуса .
2.5.2. Функция
Величина называется углом. Величина определяется равенством
. (1)
Поскольку функция косинуса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал
.
Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку значение функции (1) по модулю не превосходит единице, то областью определения функции является .
График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция арккосинуса .
2.5.3. Функция
Величина называется углом. Величина определяется равенством
. (1)
Поскольку функция тангенса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал
.
Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку функция (1) может принимать любое действительное значение, то областью определения функции является .
График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция арктангенса .
2.5.4. Функция
Величина называется углом. Величина определяется равенством
. (1)
Поскольку функция котангенса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал
.
Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку функция (1) может принимать любое действительное значение, то областью определения функции является .
График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция арккотангенса .
[1] В учебнике Шнейдера В. Е. и др. «Краткий курс высшей математики. Т. 1» к основным элементарным функциям относят постоянную.
[2]В учебнике Шнейдера В. Е. и др. «Краткий курс высшей математики. Т. 1» добавлено «не равное нулю».
Совокупность основных свойств множества действительных чисел может быть принято за систему аксиом, основополагающую для построения теории действительных чисел.
1. Свойства суммы
$forall a, b in R$ операция $a+b$ называется суммой и обладает следующими свойствами:
1) Коммутативность сложения
$forall a, b in R a+b=b+a$
Для любых действительных чисел a и b сумма a и b равна сумме b и a.
2) Ассоциативность сложения
$forall a, b, c in R (a+b)+c=a+(b+c)$
Для любых действительных чисел a, b и c сумма a и b плюс c равна a плюс сумма b и c.
3) Свойство нуля
$forall a in R ;;; exists ! 0 in R ;;; a+0=a$.
Для любого действительного числа a существует такое действительное число и при том единственное, что сумма a и равна a.
4) Свойство противоположного элемента
$forall a in R ;;; exists (-a) in R ;;; a+(-a)=0$.
Для любого действительного числа a существует такое действительное число -a, что их сумма равна нулю.
2. Свойства умножения
$forall a, b in R$ операция $a cdot b$ называется произведением, и ей присущи следующие свойства:
1) Коммутативность умножения
$forall a, b in R ;;; a cdot b = b cdot a$.
2) Ассоциативность умножения
$forall a, b, c in R ;;; a cdot (b cdot c)=(a cdot b) cdot c$.
3) Свойство единицы
$forall a in R ;;; exists 1 in R ;;; a cdot 1 = a$.
4) Свойство обратного числа
$forall a in R ;;; a ne 0 ;;; exists a^{-1} in R ;;; a^{-1}=frac{1}{a} ;;; a cdot a^{-1}=1$.
Множество $R setminus {0}$ относительно операции умножения является коммутативной группой.
3. Дистрибутивность умножения относительно сложения
$forall a, b, c in R ;;; (a+b) cdot c = ac+bc$.
4. Свойства отношения порядка
Для любых действительных чисел a и b: или $a le b$, или $a ge b$. При этом выполняются следующие свойства:
1) Свойство полноты
$forall a, b in R$ справедливо одно из трёх: $a=b$, $a>b ;;; (b<a)$, $a<b ;;; (b>a)$.
Для любых действительных чисел a и b справедливо одно из трёх утверждений: либо a и b равны, либо a больше b (b меньше a), либо a менше b (b больше a).
2) Рефлексивность
$forall a in R ;;; a le a$.
Для любого действительного числа a: a меньше либо равно a.
3) Свойство тождества
$forall a, b in R ;;; a le b ;;; и ;;; a ge b Rightarrow a=b$.
Если для двух любых действительных чисел a и b выполняется условие a меньше либо равно b и b меньше либо равно a, то a и b равны.
4) Транзитивность
$forall a, b, c in R ;;; a le b ;;; и ;;; b le c Rightarrow a le c$.
Для любых действительных чисел a, b, c: если a меньше либо равно b и b меньше либо равно c, то a меньше либо равно c.
5) Сохранение неравенства
$forall a, b, c in R ;;; a le b Rightarrow a+c le b+c$.
Для любых действительных чисел a, b, c, в случае выполнения неравенства a меньше либо равно b, при прибавлении к обоим частям неравенства одного и того же числа c знак неравенства остаётся прежним.
6) Правило знаков
$forall a, b in R ;;; a ge 0 ;;; и ;;; b ge 0 Rightarrow a cdot b ge 0$.
Произведение двух любых положительных действительных чисел положительно.
5. Аксиома Архимеда.
$forall a in R ;;; exists n in N ;;; a le n$
6. Теорема (аксиома) Дедекинда.
Пусть заданы два множества $A$ и $B$ — не пустые, не пересекающиеся и в объединении дающие множество действительных чисел: $A ne emptyset , B ne emptyset , A cap B = emptyset , A cup B = R$. И пусть $forall a in A ;;; forall b in B ;;; a<b$, тогда существует такое действительное число $c$, для которого выполняется следующее условие: $a le c le b$.
О множествах A и B говорят, что они образуют Дедекиндово сечение, а число c это сечение производит. Это число c принадлежит либо множеству A, тогда в множестве A есть наибольшее число, а в множестве B нет наименьшего числа, либо c принадлежит множеству B, тогда в множестве B оно наименьшее, а в множестве A нет наибольшего. Ясно, что число c, осуществляющее Дедекиндово сечение, единственно. Теорема Дедекинда формулирует свойство полноты (или непрерывности) множества действительных чисел.
Действительные (вещественные) числа хорошо известны из школьного курса математики. Кратко остановимся на их свойствах, достаточно легко воспринимаемых каждым из нас. Действительные числа образуют множество элементов, обладающих следующими свойствами.
Свойство упорядоченности
Для любых двух чисел %%a%% и %%b%% определено соотношение порядка, т.е. два любых действительных числа %%a%% и %%b%% удовлетворяют одному из следующих соотношений: %%a < b, a = b%% или %%a > b%%; при этом если %%a < b%% и %%b < c%%, то %%a < c%%.
Свойства операции сложения
Для любой пары чисел %%a%% и %%b%% определено такое единственное число, называемое их суммой и обозначаемое %%a + b%%, что выполняются следующие свойства.
- Коммутативность: %%a + b = b + a %%.
- Ассоциативность: %%a + (b + c) = (a + b) + c%% для любых чисел %%a, b%% и %%c%%.
- Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое %%0%% , что %%a + 0 = a%% для любого числа %%a%%.
- Для любого числа %%a%% существует такое число, называемое противоположным %%a%% и обозначаемое %%-a%%, что %%a + (-a) = 0%%.
- Если %%a < b%%, то %%a + c < b + c%% для любого числа %%c%%. Нуль единственен, и для каждого числа единственно противоположное ему число. Для любой пары чисел %%a%% и %%b%% число %%a + (-b) %% называют разностью чисел %%a%% и %%b%% и обозначают %%a — b%%.
Свойства операции умножения
Для любой пары чисел %%a%% и %%b%% определено такое единственное число, называемое их произведением и обозначаемое %%ab%% (или %%a cdot b%%), что выполняются следующие свойства.
- Коммутативность: %%ab = ba%%.
- Ассоциативность: %%a(bc) = (ab)c%% для любых чисел %%a, b%% и %%c%%.
- Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое %%1%%, что %%a cdot 1 = a%% для любого числа %%a%%.
- Для любого числа %%a%%, не равного нулю, существует такое число, называемое обратным к данному и обозначаемое %%1 / a%%, что %%a cdot (1 / a) = 1%%.
- Если либо %%a%%, либо %%b%%, либо и %%a%% и %%b%% равны нулю, то %%ab = 0%%.
- Если %%a < b%% и %%c > 0%%, то %%ac < bc%%. Единица единственна, и для каждого ненулевого числа существует единственное обратное к нему. Для любой пары чисел %%a%% и %%b (b neq 0)%% число %%a cdot (1/b)%% называют частным от деления %%a%% на %%b%% и обозначают %%a/b%%.
Свойство дистрибутивности
Для любой тройки чисел %%a, b%% и %%c%% выполняется равенство %%(a + b)c = ac + bc%%.
Архимедово свойство
Каково бы ни было число %%a%%, существует такое целое число %%n in mathbb{N}%%, что %%n > a%%.
Рис. 1. Числовая прямая
Прежде чем сформулировать следующее свойство действительных чисел, напомним, что на прямой задана система отсчета, если на этой прямой фиксированы две различные точки (точки %%O%% и %%e%% на рис. 1). Левую из них (точку %%O%%) называют началом отсчета, а длина отрезка %%Oe%% задает единицу масштаба. Прямую с заданной системой отсчета называют координатной осью. Ее обычно обозначают %%Ox%%. Точка %%O%% делит координатную ось на две части: положительную полуось, где лежит точка %%e%%, и отрицательную полуось.
Координатой точки %%M%% на оси %%Ox%% называют длину отрезка %%OM%%, взятую со знаком %%+%%, если точка %%M%% лежит на положительной полуоси, и со знаком %%-%%, если точка %%M%% лежит на отрицательной полуоси.
Очевидно, что каждой точке %%M%% на оси %%Ox%% соответствует действительное число %%x%%, а именно, ее координата. И обратно, каждому действительному числу на оси %%Ox%% соответствует
точка, для которой это действительное число является ее координатой. Всякий раз, когда это потребуется, будем считать, что между действительными числами и точками некоторой прямой установлено такого рода соответствие, причем %%e = 1%%, %%O = 0%%.
Таким образом, совокупность всех действительных чисел можно рассматривать как числовую прямую. Иногда вместо числовой прямой используют также термин «вещественная прямая». Отождествление действительных чисел с точками на числовой прямой будет в дальнейшем чрезвычайно полезным, так как служит вспомогательным средством для понимания и мотивацией введения новых понятий.
Подмножество %%X%% множества действительных чисел называют промежутком, если вместе с любыми двумя числами %%x_1, x_2%% это подмножество содержит любое %%x%%, заключенное между ними. Используют промежутки следующих видов:
- %%(a, b) = {x: a < x < b}%% — интервал, или открытый промежуток;
- %%[a, b] = {x: a leq x leq b}%% — отрезок, или замкнутый промежуток (иногда используют термин «сегмент»);
- %%(a, b] = {x: a < x leq b}%% и %%[a, b) = {x: a leq x < b}%% — полуинтервалы.
Если %%[a_1, b_1] supseteq [a_2, b_2]%%, то отрезок %%[a_2, b_2]%% называют вложенным в отрезок %%[a_1, b_1]%%.
Свойство непрерывности
Для всякой системы вложенных отрезков
$$
[a_1, b_1] supseteq [a_2, b_2] supseteq [a_3, b_3] supseteq ldots supseteq [a_n, b_n] supseteq ldots
$$
существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Это свойство называют также принципом вложенных отрезков (принципом Кантора).
Из перечисленных свойств действительных чисел можно получить, что 1 > 0, а также правила действий с рациональными дробями; правила знаков при умножении и делении действительных чисел; правила преобразования равенств и неравенств; свойства абсолютного значения действительного числа.
Абсолютное значение
Абсолютным значением (или модулем) %%|a|%% любого действительного числа %%a%% называют действительное число, удовлетворяющее условиям:
$$
|a| = begin{cases}
a, text{ если } a geq 0 \
-a, text{ если } a < 0
end{cases} ~~~~~~~~~~(1)
$$
Отсюда следует, что абсолютное значение любого действительного числа неотрицательно %%(|a| geq 0)%%, а также
$$
begin{array}{l}
|a| = |-a|, \
|a| geq a, \
|a| geq -a, \
-|a| leq a leq |a|.
end{array}~~~~~~~~~~(2)
$$
Геометрически %%|a|%% соответствует расстоянию между точками числовой прямой, изображающими числа %%0%% и %%a%%.
Пусть справедливо неравенство %%|a| < varepsilon%%, где %%varepsilon%% — некоторое
положительное число (%%varepsilon > 0%%). Тогда это неравенство равносильно двойному неравенству
$$
-varepsilon < a < varepsilon.
$$
Равносильность рассмотренных неравенств будет сохранена, если строгие неравенства (%%<%%) заменить на нестрогие (%%leq%%): %%|a| leq varepsilon%% равносильно %%-varepsilon leq a leq varepsilon%%.
Для любых действительных чисел %%a%% и %%b%% справедливо равенство
$$
|ab| = |a||b| ~~~~~~~~~~(3)
$$
и выполняются неравенства:
$$
begin{array}{lr}
|a + b| leq |a| + |b| &~~~~~~~~~~(4),\
|a — b| geq big||a| — |b|big|&~~~~~~~~~~(5).
end{array}
$$
При помощи (1) и (2) докажем неравенство (4): если %%a + b geq 0%%, то
$$
|a + b| = a + b leq |a| + |b|
$$
а если %%a + b < 0%%, то
$$
|a + b| = -(a + b) = (-a) + (-b) < |a| + |b|
$$
Приведенные выше свойства полностью описывают множество всех действительных чисел.
Множество всех действительных чисел, а также множество точек числовой прямой обычно обозначают %%mathbb R%%.
Пополненное множество действительных чисел
Пополненным (или расширенным) множеством действительных чисел называют множество, образованное из всех действительных чисел %%x in mathbb R%% с добавлением двух элементов, обозначаемых %%+infty%% («плюс бесконечность») и %%-infty%% («минус бесконечность»). При этом полагают, что %%-infty < +infty%% и для всех чисел %%x in mathbb R%% справедливо %%-infty < x < +infty%%. Пополненное множество обозначают %%overline{mathbb R}%%. Ему соответствует расширенная (или пополненная) числовая прямая. Элементы %%-infty%% и %%+infty%% называют бесконечными точками такой прямой.
Подмножества множества %%mathbb R%% действительных чисел
- Множество целых чисел
$$
mathbb Z = {ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ldots }
$$
есть собственное подмножество множества %%mathbb R%% (%%mathbb Z subset mathbb R%%). - Множество натуральных чисел
$$
mathbb N = {1, 2, 3, ldots }
$$
является собственным подмножеством как множества %%mathbb Z %%, так и множества %%mathbb R%% %%(mathbb N subset mathbb Z subset mathbb R)%%. Множество всех действительных чисел, которые представимы в виде частного от деления целого числа %%m in mathbb Z%% на натуральное %%n in mathbb N%%, называют множеством рациональных чисел и обозначают %%mathbb Q%%, т.е.
$$
mathbb Q = left{frac{m}{n}: m in mathbb Z, n in mathbb Nright}
$$Отношения %%frac{m}{n}%% и %%frac{m’}{n’}%% считают равными (представляющими одно и то же рациональное число %%r in mathbb Q%%), если %%mn’ = nm’%%. Таким образом, у каждого рационального числа %%r = frac{m}{n}%% может быть бесконечно много изображений %%r = frac{p m}{p n}, p in mathbb N%%.
Очевидно, что %%mathbb N subset mathbb Z subset mathbb Q subset mathbb R%%.
Бесконечные промежутки
На пополненной числовой прямой различают бесконечные интервалы
$$
(b, +infty) = {x: x > b}, (-infty, a) = {x: x < a}
$$
и бесконечные полуинтервалы
$$
[b, +infty) = {x: x geq b}, (-infty, a] = {x: x leq a}
$$
По аналогии с бесконечными интервалами множество всех точек на числовой прямой R обозначают часто %%(-infty, +infty)%% или просто %%(-infty, infty)%%.
Окрестность точки
Рис. 2. Окресность точки
Любой интервал %%(a, b)%%, содержащий некоторую точку %%x_0%% называют окрестностью этой точки и обозначают %%text{U}(x_0)%%, т.е. %%text{U}(x_0) = (a, b)%%, если %%x_0 in (a, b)%%. Точку %%x_0%%, расположенную в середине своей окрестности %%(a, b)%%, в этом случае именуют центром окрестности, а расстояние %%varepsilon = frac{(b — a)}{2}%% — радиусом окрестности. Тогда множество %%{x: |x — x_0| < varepsilon}%% называют %%varepsilon%%-окрестностъю точки %%x_0%% и обозначают %%text{U}(x_0, varepsilon)%% или %%text{U}_varepsilon(x_0)%% (рис. 2).
На расширенной числовой прямой вводят понятие окрестности и для бесконечных точек %%+infty%% и %%—infty%%, тем самым уравнивая эти точки с конечными при рассмотрении многих вопросов. Пусть %%M%% — некоторое положительное число. Тогда %%text{U}(+infty) = {x in mathbb{R}: x > M}%% и %%text{U}(-infty) = {x in mathbb{R}: x < -M}%%, а для объединения бесконечных точек %%text{U}(infty) = {x in mathbb{R}: |x| > M}%%. Ясно, что для любой из бесконечных точек окрестность с меньшим значением %%M%% включает окрестность с большим значением %%M%%.