Какие уравнения называются равносильными сформулируйте свойства уравнения
Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.
Понятие равносильных уравнений
Определение 1
Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.
Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.
Определение 2
Уравнение f(x)=g(x) считается равносильным уравнению r(x)=s(x), если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.
Определение 3
Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.
Определение 4
Если уравнение f(x)=g(x) имеет то же множество корней, что и уравнение p(x)=h(x), то они считаются равносильными по отношению друг к другу.
Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.
Приведем несколько примеров таких уравнений.
Пример 1
Например, равносильными будут 4·x=8, 2·x=4 и x=2, поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x·0=0 и 2+x=x+2, поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x=x+5 и x4=−1, каждое из которых не имеет ни одного решения.
Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.
Пример 2
К примеру, таковыми будут x=2 и x2=4, поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям xx=1 и x2+5×2+5, потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0.
Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.
Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x2+y2+z2=0 и 5·x2+x2·y4·z8=0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0, во всех трех случаях. А пара уравнений x+y=5 и x·y=1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.
Понятие уравнений-следствий
Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.
Определение 5
Следствием уравнения f(x)=g(x) будет уравнение p(x)=h(x) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.
Определение 6
Если первое уравнение имеет те же корни, что и второе, то второе будет уравнением-следствием первого.
Возьмем несколько примеров таких уравнений.
Пример 3
Так, x·2=32 будет следствием x−3=0, поскольку в первом есть только один корень, равный трем, и он же будет корнем второго уравнения, поэтому в контексте данного определения одно уравнение будет следствием другого. Еще один пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4) =0 будет следствием x-2·x-3·x-42x-4, потому что второе уравнение имеет два корня, равные 2 и 3, которые в то же время будут корнями первого.
Из данного выше определения можно сделать вывод, что следствием любого уравнения, не имеющего корней, будет также любое уравнение. Приведем здесь некоторые другие следствия из всех сформулированных в данной статье правил:
Определение 7
- Если одно уравнение равносильно другому, то каждое из них будет следствием другого.
- Если из двух уравнений каждое будет следствием другого, то данные уравнения будут равносильны друг другу.
- Уравнения будут равносильны по отношению друг к другу только в том случае, если каждое из них будет следствием другого.
Как найти корни уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения
Исходя из того, что мы написали в определениях, то в случае, когда мы знаем корни одного уравнения, то нам известны и корни равносильных ему, поскольку они будут совпадать.
Если мы знаем все корни уравнения-следствия, то можем определить корни второго уравнения, следствием которого оно является. Для этого нужно только отсеять посторонние корни. О том, как это делается, мы написали отдельную статью. Советуем вам ее прочитать.
Уравнения и системы уравнений первой степени
Два числа или какие-нибудь выражения, соединенные знаком « = », образуют равенство. Если данные числа или выражения при любых значениях букв равны, то такое равенство называют тождеством.
Например, когда утверждают, что при любом, а действительном:
а + 1 = 1 + а, здесь равенство является тождеством.
Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы называют неизвестными. Неизвестных в уравнении может быть несколько.
Например, в уравнении 2х + у = 7х – 3 два неизвестных: х и у.
Выражение, стоящее в уравнении слева (2х + у) называют левой частью уравнения, а выражение, стоящее в уравнении справа (7х – 3), называют правой его частью.
Значение неизвестного, при котором уравнение становится тождеством, называется решением или корнем уравнения.
Например, если в уравнение 3х + 7=13 вместо неизвестного х подставить число 2, получим тождество . Следовательно, значение х = 2 удовлетворяет данному уравнению и число 2 есть решение или корень данного уравнения.
Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот, все решения второго уравнения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений.
Например, уравнения 2х – 5 = 11 и 7х + 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень х = 8; уравнения х + 2 = х + 5 и 2х + 7 = 2х равносильны, потому что оба не имеют решений.
Свойства равносильных уравнений
1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.
Пример. Уравнение 2х – 1 = 7 имеет корень х = 4. Прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2х – 1 + 5 = 7 + 5 или 2х + 4 = 12, которое имеет тот же корень х = 4.
2. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.
Пример. Уравнение 9х + 5х = 18 + 5х имеет один корень х = 2. Опустив в обеих частях 5х, получим уравнение 9х = 18, которое имеет тот же корень х = 2.
3. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Пример. Уравнение 7х — 11 = 3 имеет один корень х = 2. Если перенести 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7х = 3 + 11, которое имеет то же решение х = 2.
4. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному.
Пример. Уравнение 2х — 15 = 10 – 3х имеет корень х = 5. Умножив обе части на 3, получим уравнение 3(2х – 15) = 3(10 – 3х) или 6х – 45 =30 – 9х, которое имеет тот же корень х = 5.
5. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей на (-1)).
Пример. Уравнение – 3х + 7 = – 8 после умножения обеих частей на (-1) примет вид 3х — 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень х = 5.
6. Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля (то есть, не равное нулю).
Пример. Уравнение имеет два корня: и . Разделив все его члены на 3, получим уравнение , равносильное данному, так как оно имеет те же два корня: и .
7. Уравнение, в котором коэффициенты всех или нескольких членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами, для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов.
Пример. Уравнение после умножения обеих частей на 14 примет вид:
. Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения имеют корень х = 10.
Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Примеры:
- Уравнения (x+2=7) и (2x+1=11) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число (5).
- Равносильны и уравнения (x^2+1=0) и (2x^2+3=1) — ни одно из них не имеет корней.
- А вот уравнения (x-6=0) и (x^2=36) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень (6), второе имеет два корня: (6) и (-6).
Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.
Основные равносильные преобразования уравнений:
- Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.
(4x-1=7)
(4x=7+1) Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.
(4x=8) (|:4)
(x=2)(x(x^2+1)=x^2+1) (|:(x^2+1))
(x=1)Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
((x+1)^2=4)
(x^2+2x+1=4)(5^{x+1}=25)
(5^{x+1}=5^2)- Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.
(sqrt[3]{12x^2-28x+8}=2)
(12x^2-28x+8=8) - Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
((x-5)^3=(2x+4)^3)
(x-5=2x+4) Переход вида: (a^{f(x)}=a^{g(x)}) (⇔) (f(x)=g(x)), если (a>1) и (a≠1).
(5^{x^2-2x}=5^{x-2})
(x^2-2x=x-2)
Равносильные уравнения и уравнения следствия
Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.
Пример (ОГЭ). Решите уравнение (x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3)
(x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3) | Запишем ОДЗ. |
ОДЗ: (2-x≥0) | Перенесем оба слагаемых из правой части в левую. |
(x^2-2x+sqrt{2-x}-sqrt{2-x}-3=0 ) | Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного. |
(x^2-2x-3=0) | Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета. |
(x_1=3) (x_2=-1) | Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие. |
(↑) не подходит под ОДЗ | Запишем ответ. |
Ответ: (-1 ).
Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ.
Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.
a) (x+5=2x-3) | b) (x^2+3x+sqrt{x}=sqrt{x}+4) |
c) (frac{-x-1}{x^2-1}=0) | d) (x^3=27) |
e) (frac{1}{2}x^2+1=x^3-x) | f) ( 2^{x+2}=2) |
Решение:
В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.
В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как (sqrt{x}) «ушло», то ОДЗ расширилось;
В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;
В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;
В пункте e) умножили обе части уравнения на (2) т.е. равносильно преобразовали;
В пункте f) перешли от вида (a^{f(x)}=a^{g(x)}) к виду (f(x) =g(x)), что тоже является равносильным преобразованием.
Смотри также:
Равносильное преобразование неравенств
Скачать статью
Алгебра
7 класс
Урок № 47
Равносильность уравнений и систем уравнений
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Понятие равносильных уравнений.
- Изучение равносильных систем уравнений.
- Практическое применение равносильности систем уравнений.
Тезаурус:
Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.
Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
Равносильны два уравнения, каждое из которых не имеет решения.
Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.
Равносильны две системы, если каждая из них не имеет решений.
Основная литература:
- Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
- Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
- Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.
Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
Равносильны такие два уравнения, каждое из которых не имеет решения.
Утверждения:
1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное исходному.
2) Если перенести с противоположным знаком член уравнения из одной части в другую, то получим уравнение, равносильное исходному.
3) Если в левой и правой частях линейного уравнения привести подобные члены, то получится уравнение, равносильное исходному:
Доказательство этих утверждений проводится так же, как для линейного уравнения с одним неизвестным.
Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы. Равносильны также две системы, если каждая из них не имеет решений.
Очевидно, что если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.
Перенеся свободные члены уравнений этой системы в их правые части, получим следующую равносильную систему:
Пример 2. Решите систему уравнений:
Решим системы способом подстановки.
Пример 3. Решите систему уравнений
Пример 4. Решите систему уравнений
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
№1. Тип задания: единичный выбор.
Какие два уравнения называются равносильными?
Варианты ответов:
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения не является решением второго, а любое решение второго не является решением первого.
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является продолжением решения второго, и является единственно верным.
Правильный ответ:
Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.
№2. Тип задания: Восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.
Решите систему уравнений:
Умножим первое уравнение на 2:
Равносильность уравнений
Определение 1: Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x)
называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Определение 2: Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) (1)
является в тоже время корнем уравнения p(x)=h(x) (2),
то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).
(1)→(2)
Очевидно: Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
(1)↔(2)
Схема решения любого уравнения:
1.Технический этап. Осуществляется преобразование уравнения(1)→(2)→(3)→(4) …
2. Анализ решения. Все ли преобразования были равносильными?
3.Проверка.
Реализация данного плана связана с поиском ответов на четыре вопроса:
Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?
1.Теоремы о равносильности уравнений.
«спокойные» теоремы:
Теорема 1. Если какой либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение а f(x) =а g(x) ( где а>0, а≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x).
«беспокойные» теоремы:
Определение: Областью определения уравнения f(x)=g(x) или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).
Теорема 4. Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое:
А) имеет смысл всюду в области определения (в ОДЗ) уравнения f(x)=g(x)
Б) нигде в этой области не обращается в 0 –
то получится уравнение f(x) h(x)=g(x) h(x), равносильное данному.
Следствие («спокойное» утверждение): Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение, равносильное данному f(x)n =g(x)n.
Теорема 6. Если f(x) >0 и g(x) >0, то логарифмическое уравнение logаf(x)= logа g(x), где а>0, а≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x).
2. Преобразование данного уравнения в уравнение-следствие.
Если в процессе решения уравнения мы применили заключение одной из теорем 4,5,6, не проверив выполнения ограничительных условий, заложенных в формулировках теорем, то получится уравнение-следствие.
Некоторые переходы от одного уравнения к другому приводят к расширению области определения уравнения. Именно в добавленную часть ОДЗ и «проникают» посторонние корни.
Причины расширения области определения уравнения.
Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину.
Освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени.
Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов.
Обязательна проверка всех найденных корней, если:
произошло расширение области определ6ения уравнения.
осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.
выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной (разумеется, имеющее смысл во всей области определения уравнения).
3. О проверке корней.
Как правило, самый легкий обходной путь проверки – по области определения (ОДЗ) заданного уравнения. Но не переоценивайте этот способ: он является полноценным только в том случае, когда при решении уравнения других причин нарушения равносильности, кроме расширения области определения, не было (это чаще всего бывает в логарифмических уравнениях). При решении же иррациональных уравнений, где используется метод возведения в квадрат, способ проверки найденных корней по ОДЗ не выручит; лучше, если это возможно, делать проверку подстановкой.
О потере корней.
Причины потери корней при решении уравнений:
деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(x) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h(x) ≠0).
сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.
замена уравнения h (f(x))= h (g(x)) уравнением f(x)=g(x) в том случае, если функция
у= h(x) – немонотонная функция.
Этот метод можно применить только в том случае, если функция у= h(x) – монотонная функция.