Какие свойства параллельных прямых вы знаете
Свойства параллельных прямых крайне часто встречаются при решении задач и доказательствах теорем. Произвольные прямые – редкость, но есть такие фигуры, как квадрат или параллелограмм, где параллельные прямые могут стать основой задачи, а без знания свойств параллельных прямых решить такие задачи невозможно.
Что такое свойства параллельных прямых
Для начала выделим определения, которые необходимо знать для изучения свойств параллельных прямых.
Параллельные прямые это прямые, которые не имеют общих точек, или прямые, которые не пересекаются
Пересечение означает, что у двух объектов есть общая точка или набор точек. Поэтому когда в геометрии говорят, что прямые имеют общую точку, имеется в виду, что они пересекаются.
При пересечении двух прямых секущей, образуются накрест лежащие, соответственные и односторонние углы.
Существует аксиома параллельных прямых, которая крайне важна при доказательстве некоторых свойств и является основным свойством параллельных прямых. Аксиома гласит, что через точку на плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Две группы свойств параллельных прямых
Свойств у параллельных прямых всего 5, но они делятся на две большие группы: следствия из аксиомы параллельных прямых и следствия из признаков параллельности прямых. Начнем с первой группы.
Следствия из параллельности прямых
Следствие 1
Если одна из двух параллельных прямых, параллельна третьей, то и другая прямая ей параллельна.
Кажется, что это логично и не требует доказательства. Но в геометрии количество утверждений не требующих обоснования крайне мало и каждое из них носит название аксиомы.
Аксиомы были выведены еще на заре геометрии и с тех пор мало что изменилось. Большая часть современных теорем выведена на основании аксиом Древней Греции. Эти утверждения единственные, что в математике не требует доказательства.
Проведем две параллельные прямые а и b. Прямая с параллельная прямой а. Предположим, что при этом с не параллельна прямой b. Тогда у нее должна быть какая-то точка пересечения К. То есть через точку К проходит две прямые с и b. При этом каждая из этих прямых должна быть параллельна прямой а.
То есть, через одну точку на плоскости проведены две прямые, параллельные данной. Это невозможно, потому что противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит изначальное предположение было неверным и прямые с и b параллельны.
Рис. 1. Иллюстрация следствия.
Следствие 2
Следствие 2 очень важно, так как говорит о секущей двух параллельных прямых. Свойство гласит: если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую.
Доказательство также ведется методом от противного. Проведем две прямые: а и b. Представим, что прямая с пересекает прямую а, но не пересекает прямую b. Тогда прямые c и b параллельны. При этом с пересекает а, то есть у этих прямых есть общая точка К.
Тогда через точку к проходит прямая а и прямая с, но каждая из них параллельна b. Значит, через одну точку проходит две прямых параллельных прямой b, а это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Значит изначальное предположение было неверным и прямая с пересекает каждую из прямых а и b, что и требовалось доказать.
Рис. 2. Рисунок к доказательству.
Следствия из признаков параллельности
Эту группу запомнить проще всего. Свойств параллельности прямых всего 3 и каждому из них соответствует свое следствие.
- Прямые параллельны, если накрест лежащие углы при секущей равны. Следствие вполне логично: Накрест лежащие углы при двух параллельных прямых и секущей равны.
- Прямые параллельны, если соответственные углы равны. Следствие: соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.
- Прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна 180. Следствие: сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равны 180
Рис. 3. Иллюстрация признаков.
Что мы узнали?
Мы дали понятие параллельным прямым, выделили две большие группы свойств параллельных прямых и доказали два свойства. Разобрались с использованием аксиомы параллельных прямых при доказательстве теорем в геометрии.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 93.
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Параллельные прямые…Прежде всего: что это такое?
Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.
Вот, как рельсы
Принято обозначение:
Самым важным фактом, который нужно принять без доказательства (не только тебе, но и любому математику) для того, чтобы вся геометрия не развалилась и не превратилась в какую-то неузнаваемую теорию, является так называемая «аксиома параллельных прямых».
Часто ее еще называют «пятый постулат Евклида». Формулируем:
Аксиома параллельных прямых
Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
 | Смотри: через любую точку проходит только одна прямая , которая параллельна , все остальные будут пересекать прямую . |
Казалось бы: чего проще – ну , одна так одна… Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых. В конце концов , уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.
А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.
Ну вот, а теперь возникает два вопроса:
- Если где-то в задаче даны или оказались параллельными две какие-то прямые, то что? Как это использовать?
- А как вообще узнать, что какие-то прямые параллельны?
Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».
Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.
Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей)
Получается куча углов. Целых штук.
Приняты такие названия этих углов:
  | и называются внутренними накрест лежащими углами и – тоже внутренние накрест лежащие углы. |
Название говорит само за себя: и , так же, как и и лежат «накрест» — по разные стороны от секущей и «внутри», между прямыми и .
И последнее название: соответственные углы.
Обрати внимание, и лежат в одинаковых «соответственных» местах около точек и . То же можно сказать и об остальных перечисленных парах – посмотри на рисунок.
Свойства параллельных прямых
Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если , то что?
И вот что:
Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:
- Внутренние накрест лежащие углы равны
- Соответственные углы равны
- Сумма любых двух внутренних односторонних равна
Запомни – все задачи с участием слова «параллельность» решаются с помощью этой теоремы о свойствах параллельных прямых.
А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.
Признаки параллельных прямых
То есть, как бы узнать, что прямые – параллельны?
Если две прямые ( и ) пересечены третьей и оказалось, что
- Какие-нибудь два накрест лежащих угла равны
ИЛИ - Какие нибудь два соответственных угла равны
ИЛИ - Сумма хоть каких-то двух внутренних односторонних равна
ИЛИ - Сумма хоть каких – то двух внешних односторонних равна ,
то прямые и – параллельны
Заметь, что для того, чтобы установить параллельность прямых, достаточно выяснить, скажем, равенство всего двух углов (или накрест лежащих, или соответственных), а уже все остальное окажется , так сказать, бонусом.
Смотри-ка, вот схема:
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали: .
Секущая — прямая, пересекающая две параллельные прямые: .
Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
 |
|
Свойства параллельных прямых:
Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:
- внутренние накрест лежащие углы равны: , ;
- соответственные углы равны: , , , ;
- сумма любых двух внутренних односторонних углов равна : , ;
- сумма любых двух внешних односторонних углов равна : , .
Признаки параллельных прямых:
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
можно кликнув по этой ссылке.
Сначала рассмотрим разницу между понятиями признак, свойство и аксиома.
Определение 1
Признаком называют некий факт, по которому можно определить истинность суждения об интересующем объекте.
Пример 1
Прямые являются параллельными, если их секущая образует равные накрест лежащие углы.
Определение 2
Свойство формулируется в том случае, когда есть уверенность в справедливости суждения.
Пример 2
При параллельных прямых их секущая образует равные накрест лежащие углы.
Определение 3
Аксиомой называют такое утверждение, которое не требует доказательства и принимается как истина без него.
Каждая наука имеет аксиомы, на которых строятся последующие суждения и их доказательства.
Аксиома параллельных прямых
Иногда аксиому параллельных прямых принимают в качестве одного из свойств параллельных прямых, но вместе с тем на ее справедливости строят другие геометрические доказательства.
Теорема 1
Через точку, которая не лежит на заданной прямой, на плоскости можно провести лишь одну прямую, которая будет параллельной заданной.
Готовые работы на аналогичную тему
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Аксиома доказательства не требует.
Свойства параллельных прямых
Теорема 2
Свойство1. Свойство транзитивности параллельности прямых:
Когда одна из двух параллельных прямых является параллельной третьей, то и вторая прямая будет ей параллельна.
Свойства требуют доказательств.
Доказательство:
Пусть имеются две параллельные прямые $a$ и $b$. Прямая $с$ параллельна прямой $а$. Проверим, будет ли в таком случае прямая $с$ параллельна и прямой $b$.
Для доказательства будем пользоваться противоположным суждением:
Представим, что возможен такой вариант, при котором прямая $c$ параллельна одной из прямых, например, прямой $a$, а другую – прямую $b$ – пересекает в некоторой точке $K$.
Получаем противоречие согласно аксиоме параллельных прямых. Получается ситуация, при которой в одной точке пересекаются две прямые, к тому же параллельные одной и той же прямой $a$. Такая ситуация невозможна, следовательно, прямые $b$ и $c$ пересекаться не могут.
Таким образом, доказано, что если одна из двух параллельных прямых является параллельной третьей прямой, то и вторая прямая параллельна третьей прямой.
Теорема 3
Свойство 2.
Если одна из двух параллельных прямых пересекается третьей, то ею будет пересекаться и вторая прямая.
Доказательство:
Пусть имеются две параллельные прямые $а$ и $b$. Также пусть имеется некоторая прямая $с$, которая пересекает одну из параллельных прямых, например, прямую $а$. Необходимо показать, что прямая $с$ пересекает и вторую прямую – прямую $b$.
Построим доказательство методом от противного.
Представим, что прямая $с$ не пересекает прямую $b$. Тогда через точку $К$ проходят две прямые $а$ и $с$, которые не пересекают прямую $b$, т. е. являются параллельными ей. Но такая ситуация противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, предположение было неверным и прямая $с$ пересечет прямую $b$.
Теорема доказана.
Свойства углов, которые образуют две параллельные прямые и секущая:
накрест лежащие углы равны,
соответственные углы равны,
* сумма односторонних углов равна $180^{circ}$.
Пример 3
Даны две параллельные прямые и третья прямая, перпендикулярная одно из них. Доказать, что эта прямая перпендикулярна и другой из параллельных прямых.
Доказательство.
Пусть имеем прямые $а parallel b$ и $с perp а$.
Поскольку прямая $с$ пересекает прямую $а$, то согласно свойству параллельных прямых она будет пересекать и прямую $b$.
Секущая $с$, пересекая параллельные прямые $а$ и $b$, образует с ними равные внутренние накрест лежащие углы.
Т.к. $с perp а$, то углы будут по $90^{circ}$.
Следовательно, $с perp b$.
Доказательство завершено.
Юлия Ш. · 29 апреля 2019
14,6 K
Имею естественно научное образование, в юношестве прикипел к литературе, сейчас…
Паралелльные прямые — прямые, которые не пересекаются в какой угодно точке, сколько бы их не продолжали, достаточно абстрактное понятие.
Параллельные лучи — лучи, прямые которых не пересекаются в какой угодно точке, сколько бы их не продолжали.
Угол не может быть образован двумя параллельными прямыми, потому что определение параллельных прямых противоречит определению угла, если говорить об углах между ними, то:
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны.
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
- Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Свойства параллельных прямых:
Если параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Если параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Если параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Признаки параллельности прямых:
Если накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых… Читать далее
Если прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны значит прямые паралельны
Какие есть условия параллельности прямых?
Интересы часто менялись, поэтому во многих областях знаний что-то знаю:)
Есть необходимые и достаточные условия. Достаточное условие параллельности прямых — это такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Необходимое условие, как следует из его названия, необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны.
Необходимым и достаточным условием параллельности прямых является следующая ситуация: если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.
На иллюстрации будет понятнее.
Прочитать ещё 2 ответа
Существует ли параллелограмм который не является прямоугольником?
Да, существует. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы равны. (По 90 градусов) А Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. (Не обязательно по 90 градусов)
Отсюда можно сделать вывод, что все параллелограммы не имеющие в себе угла в 90 градусов — не являются прямоугольниками.
Прочитать ещё 1 ответ
Какое самое легкое доказательство теоремы о существовании перпендикуляра к прямой?
Интересы часто менялись, поэтому во многих областях знаний что-то знаю:)
Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (см рис. ниже). Докажем, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямой a так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точка A наложится на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. Разогнем плоскость и проведем через точки A и B прямую.
Пусть H – точка пересечения прямых AB и a. При повторном перегибании плоскости по прямой a точка H останется на месте. Поэтому луч HA наложится на луч HB, и, следовательно, угол 1 совместится с углом 2. Таким образом, ∠1 = ∠2. Так как углы 1 и 2 – смежные, то их сумма равна 180°, поэтому каждый из них – прямой. Следовательно, отрезок AH – перпендикуляр к прямой a. Теорема доказана.
Почему через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость?
Давайте проведём плоскость через две параллельные прямые а затем станем её перемещать, не меняя положения прямых.
Если вращать плоскость вокруг одной из прямых, вторая прямая будет лежать на плоскости только в одном случае — изначально данном.
Если вращать плоскость вокруг другой оси, параллельной нашим прямым, это будет происходить с обеими прямыми.
Если вращать вокруг вращать вокруг непараллельной оси, прямые будут пересекать плоскость в любом случае, кроме данного.
И, наконец, если просто перемещать плоскость в пространстве, прямые не будут лежать на плоскости вообще.
Таким образом, мы перебрали все возможные плоскости в пространстве, и лишь на одной из них лежат обе наши прямые. Следовательно, через две параллельные прямые можно перевести только одну плоскость
Прочитать ещё 1 ответ
Геометрия
7 класс
Урок №21
Свойства параллельных прямых
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
- Доказательство свойств параллельных прямых и их применение при решении задач.
- Формулирование теоремы об углах с соответственно параллельными сторонами.
Тезаурус:
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Утверждение, обратное данной теореме– это утверждение, в котором условие является заключением теоремы, а заключение – условием теоремы.
Основная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Дополнительная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Ранее мы узнали и научились применять признаки параллельности прямых.
Рассмотрим утверждения, обратные к теоремам, выражающим признаки параллельности двух прямых.
В любой теореме есть две части: условие (это то, что дано)и заключение (это то, что требуется доказать).
Утверждением, обратным данному, называется утверждение, в котором условием является заключение, а заключением – условие.
Итак, вспомним один из признаков параллельности прямых. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы, образованные этими прямыми и секущей, равны (это условие), то прямые параллельны (заключение).
Сформулируем и докажем обратное утверждение.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы,образованные этими прямыми и секущей,равны.
Дано:
MNՈa =М
MNՈb = N
a║b
∠1 и ∠2 – накрест лежащие.
Доказать: ∠1=∠2.
Доказательство:( метод от противного):
Пусть ∠1≠∠2.
Отложим ∠PMN =∠2 (накрест лежащие) → МР║b→ через точку М проходит 2 параллельные прямые прямой b (МР║b– доказательство;a║b– условие).→∠1=∠2.
Это противоречит теореме о единственности прямой параллельной данной и проходящей через точку.
Теорема доказана.
Рассмотрим следствие.
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Дано:
a║b
с┴ а
∠1=90°
Доказать: с┴ b.
Доказательство:
С пересекает а, значит, и пересекает параллельную ей прямую b(по следствию из аксиомы параллельных прямых).→ с – секущая к прямым а и b→∠1 = ∠2 = 90° (по только что доказанному свойству параллельных прямых).→ с ┴ b.
Что и требовалось доказать.
Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны(это условие), то прямые параллельны(заключение).
Сформулируем и докажем обратное утверждение
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы, образованные этими прямыми и секущей, равны.
Дано:
a║b;
с – секущая.
Доказать:
∠1 = ∠2.
Доказательство:
По условию a║b→∠1 = ∠3 (накрест лежащие углы). → ∠2 = ∠3 (вертикальные углы).
Значит, ∠1 = ∠2, что и требовалось доказать.
Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов, образованных этими прямыми и секущей, равна 180° (условие), то прямые параллельны (заключение).
Сформулируем и докажем обратное утверждение.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов, образованных этими прямыми и секущей, равна 180°.
Дано:a║b,
с – секущая.
Доказать:
∠1+∠4= 180°.
Доказательство:
По условию a║b→∠1=∠2 ‑соответственные углы, (в силу предыдущей теоремы).
∠2+∠4=180° (по свойству смежных углов).
→ ∠1+∠4= 180°,что и требовалось доказать.
Материал для углубленного изучения темы.
Задача на доказательство.
Прямая m пересекает параллельные прямые а и b в точках А и В. Прямая р, проходящая через середину отрезка АВ, точку О, пересекает прямые а и b в точках С и D.
Докажем, что ОС=ОD.
По условию дано: а ║b, рՈа= А, рՈb = В, mՈа = D, mՈb = C.
Доказать: ОС = ОD.
Доказательство: рассмотрим, образовавшиеся при построении, треугольники AOD и BOC. Они равны по 2 признаку равенства треугольников, т.к. АО=ВО (О– середина отрезка АВ по условию); ∠1=∠2(накрест лежащие углы); ∠3=∠4 (вертикальные углы). →Все элементы равных треугольников соответственно равны → ОС=ОD. Что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Три прямых а,р,с пересечены прямой k, при этом образуются соответственные углы: ∠1= 30°,∠2 = 40°,∠3= 30°,как показано на рисунке. Какие из прямых параллельны?
Решение:
На рисунке изображены прямые а, р, с, которые пересечены секущей k. При этом углы 1,2,3 соответственные. По условию: ∠3= ∠1= 30°,∠2 ≠ ∠1,∠2 ≠ ∠3.
Следовательно, прямые а и р параллельные, прямые а и с, р и с не параллельные(по свойствам параллельных прямых).
Ответ: а║р.
2. На рисунке прямые а║b, при этомMO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ, если сумма углов в треугольнике равна 180°?
Решение:
По условию а║b→∠М+∠Е=180° (по теореме о параллельных прямых об односторонних углах). Т.к. MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е →∠М = 2∠ОМЕ,
∠Е= 2∠МЕО →
∠М+∠Е =2∠ОМЕ +2∠МЕО =180°.
2(∠ОМЕ +∠МЕО) =180°
∠ОМЕ +∠МЕО =180°:2
∠ОМЕ +∠МЕО =90°.
По условию сумма углов в треугольнике равна 180° → в ∆МОЕ.
∠ОМЕ + ∠МЕО + ∠МОЕ = 180°
90° + ∠МОЕ = 180°
∠МОЕ = 180° – 90° = 90°
Ответ: 90°.