Какие свойства микромира подтверждает эффект рамзауэра таунсенда

Конспект лекции с демонстрацией

Аннотация: изучение качественной стороны решений уравнения Шредингера, выяснение отличий получаемых результатов от выводов классической механики. Традиционное изложение темы, дополненное демонстрацией на компьютерной модели.

Содержание

Рассмотрим одномерное движение. Мы увидим, что даже в этом простейшем случае проявляются принципиальные отличия движения микрочастиц от классического. При одномерном движении рассеяние означает изменение направления движения на противоположное.
Пусть на пути частиц есть граница двух сред, в каждой из которых потенциальная энергия частицы постоянна, но
эти потенциальные энергии различаются на конечную величину. Мы предположим, что на границе потенциальная энергия меняется скачком (рис.1). В реально встречающихся условиях переход, конечно, плавный. Выберем систему координат так, чтобы ось x была
параллельна направлению движения частицы. Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулами

Рис. 1. Конфигурация потенциальной энергии.

Какие примеры движения в окружающем мире хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?

Движение по пересеченной местности.
Другой пример движение заряда в поле задерживающего потенциала.
В мире микрочастиц — рассеяние электронов на границе двух сред.

Начнем рассмотрение с конфигурации 1) (потенциальная энергия на границе резко возрастает). Всю область изменения переменной x разобьем на две (см. рисунок).
В левой части мы положили для удобства U(x) = 0 (известно, что потенциальная энергия определена с точностью до константы). Поскольку при заданных условиях
потенциальная энергия U не может быть записана в виде аналитической функции, мы напишем уравнение Шредингера отдельно для области (I) и для области (II) и найдем решения в
обоих случаях, т.е. функции Ψ1 и Ψ2.
На границе при x = 0 в силу непрерывности волновой функции и ее производной приравняем Ψ1 и Ψ2 и их первые
производные. Это позволит найти необходимые коэффициенты.

Итак, пишем уравнения Шредингера:

для области (I)

для области (II)

где m и E масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначения

Уравнения приобретают вид

Общие решения уравнений (1) таковы:

Это бегущие плоские волны, но с разными длинами волн

Постоянные a1, a2, b1, и b2, можно найти из условий непрерывности (волновой функции и ее производной) и нормировки.

Рассмотрим два случая: а) когда полная энергия частицы E больше ее потенциальной энергии U0 в области II и б) когда E U0.

а) При E > U0 классическая частица обязательно перейдет
из области I в область II. Посмотрим, справедливо ли это для микрочастиц, подчиняющихся
уравнению Шредингера. Качественные соображения подсказывают, что не справедливо.
Поскольку решения — плоские волны, а на границе происходит резкое изменение потенциала,
следует ожидать частичного отражения, как для световой волны на границе сред с разными
показателями преломления. Найдем коэффициент отражения.

Заметим, что eik1x описывает волну, движущуюся в направлении x (слева направо), т.е. падающую. Выражение e-ik1x соответствует отраженной волне. Квадраты амплитуд a1 и b1 есть интенсивности падающей и отраженной волн, соответственно. В области II распространяется только проходящая волна (отражаться там не от чего). Поэтому следует положить b2 = 0 и

Коэффициент отражения R есть отношение

где v — скорость частицы. Она одинакова для всех частиц в области I.

Непрерывность функции Ψ на границе обеих областей дает

Непрерывность производной приводит к

Исключим из уравнений (2) и (3) a2 и найдем отношение b1/a1 (проделайте сами)

Теперь мы можем определить коэффициенты отражения R и прозрачности D

Коэффициенты R и D с корпускулярной точки зрения следует
истолковать, как вероятность частице испытать отражение на границе и вероятность пройти
в область II, соответственно. Поэтому мы и использовали равенство R + D = 1: частица либо преодолеет барьер либо отразится, третьего не дано.

Вспомним значения коэффициентов k1 и k2 и подставим их в (5)

Таблица 1 дает представление, насколько велик может быть коэффициент отражения.

Таблица 1

U0/E	0.1	0.5	0.8	0.9	1.0
R	0.0007	0.0296	0.1459	0.2700	1.000

На практике в опытах с электронами потенциал возрастает от 0 до U0 не скачком, как на рисунке 1, а на отрезке макроскопической длины, и эффект не заметен. Однако, если
ширина переходной области имеет порядок атомных размеров (10-10 — 10-9 м) эффект необходимо учитывать. Пример явления, в котором он проявляется, рассмотрим чуть позднее.

б) При E U0 для классической частицы переход из области I в область II не возможен.

Решение уравнения Шредингера для этого случая снова приводит к формуле (4), но коэффициент k2 теперь чисто мнимый. В формуле (5) числитель и знаменатель будут
комплексно сопряженными величинами. Значит R = 1, происходит полное отражение частиц. Отличие от классического решения в том, что в области II волновая функция не равна нулю (она экспоненциально затухает при удалении от границы x = 0).
Ситуация с барьером конечной ширины разобрана в следующей лекции.

Вернемся к случаю а) (E > U0). Сравним решения для конфигураций 1) и 2) (рис.1). Все формулы (2) — (6) для второй конфигурации остаются в силе, только
значения коэффициентов k1 и k2 в (1) надо поменять местами. Это не скажется на величинах коэффициентов отражения и прохождения (6). Но одно отличие все-таки есть.
В конфигурации 1) k1 > k2 и отношение амплитуд отраженной и
падающей волн (5) положительно, т.е. знаки их совпадают. В конфигурации 2) k1 k2 и b1/a1 eiπ.

Следовательно, разные знаки амплитуд падающей и отраженной волн говорят о том, что фаза отраженной волны сдвинута на π относительно падающей. Если же потенциал на границе скачком
возрастает, сдвиг фазы равен нулю. На практике это может привести к гашению отраженной волны при определенных условиях.

Рис.2 Установка Рамзауэра.

В 1921 году, исследуя прохождение электронного потока очень медленных (с энергией от 0,75 до 1,1 эВ) электронов в различных газах, К. Рамзауэр обнаружил, что в аргоне при уменьшении
энергии электронов упругое рассеяние уменьшается, в результате чего электроны проходят через газ практически беспрепятственно. Это явление, когда атомы инертного газа становятся как бы
несуществующими для электронов, обладающих определенной энергией, и электроны пролетают сквозь них без столкновений, носит название эффекта Рамзауэра — Таунсенда.

Схема установки К.Рамзауэра показана на рисунке справа. Установка очень мала по размеру
и откачана до малого давления, так что длина свободного пробега электрона много больше размеров
аппарата. Камера в левом нижнем углу наполняется аргоном через капилляр, давление аргона
контролируется. Источником электронов является фотокатод K, освещаемый извне. Подбирая длину
световой волны, можно получить электроны очень малой энергии. Электроны ускоряются разностью
потенциалов между фотокатодом и первой щелью. Корпус аппарата заземлен, потенциал катода отрицательный.

Чтобы задать энергию электронов точнее, использовано магнитное поле. Аппарат помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости чертежа. Электрон со скоростью v в
однородном магнитном поле B движется по окружности, радиус которой найдется из соотношения

Электрон с энергией 1 эВ имеет скорость 5.9·105 м/с, поэтому при (BR) =
3.372·10-6 Тл·м диаметр окружности около 6.7 см для индукции 10-4
Тл. Для электронов с энергией 100 эВ нужно поле с B = 10-3 Тл. Это все разумные
цифры. Близкий к моноэнергетическому поток электронов попадает в камеру рассеяния. Электроны, рассеянные на длине примерно в четверть окружности, собираются на ее стенках. Ток их
Is измеряется гальванометром. Нерассеянные электроны попадают в камеру —
коллектор, ток их Ic также измеряется. Сумма токов есть ток первичного пучка. Коэффициент ослабления μ = (1/L)ln[(Is +
Ic)/Ic], где L — длина дуги. Тогда длина свободного пробега электрона равна 1/μ. Зная плотность аргона, можно определить полное сечение рассеяния.

Рис.3 Зависимость эффективных сечений рассеяния
от скорости электрона.

Рамзауэр был изумлен результатами. При наименьших изучаемых им энергиях электронов сечение было мало, а при 0.7 эВ рассеяние почти совсем исчезало! Затем сечение росло в аргоне до
максимального 25 (в единицах π·a02 = 0.88·10-20 м2, a0 — боровский радиус) около 12 эВ,
далее медленно убывало по мере роста энергии. Для всех инертных газов получались подобные результаты. Изучение дифференциальных сечений обнаружило сильную зависимость от угла рассеяния с
пиками и провалами. Эффект Рамзауэра казался загадкой. Этот экспериментальный результат, совершенно не совместимый с представлениями классической физики, находит свое объяснение при учете волновой природы электрона.

Рис.4 Распределение потенциала U(x) в области атома-мишени диаметром 2а (одномерная модель)

Взаимодействие электронов с атомами инертных газов, имеющими замкнутые сферически
симметричные электронные оболочки и компактную структуру, можно описать с помощью модели прямоугольной потенциальной ямы (рис.4). При движении слева направо частицы дважды частично
отражаются на границах ямы x = -a и x = a. При первом отражении имеем сдвиг фазы на
π, при втором — 0. Левее границы x = -a две отраженные волны складываются. Разность хода этих волн Δ равна удвоенной ширине потенциальной ямы. Внутри ямы длина волны равна

Если при некоторой энергии электрона E окажется, что Δ= 4a = λ, то отраженная от правой границы ямы x = a волна сложится с волной от первого отражения в
противофазе (из-за сдвига фазы при первом отражении). Отраженные волны погасят друг друга. Этим объясняется эффект Рамзауэра — Таунсенда.

Рис.5 Сечение рассеяния нейтронов на тяжелых ядрах.

В 1953 году эффект Рамзауэра лег в основу модели (J. D. Lawson), описывающей энергетическую зависимость сечения рассеяния быстрых (энергии до 500 МэВ) нейтронов на ядрах.
(Размер ядра имеет порядок 10-14 м, сравнимые длины волны де Бройля нейтроны имеют при энергиях в сотни МэВ; для 100 МэВ λ около 3·10-14 м). Модель в настоящее время позволяет найти сечения рассеяния нейтронов в широком диапазоне энергий
от 20 до 550 МэВ, используя крайне ограниченное количество параметров.
На рисунке справа сплошными красными линиями изображены вычисленные в рамках модели Рамзауэра
зависимости сечений рассеяния нейтронов на различных ядрах от энергии нейтронов, черным цветом отмечены экспериментальные точки
( R. S. Gowda, S. S. V. Suryanarayana, S. Ganesan. The Ramsauer model for the total cross sections of neutron nucleus scattering. arXiv:nucl-th/0506004 v1 2 Jun 2005).

Еще раз подчеркнем, что свойство частиц отражаться от областей с резким
скачком потенциала является чисто квантовомеханическим эффектом. Оно вытекает из волновых свойств материи и не может быть объяснено в классической физике.

В Вашем распоряжении модель , которая иллюстрирует квантово-механическое рассеяние на одномерной прямоугольной потенциальной яме.

Подведем итоги:

при наличии резкого изменения потенциальной энергии частицы испытывают частичное отражение;
если изменение потенциальной энергии имеет вид потенциальной ямы и энергия частицы больше глубины ямы (частица не связана), возможно взаимное гашение отраженных волн (частицы движутся так, как если бы ямы вообще не было!);
эффект Рамзауэра одно из доказательств волновой природы электронов;
эффект проявляется и при рассеянии тяжелых частиц (нейтронов, …), если длина волны де Бройля имеет тот же порядок, что и размер рассеивающего центра.

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.

Источник

Эффект рамзауэр , также иногда называют эффект Рамзауера или эффект Townsend , это физическое явление с участием рассеяния низкоэнергетических электронов с атомами одного благородного газа . Так как его объяснение требует волновой теории в квантовой механике , это свидетельствует о необходимости физических теорий более сложных , чем ньютоновской физики .

Определения

Когда электрон движется через газ, его взаимодействие с атомами газа вызывают рассеяние произойти. Эти взаимодействия классифицируются как неэластичным , если они вызывают возбуждение или ионизация атома , чтобы произойти и упругой , если они не делают.

Вероятность рассеяния в такой системе определяется как число электронов , рассеянных в единицу электронного тока на единицу длины пути, на единицу давления при 0 ° C, на единицу телесного угла . Число столкновений равно общему числу электронов , рассеянных упруго и неупруго во всех углах, и вероятность столкновения это общее число столкновений, на единицу тока электронов, на единицу длины пути, на единицу давления при 0 ° С.

Из атомов благородных газов имеют относительно высокую первую энергии ионизации и электроны не несут достаточно энергии , чтобы вызвать возбужденную электронные состояния, ионизацию и возбуждение атома маловероятны, а вероятность упругого рассеяния по всем углам приблизительно равна вероятности столкновение.

Описание

Эффект назван в честь Карла рамзауэровского (1879-1955) и Джон Sealy Townsend (1868-1957), которые независимо друг от друга изученных столкновений между атомами и низкоэнергетических электронов в начале 1920 — х годов.

Если кто-то пытается предсказать вероятность столкновения с классической моделью, которая рассматривает электрон и атом в виде твердых сфер, один считает, что вероятность столкновения должна быть независимой от энергии падающего электрона (см Kukolich). Тем не менее, Рамзауер и Таунсенд заметил, что для медленно движущихся электронов в атмосфере аргона, криптона или ксенона, вероятность столкновения между электронами и атомами газа получает минимальное значение для электронов с определенным количеством кинетической энергии (около 1 электрон-вольт для ксенона газ). Это эффект рамзауэра.

Нет хорошее объяснение этого феномена не существовало до появления квантовой механики, которая объясняет , что результаты эффекта от волновых свойств электрона. Простая модель столкновения , что делает использование волновой теории можно предсказать существование минимума Рамзауера-Таунсенд. Бом представляет собой одну такую модель , которая рассматривает атом как конечной квадратным потенциальной ямы .

Предсказание от теории кинетической энергии, которая будет производить как минимум Рамзауер-Townsend довольно сложно, так как проблема предполагает понимание волновой природы частиц. Тем не менее, эта проблема была широко исследована экспериментально и теоретически и хорошо изучена (см Джонсон и Guet).

В 1970 годе Gryzinski предложил классическое объяснение эффекта рамзауэровского с использованием эффективной картины атома , как колеблющийся мультиполем электрического поля (диполь, квадруполь, октупольные), который был следствием его свободного падение атомной модели .

Фазовая теория рассеяния в Maple

Здесь используются кулоновские единицы:
<math>hbar = e = 1</math>

Потенциал и фазовая функция

Потенциал

Потенциал в таких задачах обычно выбирается таким, чтобы:

Быть сферически-симметричным:

<math>V(textbf{r}) equiv V(r)</math>

Иметь некоторый характерный размер <math>a</math>:

<math>V(r): r gg a Rightarrow V(r) simeq 0</math>

Фазовая функция

Фазовая функция <math>delta_{l}(r)</math> удовлетворяет нелинейному уравнению:

<math>frac{textrm{d}}{textrm{d} r} delta_{l}(r) = — 2 m k r^{2} V(r) [cos{delta_{l}(r)} j_{l}(k r) — sin{delta_{l}(r)} n_{l}(k r)]^{2}</math>

с граничным условием <math>delta_{l}(0) = 0</math>

Здесь <math>j_{l}(x)</math> и <math>n_{l}(x)</math> — так называемые сферические функции Бесселя и Неймана, которые выражаются через обычные функции Бесселя следующим образом:

Фаза рассеяния

В аппарате фазовых функций фаза рассеяния соответствует пределу функции на больших расстояниях от центра рассеивающего поля <math>delta_{l} = limlimits_{r rightarrow infty} delta_{l}(r)</math>

Амплитуда и сечение рассеяния

Из курса квантовой механики известно, что амплитуда рассеяния <math>f(mathbf{k}, mathbf{k’}) equiv f(theta)</math> — это коэффициент, определяющий свойства волновой функции рассеяной частицы:

<math>Psi(textbf r) = e^{ i mathbf{k r}} + frac{f(mathbf{k}, mathbf{k’})}{r} e^{i mathbf{k’ r}}.</math>

Таким образом можно найти угловое распределение сечения рассеяния, взяв квадрат модуля от амплитуды рассеяния

<math>frac{mathrm{d} sigma}{mathrm{d} o} = |f(theta)|^{2}.</math>

Фазовая теория рассеяния позволяет точно найти амплитуду. Оказывается, что вклады от различных моментов <math>l</math> полностью независимы и аддитивны. Тогда амплитуду процесса можно записать в виде суммы произведений изотропных парциальных амплитуд <math>f_{l}</math> на известные полиномы Лежандра <math>P_{l} (cos{theta})</math> соответствующих степеней:

<math>f(theta) = sumlimits_{l=0}^{infty} (2 l + 1) f_{l} P_{l} (cos{theta})</math>,

Парциальные амплитуды определяются простым образом:

<math>f_{l} = frac{1}{2ik}(e^{2i delta_{l}}-1)</math>

На практике для достижения достаточной точности нужно учитывать несколько первых моментов.

Такой подход универсален, однако обладает рядом существенных недостатков.

Например, при достаточно больших энергиях налетающей частицы существенны вклады от многих моментов — например, при <math>ka gg 1</math> (в пределе теории возмущений) нужно учитывать достаточно большое количество моментов: <math>l_{char} sim sqrt{2 m E} a equiv ka</math> В таких случаях борновское приближение оказывается «спасительной соломинкой».

Задачи

Задача 1: амплитуда и сечение

Выбрав реалистический потенциал, решить уравнение для фазовой функции <math>delta_{l}(r)</math> для нескольких <math>l sim ka</math>, построить график решения. Убедиться, что при <math>r>>a Rightarrow delta_{l}(r)=delta_{l}=mathrm{const}</math>.

Найти и построить график <math>f(theta); frac{mathrm d sigma}{mathrm d o}</math>.
Вычислить полное сечение <math>sigma_{tot} = int frac{mathrm d sigma}{mathrm d o}, do</math>.

Провести аналогичный расчет для разных величин(глубины/высоты) потенциала. Понять и объяснить, как меняются параметры амплитуды и сечения в зависимости от глубины.

Задача 2: оптическая теорема

Оптическая теорема гласит, что

<math>Im{f(mathbf{mathbf{n,n}})} = frac{k}{4pi} sigma_{tot},</math>

где <math>f(mathbf{mathbf{n,n}}) = f(mathbf{theta = 0}).</math>

Оптическая теорема является непосредственным следствием требования унитарности S-матрицы и сохранения числа частиц.
Задача заключается в численной проверке теоремы.

Существует также обобщение оптической теоремы:

<math>Im{f(mathbf{n,n’})} = frac{k}{4pi} int f(mathbf{n,n})f^{*}(mathbf{n,n’})dmathbf{n}</math>

Нужно проверить и это обобщение.

Задача 3: квазиклассическое приближение

Длина рассеяния

В случае, когда <math>ka ll 1</math> оказывается, что все фазы <math>delta_{l}</math> оказываются малыми по сравнению с фазой <math>delta_{0}</math> и амплитуда рассеяния <math>f(theta) simeq f_{0} simeq frac{delta_{0}}{k} = — alpha</math>.

Величина <math>alpha</math> называется длиной рассеяния и характеризует сечение рассеяных частиц:

<math>sigma = 4 pi alpha^{2}</math>

Она может быть как положительной (барьер), так и отрицательной (яма).

Оказывается, что при малых энергиях величина сечения не зависит от энергии и изотропна (на практике, когда величина <math>a</math> велика (порядка нескольких боровских радиусов, например), то постоянство сечения имеет место только в узком интервале энергий).

Задача: рассчитать длину рассеяния, построить ее график как функции энергии, убедится в ее плавности.

Резонансное рассеяние

Предположим, что частица рассеивается на потенциальной яме, в которой близко к континууму имеется допустимый уровень энергии, т.е. имеется стационарное состояние с величиной энергии <math> |E_{n_{0}}| equiv |epsilon| ll U_{0} </math>.

Можно показать, что при энергии налетающей частицы, близкой к энергии уровня, существует резкий максимум сечения рассеяния как функции энергии. Данный максимум имеет брейт-вигнеровскую форму, типичную для резонансов.

Задача: построить сечение как функцию энергии и показать, что этот максимум действительно существует.

Эффект Рамзауэра-Таунсенда

Эффект открыт Рамзауэром и независимо Таунсендом в 1921 г. и является одним из первых опытов, объясненных с помощью квантовой механики.
Сущность эффекта заключается в том, что при некоторых энергиях налетающей частицы (достаточно малых, чтобы амплитуда <math>delta_{0}</math> превалировала) сечение рассеяния становится аномально маленьким. Причина заключается в том, что при этих энергиях фаза рассеяния становится равной целому числу <math>pi</math> и ведущий член амплитуды рассеяния обращается в нуль.
Физически это соответствует возникновению дифракционного максимума за рассеивателем. Аналогом этого эффекта в оптике является пятно Пуассона.

Задача: построить график сечения s-рассеяния медленных частиц на глубокой яме и подтвердить наличие минимумов рассеяния, соответствующих обращению фазы в целое число <math>pi</math>.

Задача 4: борновское приближение

В случае быстрых частиц, т.е. в случае <math>ka gg 1</math>, или, что эквивалентно, <math>|U| ll frac{hbar^2}{ma^2}ka</math>, все фазы рассеяния оказываются практически одного порядка; поэтому в ряде для амплитуды нужно учесть большое число слагаемых. Однако существует независимый метод получения результатов в этой области: борновское приближение.

Борновское приближение является применением теории возмущений к задаче рассеяния частиц. В указанной области энергии частиц, ограничившись первым порядком теории возмущения в уравнении Шредингера, можно получить, что

<math>psi^{(1)} simeq — frac{m}{2 pi} frac{e^{i k R}}{R} int U(r’) e^{i mathbf{(k-k’)r’}} dV’.</math>

Тогда для амплитуды рассеяния имеем:

<math>f=-frac{m}{2pi} int U(r) e^{i mathbf{(k-k’)r}} dV</math>.

Воспользуемся сферическими координатами, направив полярную ось в направлении вектора <math>mathbf q = mathbf{k-k’}.</math>
Произведя интегрирование, получим окончательный ответ для амплитуды:

<math>f(theta) = — 2m intlimits_{0}^{infty} U(r) frac{sin{qr}}{q} r dr,</math>

где <math>q(theta) = 2k sin{frac{theta}{2}}</math>

Задача: рассчитать точное сечение и сечение, пользуясь борновским приближением. Показать на графике, в каких областях энергии они друг с другом совпадают или достаточно близки.

Задача 5: псевдопотенциал

Псевдопотенциал — это прямоугольный потенциал с так подобранной шириной, что величина фаз совпадает с величиной фаз, получаемых при расчете на реальном потенциале. С помощью фазовой теории теории рассеяния можно легко определить параметры прямоугольного потенциала.

Смысл этого потенциала в том, что при небольшой энергии этого потенциала можно всюду пользоваться теорией возмущений для более сложных задач, т.к. наблюдаемые величины в псевдопотенциале будут слабо отличаться от «истинных».

Задача: подобрать для потенциала из задачи 1 такие параметры и сравнить величины сечений.

Литература

Колодаееро Ф. Метод фазовых функций.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика т.3 — квантовая механика(нерелятивистская теория).
Шифф Л. Квантовая механика
Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике