Какие свойства имеет касательная к окружности
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.
. Угол равен , где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса.
Ответ: .
. Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.
Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен .
Ответ: .
. Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.
Проведем радиус в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги .
Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.
Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.
Ответ: .
Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:
. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.
Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.
Соедините точку с вершинами . Получились треугольники и .
Очевидно, что площадь многоугольника .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?
Ответ: .
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.
§ 20. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности
Теорема 20.1
Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Рис. 287 |
|
Доказательство
Если хорда является диаметром, то теорема очевидна.
На рисунке 287 изображена окружность с центром O, M — точка пересечения диаметра CD и хорды AB, CD ⊥ AB. Надо доказать, что AM = MB.
Проведём радиусы OA и OB. В равнобедренном треугольнике AOB (OA = OB) отрезок OM — высота, а значит, и медиана, т. е. AM = MB. 
Теорема 20.2
Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.
Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли верным это утверждение, если хорда является диаметром.
На рисунке 288 показаны все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности. На рисунке 288, а они не имеют общих точек, на рисунке 288, б — имеют две общие точки, на рисунке 288, в — одну.
Определение
Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.
Касательная к окружности имеет только одну общую точку с кругом, ограниченным этой окружностью. На рисунке 288, в прямая a — касательная к кругу с центром в точке O, A — точка касания.
Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч) касается окружности. Например, на рисунке 289 изображён отрезок AB, который касается окружности в точке С.
Теорема 20.3
(свойство касательной)
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Доказательство
На рисунке 290 изображена окружность с центром O, A — точка касания прямой a и окружности. Надо доказать, что OA ⊥ a.
Рис. 289 | Рис. 290 | Рис. 291 |
|
|
|
Предположим, что это не так, т. е. отрезок OA — наклонная к прямой a. Тогда из точки O опустим перпендикуляр OM на прямую a (рис. 291). Поскольку точка A — единственная общая точка прямой a и круга с центром O, то точка M не принадлежит этому кругу. Отсюда OM = MB + OB, где точка B — точка пересечения окружности и перпендикуляра OM. Отрезки OA и OB равны как радиусы окружности. Таким образом, OM > OA. Получили противоречие: перпендикуляр OM больше наклонной OA. Следовательно, OA ⊥ a. 
Теорема 20.4
(признак касательной к окружности)
Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
Доказательство
Рис. 292 |
|
На рисунке 290 изображена окружность с центром в точке O, отрезок OA — её радиус, точка A принадлежит прямой a, OA ⊥ a. Докажем, что прямая a — касательная к окружности.
Пусть прямая a не является касательной, а имеет ещё одну общую точку B с окружностью (рис. 292). Тогда ∆AOB — равнобедренный (OA = OB как радиусы). Отсюда ∠OBA = ∠OAB = 90°. Получаем противоречие: в треугольнике AOB есть два прямых угла. Следовательно, прямая a является касательной к окружности. 
Следствие
Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.
Рис. 293 |
|
Докажите это следствие самостоятельно.
Задача. Докажите, что если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.
Решение. На рисунке 293 изображена окружность с центром O. Прямые AB и AC — касательные, точки B и C — точки касания. Надо доказать, что AB = AC.
Проведём радиусы OB и OC в точки касания. По свойству касательной OB ⊥ AB и OC ⊥ AC. В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC. 
- Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?
- Чему равен угол между хордой, отличной от диаметра, и диаметром, делящим эту хорду пополам?
- Опишите все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности.
- Какую прямую называют касательной к окружности?
- Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности?
- Сформулируйте признак касательной к окружности.
- Каким свойством обладают касательные, проведённые к окружности через одну точку?
Практические задания
507.Начертите окружность с центром O, проведите хорду AB. Пользуясь угольником, разделите эту хорду пополам.
508.Начертите окружность с центром O, проведите хорду CD. Пользуясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный хорде CD.
509.Начертите окружность, отметьте на ней точки A и B. Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках A и B.
510.Проведите прямую a и отметьте на ней точку M. Пользуясь угольником, линейкой и циркулем, проведите окружность радиуса 3 см, которая касается прямой a в точке M. Сколько таких окружностей можно провести?
Упражнения
511.На рисунке 294 точка O — центр окружности, диаметр CD перпендикулярен хорде AB. Докажите, что ∠AOD = ∠BOD.
512.Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.
513.Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.
514.Верно ли, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?
515.Прямая CD касается окружности с центром O в точке A, отрезок AB — хорда окружности, ∠BAD = 35° (рис. 295). Найдите ∠AOB.
516.Прямая CD касается окружности с центром O в точке A, отрезок AB — хорда окружности, ∠AOB = 80° (см. рис. 295). Найдите ∠BAC.
517.Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая a удалена от её центра на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. В каком случае прямая a является касательной к окружности?
518.В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°. Докажите, что:
1)прямая BC является касательной к окружности с центром A, проходящей через точку C;
2)прямая AB не является касательной к окружности с центром C, проходящей через точку A.
519.Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.
520.В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB, перпендикулярную ему. Докажите, что ∠AOB = 120°.
521.Найдите угол между радиусами OA и OB окружности, если расстояние от центра O окружности до хорды AB в 2 раза меньше: 1) длины хорды AB; 2) радиуса окружности.
522.В окружности провели диаметр AB и хорды AC и CD так, что AC = 12 см, ∠BAC = 30°, AB ⊥ CD. Найдите длину хорды CD.
523.Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB, A и B — точки касания, ∠OAB = 20°. Найдите ∠AMB.
524.Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке C. Найдите ∠ACB.
525.Через точку C окружности с центром O провели касательную к этой окружности, AB — диаметр окружности. Из точки A на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
526.Прямая AC касается окружности с центром O в точке A (рис. 296). Докажите, что угол BAC в 2 раза меньше угла AOB.
Рис. 294 | Рис. 295 | Рис. 296 |
|
|
|
527.Отрезки AB и BC — соответственно хорда и диаметр окружности, ∠ABC = 30°. Через точку A провели касательную к окружности, пересекающую прямую BC в точке D. Докажите, что ∆ABD — равнобедренный.
528.Известно, что диаметр AB делит хорду CD пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что CD — также диаметр.
529.Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой в данной точке.
530.Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.
531.Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой.
532.Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B, пересекаются в точке K, ∠AKB = 120°. Докажите, что AK + BK = OK.
533.Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке M и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков BC и BM равна половине периметра треугольника ABC.
Рис. 297 |
|
534.Через точку C проведены касательные AC и BC к окружности, A и B — точки касания (рис. 297). На окружности взяли произвольную точку M, лежащую в одной полуплоскости с точкой C относительно прямой AB, и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые AC и BC в точках D и E соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не зависит от выбора точки M.
Упражнения для повторения
535.Докажите, что середина M отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку M и концы которого принадлежат этим прямым.
536.Отрезки AB и CD лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку M выбрали так, что треугольник AMB — равнобедренный с основанием AB. Докажите, что ∆CMD также является равнобедренным с основанием CD.
537.На стороне MK треугольника MPK отметили точки E и F так, что точка E лежит между точками M и F, ME = EP, PF = FK. Найдите угол M, если ∠EPF = 92°, ∠K = 26°.
538.В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BM, из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр MK, ∠ABM = ∠KMC. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
539.Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке 298. Какую фигуру надо поставить следующей?
Рис. 298 |
|
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
1. Определения и основная теорема
В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться». И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие. В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».
Итак.
 | Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку. |
Такая прямая называется касательной к данной окружности.
Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.
Ну вот, и точно так же:
 | Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку. |
Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?
Самая важная теорема гласит, что:
 | Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. |
Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.
Доказывать её мы здесь не будем (можешь заглянуть в следующие уровни теории), а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.
2. Угол между касательной и хордой
 | Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла. |
Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги» написано в теме «Окружность. Вписанный угол».
 | Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.То есть «градусная мера дуги» — это «сколько градусов в центральном угле» — и всё! |
Ну вот, как говорит Карлсон, «продолжаем разговор».
Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.
 | Смотри, хорда разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла , а другая дуга – внутри угла . |
И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что равен ПОЛОВИНЕ угла , равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла .
При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?
Сейчас и увидим. – радиус, – касательная.
 | Значит , . Поэтому: .Но ( и — радиусы) . |
И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника равна .
Пишем:
Короче:
Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что .
3. Равенство отрезков касательных
Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:
А ещё более удивительный факт состоит в том, что:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.
То есть, на нашем рисунке, .
И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Вот, убедись: проведём радиусы и и соединим и .
 | –радиус. – касательная, значит, . Ну, и так же . |
Получилось два прямоугольных треугольника и , у которых:
- — равные катеты
- — общая гипотенуза
(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник», если не помним, когда, бывают равны прямоугольные треугольники).
 | Но раз то .УРА! |
И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.
И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.
 | Для любой прямой , пересекающей окружность, , где — отрезок касательной. |
Хитроумными словами об этом говорят так:
«квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».
Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:
4. Общая касательная к двум окружностям
 | Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной. |
Общие касательные бывают внешние и внутренние.
Смотри на картинки.
 | Две внутренние общие касательные. |
 | Две внешние общие касательные. |
А всего – четыре — не больше, но может быть меньше.
Вот так:
 | Есть только две внешние общие касательные. |
 | Или так: одна «внутренняя» и две «внешних». |
А может быть вообще так:
 | только одна общая касательная: |
И снова факты:
- Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны
- Длины отрезков двух внешних общих касательных равны.
НО! При этом:
внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)
5. Касающиеся окружности
Касание окружностей бывает внешним и внутренним.
Вот такая картинка называется
 | «окружности касаются внешним образом». |
А вот такая картинка называется
 | «окружности касаются внутренним образом». |
Что же самое главное нужно знать?
 | Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры.Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей. |
Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:
Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай!
КАСАТЕЛЬНЫЕ, КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Касательная — прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.
|
|
|
|
|
|
|
|
Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:
Для двух окружностей с центрами и , и радиусами и :
- при внешнем касании: ;
- при внутреннем касании: .
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.