Какие свойства диагоналей квадрата

Какие свойства диагоналей квадрата thumbnail

Инфоурок

Начальные классы
›Презентации›Свойства диагоналей прямоугольника. Свойства диагоналей квадрата.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Свойства диагоналей прямоугольника. Свойства диагоналей квадрата. 1

Описание слайда:

Свойства диагоналей прямоугольника. Свойства диагоналей квадрата. 1

2 слайд

2

3 слайд

Прямые углы Нет прямых углов 3

Описание слайда:

Прямые углы Нет прямых углов 3

4 слайд

Л: 649 – 40 – 9 Д: 250 + 700 Г: 3* 26 – 18 О: 482 – 60 И: 4 + 96 :2 Н: 560 –

Описание слайда:

Л: 649 – 40 – 9 Д: 250 + 700 Г: 3* 26 – 18 О: 482 – 60 И: 4 + 96 :2 Н: 560 – 240 Ь: 80 : 18*9 А: 88 – 67 ШИФР: 4 950 52 22 60 422 320 22 600 45 Д И А Г О Н А Л Ь

5 слайд

Если все углы прямые И всего угла четыре Ну а по две стороны Противоположны и

Описание слайда:

Если все углы прямые И всего угла четыре Ну а по две стороны Противоположны и равны, Этот четырехугольник Назовем прямоугольник. Все углы прямые, их четыре, противоположные стороны равны. Квадрат – это тоже прямоугольник, у которого все стороны равны. 5

6 слайд

A B C D Диагональ - это прямая, которая соединяет противоположные вершины пря

Описание слайда:

A B C D Диагональ — это прямая, которая соединяет противоположные вершины прямоугольника. 6

7 слайд

7

8 слайд

Если провести одну диагональ, то диагональ делит прямоугольник на два треугол

Описание слайда:

Если провести одну диагональ, то диагональ делит прямоугольник на два треугольника. Диагонали прямоугольника равны. 8

9 слайд

Отрезки, полученные при пересечении диагоналей, равны. И диагонали делят прям

Описание слайда:

Отрезки, полученные при пересечении диагоналей, равны. И диагонали делят прямоугольник на 4 части. A B C D 7 см 3 см О 4 см 4 см 4 см 4 см 9

10 слайд

Свойства прямоугольника Диагонали прямоугольника равны. Все отрезки, которые

Описание слайда:

Свойства прямоугольника Диагонали прямоугольника равны. Все отрезки, которые получаются при пересечении диагоналей прямоугольника равны. 10

11 слайд

При пересечении, диагонали квадрата образуют прямые углы. О A B C D 11

Описание слайда:

При пересечении, диагонали квадрата образуют прямые углы. О A B C D 11

12 слайд

12

13 слайд

Домашнее задание Стр. 24 № 7, №8 13

Описание слайда:

Домашнее задание Стр. 24 № 7, №8 13

Выберите книгу со скидкой:

Какие свойства диагоналей квадрата

БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА

Инфолавка — книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»

Какие свойства диагоналей квадрата

Курс профессиональной переподготовки

Учитель начальных классов

Какие свойства диагоналей квадрата

Курс повышения квалификации

Какие свойства диагоналей квадрата

Курс повышения квалификации

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Проверен экспертом

Общая информация

Номер материала:

ДБ-1190383

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Источник

Квадрат, его свойства и признаки.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

hello_html_m28b647ca.png

Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:

  1. Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.

  2. Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

  3. Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.

  1. У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

  2. У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.

  3. У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.

  4. У квадрата диагонали равны.

  5. У квадрата стороны являются высотами.

  6. Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.

Теперь определим признаки квадрата.

ТЕОРЕМА (I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

hello_html_m190c43f6.png

Дано: – прямоугольник

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.

квадрат (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.hello_html_1ea267e8.png

Дано: – прямоугольник

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

Рассмотрим .

по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).

высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

hello_html_69e0ca54.png

Дано: – прямоугольник

диагональ

биссектриса

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

Так как – биссектриса , то .

по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.hello_html_1ea267e8.png

Дано: – ромб

— диагонали

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

Рассмотрим и .

по III признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. . Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых и , следовательно, их сумма равна , т.е. , а, значит, и . Так как в ромбе противолежащие углы равны, то и все остальные углы также равны по . Значит, такой ромб является квадратом, ч.т.д.

Читайте также:  Какие чаи полезные свойства и противопоказания

ТЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.hello_html_1ea267e8.png

Дано: – параллелограмм

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.

Так как , то по IV признаку квадрата, ромб является квадратом, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.hello_html_5d8b8e62.png

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

1. Так как , то четырёхугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.hello_html_541964a.png

Дано: – четырёхугольник

Доказать: – квадрат.

Доказательство.

1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).

2. Так как , то ромб, который по определению является параллелограммом, является прямоугольником (по III признаку прямоугольника), значит, все углы в этом четырёхугольнике прямые.

3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.

Итак, признаки квадрата:

  1. Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.

  2. Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

  3. Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.

  4. Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

  5. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.

  6. Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.

  7. Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.

  1. Периметр квадрата равен см. Найдите сторону квадрата .

  2. На рисунке четырёхугольник – квадрат, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник также является квадратом.hello_html_m2a1c0a22.png

  3. На рисунке четырёхугольник – прямоугольник, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник является квадратом.hello_html_m1e71b51e.png

  4. В треугольнике . На сторонах и взяты точки и , а на стороне – точки и так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .

  5. В треугольнике . На сторонах отмечены точки соответственно так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .

  6. На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно, . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите .

  7. На сторонах квадрата отмечены соответственно точки . Сравните отрезки и .

  8. На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Докажите, что сумма расстояний от точек и до прямой равна .

  9. На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .

  10. Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна . Найдите длину диагонали.

  11. В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.hello_html_m4dda2bd9.png

  12. Дан квадрат . Докажите, что – квадрат.

  13. Дан квадрат . Докажите, что – ромб.

hello_html_m432a04b5.png

  1. Дан квадрат . На стороне взята точка такая, что . Докажите, что точки – вершины равнобедренного треугольника.

  2. Дан квадрат . Точки – середины его сторон соответственно. Докажите, что .

  3. Дан квадрат . Точки и делят его стороны и так, что . Докажите, что .

  4. Квадраты и имеют общую вершину . Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна отрезку .hello_html_48d9e46d.png

  5. Внутри квадрата взята точка так, что . Докажите, что треугольник равносторонний.

  6. На рисунке – квадрат, точка принадлежит , точка принадлежит , точка принадлежит , прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .hello_html_672b9d03.png

  7. В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.

  8. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.

  9. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.

  10. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.

  11. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно см. Найдите периметр этого квадрата.

  12. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.

  13. Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.

Читайте также:  Какими свойствами обладает медуница

hello_html_m3be2225.png

  1. Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.

  2. Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.hello_html_m1d0ad6fb.png

  3. На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно так, что . Определите взаимное расположение прямых и .

  4. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий угол . Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен см.hello_html_m2a539d24.png

  5. Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .hello_html_61dd0c37.png

  6. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий прямой угол. Найдите катет треугольника, если периметр квадрата равен см.

hello_html_54f2e5c3.png

  1. Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .hello_html_m50529339.png

  2. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.

  3. Через точку – точку пересечения диагоналей квадрата проведена прямая, параллельная стороне и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Найдите периметр квадрата, если известно, что .

  4. Найдите периметр квадрата по данным на рисунке.hello_html_7cc5861.png

7

Источник

Êâàäðàò — ïðàâèëüíûé ÷åòûð¸õóãîëüíèê. Ó êâàäðàòà âñå óãëû è ñòîðîíû îäèíàêîâû.

Êâàäðàòû ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü äëèíîé ñòîðîíû, à âñå 4 óãëà ïðÿìûå è ðàâíû 90°.

Êâàäðàòîì ìîæåò ñòàòü ïàðàëëåëîãðàìì, ðîìá ëèáî ïðÿìîóãîëüíèê, êîãäà ó íèõ îäèíàêîâûå äëèíû äèàãîíàëåé, ñòîðîí è ðàâíûå óãëû.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.       Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

Ñâîéñòâà êâàäðàòà.

— ó âñåõ 4-õ ñòîðîí êâàäðàòà îäèíàêîâàÿ äëèíà, ò.å. ñòîðîíû êâàäðàòà ðàâíû:

AB = BC = CD = AD

— ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû êâàäðàòà ïàðàëëåëüíû:

AB||CD, BC||AD

— êàæäûé óãîë êâàäðàòà ïðÿìîé:

ABC = BCD = CDA = DAB = 90°

— ñóììà óãëîâ êâàäðàòà ðàâíà 360°:

ABC + BCD + CDA + DAB = 360°

— êàæäàÿ äèàãîíàëü êâàäðàòà èìååò òàêóþ æå äëèíó, êàê è äðóãàÿ:

AC = BD

— êàæäàÿ èç äèàãîíàëåé êâàäðàòà äåëèò êâàäðàò íà 2 îäèíàêîâûå ñèììåòðè÷íûå ôèãóðû.

— óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ðàâåí 90°, ïåðåñåêàÿ äðóã äðóãà, äèàãîíàëè äåëÿòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè:

AC┴BD;AO = BO = CO = DO = d/2

— òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé íàçûâàþò öåíòð êâàäðàòà è îíà îêàçûâàåòñÿ öåíòðîì âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé.

— âñå äèàãîíàëè äåëÿò óãîë êâàäðàòà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè, òàêèì îáðàçîì, îíè îêàçûâàþòñÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ êâàäðàòà:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD

ACB = ACD = BDC = BDA = CAB = CAD = DBC = DBA = 45°

— äèàãîíàëè äåëÿò êâàäðàò íà 4 îäèíàêîâûõ òðåóãîëüíèêà, êðîìå òîãî, ïîëó÷åííûå  òðåóãîëüíèêè â îäíî âðåìÿ è ðàâíîáåäðåííûå è ïðÿìîóãîëüíûå:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Äèàãîíàëü êâàäðàòà.

Äèàãîíàëüþ êâàäðàòà ÿâëÿåòñÿ âñÿêèé îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò 2-å âåðøèíû ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ êâàäðàòà.

Äèàãîíàëü âñÿêîãî êâàäðàòà áîëüøå ñòîðîíû ýòîãî êâàäðàòà â √2 ðàç.

Ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ äëèíû äèàãîíàëè êâàäðàòà:

1. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ñòîðîíó êâàäðàòà:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

2. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ïëîùàäü êâàäðàòà:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

3. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ïåðèìåòð êâàäðàòà:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

4. Ñóììà óãëîâ êâàäðàòà = 360°:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

5. Äèàãîíàëè êâàäðàòà îäíîé äëèíû:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

6. Âñå äèàãîíàëè êâàäðàòà äåëÿò êâàäðàò íà 2-å îäèíàêîâûå ôèãóðû, êîòîðûå ñèììåòðè÷íû:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

7. Óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ðàâåí 90°, ïåðåñåêàÿ äðóã äðóãà, äèàãîíàëè äåëÿòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

8. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç äëèíó îòðåçêà l:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

9. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:                                      

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

R — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè;

D — äèàìåòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè;

d — äèàãîíàëü êâàäðàòà.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

10. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:                                    

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

R – ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè;

Читайте также:  При использовании какого метода научного познания происходит замена отдельных свойств

D – äèàìåòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè;

d – äèàãîíàëü.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

11. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ëèíèþ, êîòîðàÿ âûõîäèò èç óãëà íà ñåðåäèíó ñòîðîíû êâàäðàòà:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò. 

C – ëèíèÿ, êîòîðàÿ âûõîäèò èç óãëà íà ñåðåäèíó ñòîðîíû êâàäðàòà;

d – äèàãîíàëü.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

Ïåðèìåòð êâàäðàòà. Ïëîùàäü êâàäðàòà.

Âïèñàííûé êðóã â êâàäðàò – ýòî êðóã, ïðèìûêàþùèé ê ñåðåäèíàì ñòîðîí êâàäðàòà è èìåþùèé öåíòð íà ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé êâàäðàòà.

Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè — ñòîðîíà êâàäðàòà (ïîëîâèíà).

Ïëîùàäü êðóãà âïèñàííîãî â êâàäðàò ìåíüøå ïëîùàäè êâàäðàòà â π/4 ðàçà.

Êðóã, îïèñàííûé âîêðóã êâàäðàòà — ýòî êðóã, êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç 4-ðå âåðøèíû êâàäðàòà è êîòîðûé èìååò öåíòð íà ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé êâàäðàòà.

Ðàäèóñ îêðóæíîñòè îïèñàííîé âîêðóã êâàäðàòà áîëüøå ðàäèóñà âïèñàííîé îêðóæíîñòè â √2 ðàç.

Ðàäèóñ îêðóæíîñòè îïèñàííîé âîêðóã êâàäðàòà ðàâåí 1/2 äèàãîíàëè.

Ïëîùàäü êðóãà îïèñàííîãî âîêðóã êâàäðàòà áîëüøàÿ ïëîùàäü òîãî æå êâàäðàòà â π/2 ðàç.

Источник

Êâàäðàò — ïðàâèëüíûé ÷åòûð¸õóãîëüíèê. Ó êâàäðàòà âñå óãëû è ñòîðîíû îäèíàêîâû.

Êâàäðàòû ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü äëèíîé ñòîðîíû, à âñå 4 óãëà ïðÿìûå è ðàâíû 90°.

Êâàäðàòîì ìîæåò ñòàòü ïàðàëëåëîãðàìì, ðîìá ëèáî ïðÿìîóãîëüíèê, êîãäà ó íèõ îäèíàêîâûå äëèíû äèàãîíàëåé, ñòîðîí è ðàâíûå óãëû.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.       Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

Ñâîéñòâà êâàäðàòà.

— ó âñåõ 4-õ ñòîðîí êâàäðàòà îäèíàêîâàÿ äëèíà, ò.å. ñòîðîíû êâàäðàòà ðàâíû:

AB = BC = CD = AD

— ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû êâàäðàòà ïàðàëëåëüíû:

AB||CD, BC||AD

— êàæäûé óãîë êâàäðàòà ïðÿìîé:

ABC = BCD = CDA = DAB = 90°

— ñóììà óãëîâ êâàäðàòà ðàâíà 360°:

ABC + BCD + CDA + DAB = 360°

— êàæäàÿ äèàãîíàëü êâàäðàòà èìååò òàêóþ æå äëèíó, êàê è äðóãàÿ:

AC = BD

— êàæäàÿ èç äèàãîíàëåé êâàäðàòà äåëèò êâàäðàò íà 2 îäèíàêîâûå ñèììåòðè÷íûå ôèãóðû.

— óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ðàâåí 90°, ïåðåñåêàÿ äðóã äðóãà, äèàãîíàëè äåëÿòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè:

AC┴BD;AO = BO = CO = DO = d/2

— òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé íàçûâàþò öåíòð êâàäðàòà è îíà îêàçûâàåòñÿ öåíòðîì âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé.

— âñå äèàãîíàëè äåëÿò óãîë êâàäðàòà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè, òàêèì îáðàçîì, îíè îêàçûâàþòñÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ êâàäðàòà:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD

ACB = ACD = BDC = BDA = CAB = CAD = DBC = DBA = 45°

— äèàãîíàëè äåëÿò êâàäðàò íà 4 îäèíàêîâûõ òðåóãîëüíèêà, êðîìå òîãî, ïîëó÷åííûå  òðåóãîëüíèêè â îäíî âðåìÿ è ðàâíîáåäðåííûå è ïðÿìîóãîëüíûå:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Äèàãîíàëü êâàäðàòà.

Äèàãîíàëüþ êâàäðàòà ÿâëÿåòñÿ âñÿêèé îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò 2-å âåðøèíû ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ êâàäðàòà.

Äèàãîíàëü âñÿêîãî êâàäðàòà áîëüøå ñòîðîíû ýòîãî êâàäðàòà â √2 ðàç.

Ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ äëèíû äèàãîíàëè êâàäðàòà:

1. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ñòîðîíó êâàäðàòà:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

2. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ïëîùàäü êâàäðàòà:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

3. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ïåðèìåòð êâàäðàòà:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

4. Ñóììà óãëîâ êâàäðàòà = 360°:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

5. Äèàãîíàëè êâàäðàòà îäíîé äëèíû:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

6. Âñå äèàãîíàëè êâàäðàòà äåëÿò êâàäðàò íà 2-å îäèíàêîâûå ôèãóðû, êîòîðûå ñèììåòðè÷íû:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

7. Óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ðàâåí 90°, ïåðåñåêàÿ äðóã äðóãà, äèàãîíàëè äåëÿòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

8. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç äëèíó îòðåçêà l:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

9. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:                                      

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

R — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè;

D — äèàìåòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè;

d — äèàãîíàëü êâàäðàòà.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

10. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:                                    

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

R – ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè;

D – äèàìåòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè;

d – äèàãîíàëü.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

11. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ëèíèþ, êîòîðàÿ âûõîäèò èç óãëà íà ñåðåäèíó ñòîðîíû êâàäðàòà:

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò. 

C – ëèíèÿ, êîòîðàÿ âûõîäèò èç óãëà íà ñåðåäèíó ñòîðîíû êâàäðàòà;

d – äèàãîíàëü.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Êâàäðàò.

Ïåðèìåòð êâàäðàòà. Ïëîùàäü êâàäðàòà.

Âïèñàííûé êðóã â êâàäðàò – ýòî êðóã, ïðèìûêàþùèé ê ñåðåäèíàì ñòîðîí êâàäðàòà è èìåþùèé öåíòð íà ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé êâàäðàòà.

Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè — ñòîðîíà êâàäðàòà (ïîëîâèíà).

Ïëîùàäü êðóãà âïèñàííîãî â êâàäðàò ìåíüøå ïëîùàäè êâàäðàòà â π/4 ðàçà.

Êðóã, îïèñàííûé âîêðóã êâàäðàòà — ýòî êðóã, êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç 4-ðå âåðøèíû êâàäðàòà è êîòîðûé èìååò öåíòð íà ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé êâàäðàòà.

Ðàäèóñ îêðóæíîñòè îïèñàííîé âîêðóã êâàäðàòà áîëüøå ðàäèóñà âïèñàííîé îêðóæíîñòè â √2 ðàç.

Ðàäèóñ îêðóæíîñòè îïèñàííîé âîêðóã êâàäðàòà ðàâåí 1/2 äèàãîíàëè.

Ïëîùàäü êðóãà îïèñàííîãî âîêðóã êâàäðàòà áîëüøàÿ ïëîùàäü òîãî æå êâàäðàòà â π/2 ðàç.

Источник