Что такое трапеция какие виды и свойства вы знаете
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 19 января 2020;
проверки требуют 10 правок.
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Часто в определение трапеции добавляют условие, что две другие стороны должны быть не параллельны[1]. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Варианты определения[править | править код]
Существует и другое определение трапеции.
Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.
Связанные определения[править | править код]
Элементы трапеции[править | править код]
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
- Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
- Две другие стороны называются боковыми сторонами.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
- Углом при основании трапеции называется ее внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.
Виды трапеций[править | править код]
- Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой[4] или равнобочной[5] трапецией).
- Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция
Свойства[править | править код]
Основной источник: [6]
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.[7]
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
- Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому длин оснований трапеции.
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
- Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
- Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
- Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.
- Если отношение оснований равно , то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно .
- Высота трапеции определяется формулой:
где — большее основание, — меньшее основание, и — боковые стороны.
Их можно выразить в явном виде:
Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
Если же известна высота , то
- Прямая Гаусса для трапеции совпадает с ее средней линией.
Равнобедренная трапеция[править | править код]
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
- прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
- высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
- углы при любом основании равны;
- сумма противоположных углов равна 180°;
- длины диагоналей равны;
- вокруг этой трапеции можно описать окружность;
- вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.
Кроме того
- если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная и описанная окружность[править | править код]
- Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
- В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
- Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
- Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:[источник не указан 1791 день]
где — боковая сторона, — бо́льшее основание, — меньшее основание, — диагонали равнобедренной трапеции.
- Если , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
Площадь[править | править код]
Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:
или
- Средняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как[8]
- Площадь равнобедренной трапеции:
где — боковая сторона, — бо́льшее основание, — меньшее основание, — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной[9].
- Площадь равнобедренной трапеции через её стороны
История[править | править код]
Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).
Примечания[править | править код]
Трапеция, виды, элементы, свойства.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.
Трапеция (понятие, определение)
Виды трапеций
Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота
Свойства трапеции
Трапеция (понятие, определение):
Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.
Рис. 1. Трапеция
Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Виды трапеций:
Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Рис. 2. Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.
Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.
Рис. 3. Прямоугольная трапеция
Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:
Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.
Рис. 4. Трапеция
AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.
AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.
Рис. 5. Трапеция и срединная линия
Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.
Рис. 6. Трапеция
Высота трапеции (h) определяется формулой:
,
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.
Свойства трапеции:
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Рис. 7. Трапеция и срединная линия
MN || BC, MN || AD,
l = (a + b) / 2
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
Рис. 8. Трапеция
MN = (b – a) / 2
3. Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360° .
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° .
Рис. 9. Трапеция
4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Рис. 9. Трапеция
5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
Рис. 10. Трапеция
AB = BK
6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Рис. 11. Трапеция
∠BAD + ∠CDA = 90°, MN = (AD – DC) / 2
7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
Рис. 12. Трапеция
AB + CD = AD + BC
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Рис. 13. Трапеция
Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
Рис. 14. Трапеция
MN = (AB + CD) / 2,
MN = (AD + BC) / 2
8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.
Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.
Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.
Рис. 15. Трапеция
Треугольники BCO и AOD подобны. Коэффициент подобия треугольников (k) находится как отношение оснований трапеции. k = AD / BC. Отношение площадей этих подобных треугольников есть k2.
Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.
9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.
Рис. 16. Трапеция
BC : AD = OC : AO = OB : DO
10. Диагонали трапеции d1и d2 связаны со сторонами соотношением:
d12 + d22 = 2ab + c 2 + d 2 ,
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.
11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.
Рис. 17. Трапеция
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,
KL – средняя линия
Рис. 17. Трапеция
AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,
KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции
12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:
,
где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S1 и S2 – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.
Рис. 18. Трапеция
S1 – площадь трапеции MBCN,
S2 – площадь трапеции AMND
Квадрат
Овал
Полукруг
Прямой угол
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Ромб
Трапеция
Тупой угол
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта
Коэффициент востребованности
138
[{Large{text{Произвольная трапеция}}}]
Определения
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.
Теоремы: свойства трапеции
1) Сумма углов при боковой стороне равна (180^circ).
2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.
Доказательство
1) Т.к. (ADparallel BC), то углы (angle BAD) и (angle ABC) – односторонние при этих прямых и секущей (AB), следовательно, (angle
BAD
+angle ABC=180^circ).
2) Т.к. (ADparallel BC) и (BD) – секущая, то (angle DBC=angle
BDA) как накрест лежащие.
Также (angle BOC=angle AOD) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам (triangle BOC sim triangle AOD).
Докажем, что (S_{triangle AOB}=S_{triangle COD}). Пусть (h) – высота трапеции. Тогда (S_{triangle ABD}=frac12cdot hcdot
AD=S_{triangle ACD}). Тогда: [S_{triangle AOB}=S_{triangle ABD}-S_{triangle AOD}=S_{triangle ACD}-S_{triangle AOD}=S_{triangle
COD}]
Определение
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем параллельность.
Проведем через точку (M) прямую (MN’parallel AD) ((N’in CD)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. (MN’parallel ADparallel BC, AM=MB)) точка (N’) — середина отрезка (CD). Значит, точки (N) и (N’) совпадут.
2) Докажем формулу.
Проведем (BB’perp AD, CC’perp AD). Пусть (BB’cap MN=M’, CC’cap
MN=N’).
Тогда по теореме Фалеса (M’) и (N’) — середины отрезков (BB’) и (CC’) соответственно. Значит, (MM’) – средняя линия (triangle
ABB’), (NN’) — средняя линия (triangle DCC’). Поэтому: [MM’=dfrac12 AB’, quad NN’=dfrac12 DC’]
Т.к. (MNparallel ADparallel BC) и (BB’, CC’perp AD), то (B’M’N’C’) и (BM’N’C) – прямоугольники. По теореме Фалеса из (MNparallel AD) и (AM=MB) следует, что (B’M’=M’B). Значит, (B’M’N’C’) и (BM’N’C) – равные прямоугольники, следовательно, (M’N’=B’C’=BC).
Таким образом:
[MN=MM’+M’N’+N’N=dfrac12 AB’+B’C’+dfrac12 C’D=] [=dfrac12 left(AB’+B’C’+BC+C’Dright)=dfrac12left(AD+BCright)]
Теорема: свойство произвольной трапеции
Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем, что точки (P), (N) и (M) лежат на одной прямой.
Проведем прямую (PN) ((P) – точка пересечения продолжений боковых сторон, (N) – середина (BC)). Пусть она пересечет сторону (AD) в точке (M). Докажем, что (M) – середина (AD).
Рассмотрим (triangle BPN) и (triangle APM). Они подобны по двум углам ((angle APM) – общий, (angle PAM=angle PBN) как соответственные при (ADparallel BC) и (AB) секущей). Значит: [dfrac{BN}{AM}=dfrac{PN}{PM}]
Рассмотрим (triangle CPN) и (triangle DPM). Они подобны по двум углам ((angle DPM) – общий, (angle PDM=angle PCN) как соответственные при (ADparallel BC) и (CD) секущей). Значит: [dfrac{CN}{DM}=dfrac{PN}{PM}]
Отсюда (dfrac{BN}{AM}=dfrac{CN}{DM}). Но (BN=NC), следовательно, (AM=DM).
2) Докажем, что точки (N, O, M) лежат на одной прямой.
Пусть (N) – середина (BC), (O) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую (NO), она пересечет сторону (AD) в точке (M). Докажем, что (M) – середина (AD).
(triangle BNOsim triangle DMO) по двум углам ((angle OBN=angle
ODM) как накрест лежащие при (BCparallel AD) и (BD) секущей; (angle BON=angle DOM) как вертикальные). Значит: [dfrac{BN}{MD}=dfrac{ON}{OM}]
Аналогично (triangle CONsim triangle AOM). Значит: [dfrac{CN}{MA}=dfrac{ON}{OM}]
Отсюда (dfrac{BN}{MD}=dfrac{CN}{MA}). Но (BN=CN), следовательно, (AM=MD).
[{Large{text{Равнобедренная трапеция}}}]
Определения
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Теоремы: свойства равнобедренной трапеции
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.
Доказательство
1) Рассмотрим равнобедренную трапецию (ABCD).
Из вершин (B) и (C) опустим на сторону (AD) перпендикуляры (BM) и (CN) соответственно. Так как (BMperp AD) и (CNperp AD), то (BMparallel CN); (ADparallel BC), тогда (MBCN) – параллелограмм, следовательно, (BM = CN).
Рассмотрим прямоугольные треугольники (ABM) и (CDN). Так как у них равны гипотенузы и катет (BM) равен катету (CN), то эти треугольники равны, следовательно, (angle DAB = angle CDA).
2) 
Т.к. (AB=CD, angle A=angle D, AD) – общая, то по первому признаку (triangle ABD=triangle ACD). Следовательно, (AC=BD).
3) Т.к. (triangle ABD=triangle ACD), то (angle BDA=angle CAD). Следовательно, треугольник (triangle AOD) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и (triangle BOC) – равнобедренный.
Теоремы: признаки равнобедренной трапеции
1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство
Рассмотрим трапецию (ABCD), такую что (angle A = angle D).
Достроим трапецию до треугольника (AED) как показано на рисунке. Так как (angle 1 = angle 2), то треугольник (AED) равнобедренный и (AE
= ED). Углы (1) и (3) равны как соответственные при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AB). Аналогично равны углы (2) и (4), но (angle 1 = angle 2), тогда (angle 3 = angle 1 = angle 2 =
angle 4), следовательно, треугольник (BEC) тоже равнобедренный и (BE = EC).
В итоге (AB = AE — BE = DE — CE = CD), то есть (AB = CD), что и требовалось доказать.
2) Пусть (AC=BD). Т.к. (triangle AODsim triangle BOC), то обозначим их коэффициент подобия за (k). Тогда если (BO=x), то (OD=kx). Аналогично (CO=y Rightarrow AO=ky).
Т.к. (AC=BD), то (x+kx=y+ky Rightarrow x=y). Значит (triangle AOD) – равнобедренный и (angle OAD=angle ODA).
Таким образом, по первому признаку (triangle ABD=triangle ACD) ((AC=BD, angle OAD=angle ODA, AD) – общая). Значит, (AB=CD), чтд.
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы решили подробно рассказать о такой геометрической фигуре, как ТРАПЕЦИЯ.
Ее подробно изучают на уроках геометрии в 8-м классе. И эти уроки являются частью общего знакомства школьников с различными четырехугольниками.
Определение трапеции
Трапеция – геометрическая фигура, которая представляет собой четырехугольник, у которого две противоположные стороны располагаются на параллельных прямых. А две другие стороны должны, наоборот, быть не параллельными.
Вот так выглядит классическая трапеция:
У этой фигуры стороны АВ и CD являются параллельными. А вот AD и CB – нет.
Происхождения слова
Первое упоминание об этой фигуре встречается еще в трудах известного древнегреческого математика Евклида.
В его книге «Начала» этим термином описывается абсолютно любой четырехугольник, который не является параллелограммом.
Если кто не помнит, параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Выглядит эта фигура в классическом понимании вот так:
Интересно, что и всем известные фигуры – квадрат, прямоугольник (что это?) и ромб (это как?) – также являются частным случаем параллелограмма. Ведь действительно – у них противоположные стороны параллельны друг к другу.
И получается, что Евклид был в целом прав. Он просто поделил все четырехугольники на две большие категории – параллелограммы и трапеции.
Кстати, само слово ТРАПЕЦИЯ также имеет греческое происхождение. В древние времена оно звучало как «трапедзион». И в переводе это означает «обеденный стол». Поэтому слово «трапеза», которое у нас является синонимом любого приема пищи тоже родом оттуда.
Стороны трапеции
Парные стороны трапеций имеют свои названия:
- Основания трапеции – стороны, которые располагаются на параллельных прямых.
- Боковые – стороны, которые не находятся на параллельных прямых.
Закрепим это с помощью рисунка:
В данном случае стороны АВ и CD параллельны друг другу. А значит, именно они являются основаниями. А вот АС и BD – наоборот, явно не параллельны. И соответственно, это боковые стороны.
Кстати, расположение сторон не зависит от расположения самой фигуры. Даже вот в таких положениях
все равно параллельные стороны будут считаться основаниями, а непараллельные – боковыми.
Равнобедренная и прямоугольная трапеции
Вариант трапеции, который мы рассмотрели – это самые распространенные виды геометрической фигуры. Но есть и частные случаи:
Равнобедренная трапеция – та, у которой боковые (не параллельные) стороны равны. Ее еще называют равнобокой или равнобочной.
Выглядит она вот так:
В данном примере графически показано, что стороны AD и ВС равны между собой. Об этом свидетельствуют небольшие черточки.
Прямоугольная трапеция – та, у которой одна из боковых сторон и основания образовывают прямой угол.
Выглядит она вот так:
В данном примере, углы DAB и ADC являются прямыми, то есть равны 90 градусам. А соответственно, трапеция называется прямоугольной.
Тут важно заметить, что под прямым углом к основанию должна идти только одна боковая сторона. Если будут обе, то трапеция автоматически превратится в квадрат.
Свойства трапеций
С трапециями связаны несколько понятий в геометрии, которые активно используются для решения различных теорем.
Средняя линия
Средняя линия трапеции – это отрезок, который идет параллельно основаниям и соединяет середины:
Со средней линией связана одна интересная теорема. Очень часто на уроках геометрии школьников просят определить ее длину. И сделать это весьма просто.
Длина средней линии трапеции равна половине суммы длин ее оснований.
Звучит может и несколько тяжеловато. Но на деле – это весьма просто. Так, чтобы посчитать в нашем примере длину отрезка MN, который является средней линией, надо применить формулу:
MN = (AD + ВС) / 2
И это правило распространяется на все виды трапеций.
Биссектриса углов трапеции
Биссектриса – это линия (луч), которая делит угол пополам. Так вот
Любая биссектриса, выведенная из угла трапеции, отсекает на основании отрезок, равный по длине боковой стороне.
На данном рисунке отрезок АЕ является биссектрисой угла ABD. И исходя из этого, отрезки АВ и ВЕ равны между собой, о чем свидетельствуют небольшие черточки на них.
В то же время у биссектрис в трапеции есть еще одно свойство.
Две биссектрисы, выведенные из углов одной боковой стороны, пересекаются под прямым углом.
Все эти теоремы в процессе школьного обучения, ученикам еще необходимо доказывать. Ну а мы решили не приводить долгие математические и геометрические выкладки. Просто примите как данность!
Вот и все, что мы хотели рассказать вам о трапеции.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Подборки по теме
- Вопросы и ответы
- Использую для заработка
- Полезные онлайн-сервисы
- Описание полезных программ
Использую для заработка
- ВоркЗилла — удаленная работа для всех
- Анкетка — платят за прохождение тестов
- Etxt — платят за написание текстов
- Кьюкоммент — биржа комментариев
- Поиск лучшего курса обмена
- 60сек — выгодный обмен криптовалют
- Толока — заработок для всех в Яндексе
- Бинанс — надёжная биржа криптовалют
- ВкТаргет — заработок в соцсетях (ВК, ОК, FB и др.)