В какую свойства вписанной окружности
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 12 мая 2020;
проверки требует 1 правка.
Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE
Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.
В многоугольнике[править | править код]
- Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
В треугольнике[править | править код]
Окружность, вписанная в треугольник со сторонами a, b, c.
Свойства вписанной окружности:
где — стороны треугольника, — высоты, проведённые к соответствующим сторонам[1];
где — площадь треугольника, а — его полупериметр.
, — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).
- Если — основание равнобедренного треугольника , то окружность, касающаяся сторон угла в точках и , проходит через центр вписанной окружности треугольника .
- Теорема Эйлера: , где — радиус описанной вокруг треугольника окружности, — радиус вписанной в него окружности, — центр описанной окружности, — центр вписанной окружности.
- Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне , пересекает стороны и в точках и , то .
- Если точки касания вписанной в треугольник окружности соединить отрезками, то получится треугольник со свойствами:
- Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T1
- Пусть T2 — ортотреугольник T1. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
- Пусть T3 — серединный треугольник T1. Тогда биссектрисы T являются высотами T3.
- Пусть T4 — ортотреугольник T3, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T4.
- Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен .
- Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно .
- Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно , где — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
- Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам и
- Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда .
- Лемма Веррьера[2][3]: пусть окружность касается сторон , и дуги описанной окружности треугольника . Тогда точки касания окружности со сторонами и центр вписанной окружности треугольника лежат на одной прямой.
- Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности. Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.
Связь вписанной и описанной окружностей[править | править код]
[4]
,
где — полупериметр треугольника, — его площадь.
- Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[5].
- Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную.
- Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.
Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R
В четырёхугольнике[править | править код]
- Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
- Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
- Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: .
- Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Гаусса. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
- Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).
В сферическом треугольнике[править | править код]
Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.
- Тангенс радиуса[6] вписанной в сферический треугольник окружности равен[7]:73-74
- Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника[7]:20-21.
Обобщения[править | править код]
- Вписанной сферой называется сфера, касающаяся всех граней многогранника.
- Эллипс Штейнера — вписанный в треугольник эллипс.
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ Altshiller-Court, 1925, p. 79.
- ↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.
- ↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).. — Москва: Ленанд, 2015. — 352 с. — ISBN 978-5-9710-2186-5.
- ↑ Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
- ↑ Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002. c. 11, п. 5
- ↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.
- ↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
Литература[править | править код]
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0.
- Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble
Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника (рис. 8.106).
Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности (рис. 8.107).
Свойства вписанной окружности
1. Окружность можно вписать в любой треугольник.
2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
Например, на рисунке 8.106 
.
Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.
Свойства описанной окружности
1. Окружность можно описать около любого треугольника.
2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны.
Например, на рисунке 8.107 
.
Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.
Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:
1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике:
а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108);
б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);
3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);
4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).
Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:
1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);
2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;
3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника.
Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей
Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают 
, а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают 
:
1) для равностороннего треугольника со стороной 
:
, (8.34)
; (8.35)
2) для произвольного треугольника со сторонами 
и площадью 
:
, (8.36)
; (8.37)
3) для прямоугольного треугольника с катетами 
и гипотенузой 
:
, (8.38)
; (8.39)
4) для квадрата со стороной и диагональю 
:
, (8.40)
; (8.41)
5) для прямоугольника с диагональю :
; (8.42)
6) для ромба с высотой 
:
; (8.43)
7) для трапеции с высотой , при условии, что в трапецию можно вписать окружность:
. (8.44)
Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами и площадью , по формуле найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);
8) для правильного шестиугольника со стороной :
, (8.45)
. (8.46)
Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка 
является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.
Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна 
.
Решение. Так как площадь круга радиуса находят по формуле 8.32, а площадь квадрата со стороной находят по формуле 
, то согласно условию задачи запишем: 
, 
.
А так как , то 
, 
, 
, 
, 
.
Ответ: 
.
Пример 2. Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами и 
находят по формуле 
.
Пусть 
, тогда 
(рис. 8.118).
Получим: 
, 
, откуда 
, следовательно, 
, 
.
По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: 
, 
. Согласно формуле 8.42 
.
Ответ: 
.
Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8.
Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):
, 
, .
По формуле 
найдем площадь ромба: 
.
Но площадь ромба можно найти и по формуле 
, а так как 
, то 
. Тогда 
, а 
.
Ответ: 2,4.
Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна 
.
Решение. Площадь правильного треугольника со стороной находят по формуле: 
.
Зная площадь треугольника, найдем его сторону: 
, 
, .
По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: 
.
По формуле 8.30 найдем длину окружности: 
.
Ответ: 
.
Пример 5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой находят по формуле 8.38. Тогда 
.
Так как треугольник равнобедренный, то его катеты и раны и по теореме Пифагора 
, откуда 
, 
.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае 
, 
.
Ответ: 
.
Пример 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 3. Найдите площадь треугольника.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник 
. Точка является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).
Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат 
со стороной 3. Если катет 
, а сторона квадрата 
, то 
.
Пусть отрезок 
. По свойству касательных 
и 
.
Тогда по теореме Пифагора 
или 
, откуда 
, 
.
Найдем катет 
: 
.
Найдем площадь треугольника: 
, 
.
Ответ: 60.
Пример 7. Окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки 4 и 8 и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник (рис.8.121).
Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: 
, откуда .
Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.
В свою очередь по формуле Герона 
найдем площадь треугольника. Так как 
, то 
.
Тогда 
.
Ответ: 
.
Пример 8. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 4 и 5. Найдите площадь трапеции.
Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: 
, 
.
По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: 
, 
, 
.
Согласно формуле 
найдем площадь трапеции: 
.
Ответ: 45.
Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как 
, а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.
Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию 
(рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции 
.
Радиус окружности, описанной около треугольника 
, найдем по формуле 8.36:
, 
.
Зная, что 
и вводя коэффициент пропорциональности 
, получим 
, 
.
Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то 
, откуда 
. Тогда 
, 
.
Поскольку четырехугольник 
является прямоугольником, то 
, тогда 
.
Согласно теореме Пифагора запишем:
, 
;
, 
.
По формуле 8.36 найдем радиус окружности, описанной около треугольника , а, следовательно, и около трапеции :
.
Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: 
.
Ответ: 
.
Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна 
.
Решение. По формуле 8.45 найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника: 
.
По формуле 8.46 найдем радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник. Так как 
, то 
.
Площадь круга находят по формуле 8.32. Тогда 
, а 
.
Найдем площадь кольца: 
, 
.
Ответ: 
.
1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.
2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.
3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.
4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.
5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.
Длину окружности радиуса находят по формуле:
. (8.30)
Площадь круга радиуса находят по формуле:
. (8.32)
Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность
Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности
- Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
- В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
- Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac{S}{p}$$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр треугольника.
Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.
- Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
- В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
- Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =frac{a cdot b cdot c}{4S}$$, где S — площадь треугольника.
Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной.
- Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
- Радиус вписанной окружности находят по формулам: $$r = frac{a cdot b}{a+b+c}$$, и $$r = frac{a+b-c}{2}$$, где a и b катеты прямоугольного треугольника, а c гипотенуза прямоугольного треугольника.
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
- Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
- Радиус равен половине гипотенузы: $$R = frac{c}{2}$$.
- Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_{c}$$.
Четырехугольник, описанный около окружности
- Четырехугольник ABCD можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны AB + CD = BC + AD.
- Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.
- Площадь: $$S = p cdot r$$, где r — радиус вписанной окружности, а $$p = frac{a+b+c+d}{2}$$ — полупериметр.
Четырехугольник, вписанный в окружность
- Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^circ: alpha + beta + gamma +delta = 180^circ$$.
- Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^circ$$.
- Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$ABcdot DC + AD cdot BC = BD cdot AC$$.
- Площадь: $$S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$, где $$p = frac{a+b+c+d}{2}$$ — полупериметр четырехугольника.
Окружность, вписанная в ромб
- В любой ромб можно вписать окружность.
- Радиус r вписанной окружности: $$r = frac{h}{2}$$, где h — высота ромба или $$r = frac{d_{1} cdot d_{2}}{4a}$$, где a — сторона ромба, d1 и d2 — диагонали ромба.