В какой точке предельный продукт равен среднему продукту
Экономическая деятельность фирмы может быть описана функцией (6.2) [1, 2]:
где
Q — максимальный объем производства при заданных расходах,
F1,F2,……… Fn — количества использованных факторов 1,2,………, n .
Предположим, что F1 — переменный фактор, тогда как другие (n-1) факторов постоянные. Для того, чтобы отобразить влияние переменного фактора на производство, введем понятие совокупного (общего), среднего и предельного продукта.
Совокупный продукт (TP = Q) — это общее количество экономического блага, сделанного с использованием некоторого количества переменного фактора (то есть сколько всего сделано продукта на базе имеющихся ресурсов).
Средний продукт (average product) — АР отображает количество совокупного продукта, который приходится в среднем на 1 единицу одного израсходованного переменного фактора (фондоотдача, производительность труда), рассчитывается по формуле (6.3):
АР= (6.3)
Предельный продукт (marginal product) — определяется как прирост совокупного продукта, полученный в результате увеличения однойединицыодного переменного фактора (6.4):
MP=(6.4)
Закон убывающей предельной производительности утверждает, что с ростом использования любого производственного фактора (при неизменности других) рано или поздно достигается такая точка, в которой дополнительное применение переменного фактора ведет к снижению относительного и дальше абсолютного объемов выпуска продукции. Увеличение использования одного из факторов (при фиксированности других) приводит к последовательному снижению отдачи от его применения (рис. 6.1).
На первой стадии производства (ОА) увеличение расходовтруда содействует все более полному использованию капитала: предельнаяи общая производительность труда растут. При этом предельный продукт больше среднего продукта MP>AP. В точке А’ предельный продукт (МР) достигает своего максимума.На второй стадии (АБ) величина предельного продукта уменьшается и в точке Б’ становится равной среднему продукту МР = АР. Если напервой стадии (ОА) совокупный продуктрастает медленнее, чем использованное количество переменного фактора F1, то на второй стадии (АБ) совокупный продукт растет быстрее, чемиспользованное количество переменного фактора. На третьей стадии производства (БВ) МР<АР,в результате чего совокупный продукт растет медленнее расходов переменного фактора. На четвертой стадии (после точки В), когда МР<0, прирост переменного фактора приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. Предельный продукт для какой-нибудь точки на кривой совокупного выпуска равняется тангенсу угла наклона касательной к кривой в этой точке ( для точки А) [1, 3].
В точке В совокупный продукт достигает своего максимума, а предельный продукт равняется 0 (МР = 0). До точки В МР > 0, после этой точки МР < 0.
Мы уже отмечали, что потребительское благо не является экономическим, если его предельная полезность (и соответственно цена) равняется 0. Поэтому и факторы производства используются в производстве только тогда, когда их производительность (отдача) представляет собой положительную величину. Спрос на ресурсы есть производным от спроса на потребительские блага. Это означает, что для того, чтобы максимизировать прибыль, каждый производитель (фирма) должен использовать дополнительные единицы любого ресурса до тех пор, пока каждая дополнительная единица ресурса дает прирост совокупного дохода, который превышает прирост совокупных расходов [2].
Правило эффективного использования ресурсов (6.5):
MRP > MRC, (6.5)
где
MRP — предельный продукт в денежном выражении (marginal revenue product),
MRC — предельные расходы (marginal resourse cost).
Равновесие производителя обеспечивается тогда, когда он достигает максимума производства. Однако, при этом необходимо использовать правило наименьших расходов, которое заключается в том, что расходы минимизируются в том случае, когда последняя гривна, израсходованная на каждый ресурс, дает одинаковую отдачу — одинаковый предельный продукт. Это правило используется для любого количества факторов производства (6.6):
==………….=, (6.6)
где
Mrpi — предельная производительность, или предельный продукт в денежном выражении для i — го ресурса (фактора производства);
Pi — цены i-х ресурсов.
Пример. Пусть цены ресурсов, готовой продукции и количество денег, которые имеет производитель для организации производства, являются фиксированными (заданными) и производитель использует два фактора производства F1 и F2. Предельная производительность 1 единицы ресурса F1 составляет MRP1 = 60 грн, ресурса F2 MRP2 = 70 грн. Цена ресурса F1 Г1 = 5грн, ресурса F2 P2 = 10 грн. Взвешенные предельные производительности соответственно будут уровны
= = 12 грн., = = 7 грн.
Очевидно, что использование первого ресурса более эффективное, чем второго, поэтому целесообразно отказаться от одной единицы фактора F2 (что сэкономит нам 10 грн) и купить соответственно две единицы фактора F1, что повысит нашу прибыль. При этом мы потеряли на 70 грн. продукции №2, но приобрели на 120 грн (60·2) продукції №1. Чистий виграш составил 50 грн. (120 — 70 = 50). Так необходимо переориентировать ресурси, пока взвешенные предельные производительности, не будуть равны один одному.
Правило наименьших издержек обеспечивает равновесное положение производителя. Когда отдача от всех факторов одинаковая, задача их перераспределения отпадает, потому что уже нет ресурсов, которые приносят больший доход в сравнении с другими. Производитель находится в положении равновесия, достигается оптимальная комбинация факторов производства, которое обеспечивает максимизацию выпуска при имеющихся ресурсах.
Правило наименьших издержек касается не только набора всех ресурсов, но и использования одного и того же ресурса в разных производственных процессах. Рациональный производитель стремится не только к минимизации расходов, но и к максимизации прибыли.
Прибыль определяетсякак разница между доходом (выручкой), которую приносит ресурс и расходами, связанными с его использованием. Правило максимизации прибылина конкурентныхрынках означает, что предельные продукты всех факторов производства в стоимостном выражении равны их ценам, то есть каждый ресурс используется до тех пор, пока его предельный продукт в денежном выражении не станет равняться его цене. Другими словами, каждому фактору производства полагается тот доход, который он создает (6.7):
==…………=или Mrpi = Pi (6.7)
Сложность применения этого правила связана с тем, что рынки факторов производства очень далеки от условий совершенной конкуренции, каждый фактор оплачивается по-разному и подчиняется разным законам распределения. Однако это правило позволяет понять принцип получения прибыли.
Общий (совокупный) продукт (Total product, TP) — это суммарный объем выпуска продукции, произведенный с использованием некоторого количества переменного фактора производства.
Общий продукт переменного фактора L может быть показан следующей производственной функцией, отражающая отношение между общим выпуском продукции и количеством фактора L, при постоянном количестве фактора K:
Q = f (L), при K — const
Предельный продукт (Marginal product, MP) — величина, показывающая изменение объема выпуска продукции, в результате использования дополнительной единицы какого-либо фактора производства при неизменном количестве остальных.
MPL = ДQ / ДL
где ДQ — изменение объема выпуска продукции; ДL — изменение количества фактора L.
Средний продукт (Average product, AP) — величина, показывающая количество объема продукции, приходящееся на единицу переменного фактора производства. Определяется путем деления объема выпускаемой продукции на количество используемого переменного фактора L:
APL = Q / L
где Q — объем выпускаемой продукции; L — количество переменного фактора производства L.
Средний продукт характеризует производительность переменного фактора производства, поэтому очень часто средний продукт труда называют производительностью труда.
Общий, предельный и средний продукт
На графиках по горизонтальной оси откладывается количество фактора производства (количество труда L в данном случае), а по вертикальной — количество общего, предельного и среднего продуктов фактора L. На кривых общего и предельного продукта откладываются три точки (A, B, C) иллюстрирующие три стадии в их тенденции.
На отрезке ОА происходит ускорение роста общего продукта, т.к. на этой стадии предельный продукт имеет тенденцию к увеличению. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на еще большую величину чем предыдущая. Точка А иллюстрирует максимальную величину предельного продукта.
На отрезке АС происходит замедление роста общего продукта, т.к. предельный продукт начинает снижаться, но еще в пределах положительного значения. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на меньшую величину чем предыдущая. Поэтому на данном отрезке происходит снижение в росте общего продукта. Точка В показывает такую величину общего продукта, при котором предельных продукт равен среднему продукту (MP = AP).
Точка С иллюстрирует такую ситуацию, когда общий продукт достигает своего максимума, а каждая дополнительная единица труда не оказывает воздействие на объем производства, т.е. предельный продукт равен 0 (MPL = 0). Так как после точки С предельный продукт продолжая снижаться принимает отрицательное значение, то общий продукт соответственно начинает сокращаться.
Рассмотренная выше тенденция кривых общего и предельного продукта называется законом убывающей предельной производительности факторов производства.
Закон убывающей предельной производительности действует в краткосрочном временном интервале, когда один производственный фактор остается неизменным. Действие закона предполагает неизменное состояние техники и технологии производства. Если в производственном процессе будут применены новейшие изобретения и другие технические усовершенствования, то рост объема выпуска может быть достигнут при использовании тех же самых производственных факторах, т. е. технический прогресс может изменить границы действия закона.
Если капитал является фиксированным фактором, а труд — переменным, то фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. Но по закону убывающей предельной производительности, последовательное увеличение переменного ресурса при неизменности других ведет к убывающей отдаче данного фактора, т. е. к снижению предельного продукта или предельной производительности труда. Если же наем рабочих будет продолжаться, то в конечном итоге, они будут мешать друг другу (предельная производительность станет отрицательной), и объем выпуска сократится.
Предельная производительность труда (предельный продукт труда — MPL) — это прирост объема производства от каждой последующей единицы труда:
,
т.е. прирост производительности к совокупному продукту (TPL) равен
.
Аналогично определяется предельный продукт капитала MPK.
Основываясь на законе убывающей производительности, проанализируем взаимосвязь общего (TPL), среднего (АPL) и предельного продуктов (MPL), (рис. 10.1).
В движении кривой общего продукта (ТР) можно выделить три этапа. На 1 этапе она поднимается вверх ускоряющимися темпами, так как предельность продукта (MP) возрастает (каждый новый рабочий приносит больше продукции, чем предыдущий) и достигает максимума в точке А, т. е. скорость роста функции максимальна. После точки А (2 этап) в силу действия закона убывающей отдачи, кривая MP падает, т. е. каждый нанятый рабочий дает меньшее приращение общего продукта по сравнению с предшествующим, поэтому темп роста ТР после ТС замедляется. Но пока МР будет положительным, ТР будет все равно увеличиваться и достигнет максимума при МР=0.
Рис. 10.1. Динамика и взаимосвязь общего, среднего и предельного продуктов
На 3 этапе, когда количество рабочих становится избыточным по отношению к фиксированному капиталу (станки), МР приобретает отрицательное значение, поэтому ТР начинает снижаться.
Конфигурация кривой среднего продукта АР также обусловлена динамикой кривой МР. На 1 этапе обе кривые растут, пока приращение объема выпуска от вновь нанятых рабочих будет большим, чем средняя производительность (АРL) ранее нанятых рабочих. Но после точки А (max MP), когда четвертый рабочий добавляет к совокупному продукту (ТР) меньше чем третий, МР уменьшается, поэтому средняя выработка четырех рабочих также сокращается.
— это общее количество произведенного продукта, которое изменяется по мере увеличения использования переменного фактора.
— это отношение общего продукта к количеству использованного в производстве переменного фактора:
— это количество дополнительного продукта, полученное при использовании дополнительной единицы переменного ресурса:
Дадим графическую интерпретацию функции с одним переменным фактором (рис. 4.1).
В верхней части рис. 4.1, а изображена кривая общего продукта ГР, который изменяется в зависимости от величины переменного фактора х.
На кривой ТР отмечены три точки: В — точка перегиба, С — точка, которая принадлежит касательной, совпадающей с линией, соединяющей данную точку с началом координат, В — точка максимального значения ГР. Точка А движется по кривой ТР. Соединив точку А с началом координат, получим линию ОЛ. Опустив перпендикуляр из точки А на ось абсцисс, получим треугольник ОАМ, где tgα есть отношение стороны ЛМ к ОМ, т.е. выражение среднего продукта:
Проведя через точку А касательную, получим угол (3, тангенс которого будет выражать предельный продукт МР, так как это есть приращение общего продукта при бесконечно малом приращении переменного фактора:
При сравнении двух треугольников ТАМ и ОЛМ видно, что до определенного момента tgP по величине больше tga, следовательно, предельный
Рис. 4.1. Соотношение между кривыми общего, среднего и предельного
продуктов:
а — кривая общего продукта (ГР); б — кривые среднего продукта (АР) и предельного продукта (МР) продукт (МР) больше среднего продукта (ЛР). Когда точка А совпадает с точкой В. 1^(3 принимает максимальное значение, следовательно, предельный продукт (МР) достигает наибольшей величины. Когда точка А совпадает с точкой С, значения среднего и предельного продуктов равны. При дальнейшем увеличении фактора х будет уменьшаться и при совпадении точки А с точкой й примет значение, равное 0. Далее общий продукт будет уменьшаться, а предельный продукт примет отрицательное значение. Особенно наглядно это видно на нижней части рис. 4.1,6.
Предельный продукт (МР), достигнув максимального значения в точке В, постепенно начинает убывать и в точке С пересечется с графиком среднего продукта (АР), который в этой точке принимает максимальное значение. Далее видно, что убывает и предельный продукт, и средний, но предельный продукт — более быстрыми темпами. В точке максимума общего продукта (ТР) предельный продукт (МР) равен 0.
Из проведенного анализа можно сделать вывод, что наиболее эффективное использование переменного фактора (х) происходит на отрезке от точки В до точки С. Здесь предельный продукт (МР), достигнув своего максимального значения, начинает убывать, а средний продукт (АР) еще возрастает. Именно на этом отрезке на каждую дополнительную единицу затраченного переменного фактора производитель получает наибольший прирост общего продукта.
После того как средний продукт достигает своего максимального значения, эффективность увеличения переменного фактора в производстве снижается. Участок кривой общего продукта (ТР) после точки С показывает более низкую эффективность использования переменного фактора.
В реальной жизни действие производственной функции с одним переменным фактором можно проиллюстрировать тем же примером с фермером. Допустим, если фермер будет бесконечно увеличивать применение минеральных удобрений на своем участке, то он все равно не соберет такого урожая, который накормит всю страну. Если в качестве переменного фактора взять, например, сельскохозяйственные механизмы и увеличивать их количество при обработке одного участка, то достаточно быстро наступит предел, когда общий продукт перестанет возрастать, а избыток механизмов будет мешать нормальной обработке участка.
С производственной функцией связан ряд важных характеристик производства. К ним относят общий, предельный и средний продукт.
Общий продукт (ТР) – это общее количество произведенного продукта, величина которого зависит от количества используемых ресурсов.
Предельный продукт (МР) – прирост выпуска продукта при увеличении затрат переменного ресурса на единицу. Если производственная функция непрерывна, то предельный продукт равен производной производственной функции:
Предельный продукт зависит как от производственной функции, так и от исходного набора ресурсов, к которому добавлена дополнительная единица переменного ресурса.
Если предельная полезность никогда не возрастает, то предельный продукт ведет себя несколько иначе. С увеличением расхода ресурса предельный продукт сначала возрастает, а затем убывает.
Снижение предельного продукта переменного ресурса получило название закона убывающей производительности.
На рис. 4.1 изображен график производственной функции в случае, когда используется только один ресурс – труд. Из него видно, что при затратах труда до величины L1предельный продукт труда увеличивается (наклон касательной к графику производственной функции увеличивается), затем, достигнув максимального значения, – уменьшается. При затратах труда L3 предельный продукт принимает значение, равное нулю. Далее общий продукт убывает, а предельный продукт принимает отрицательное значение.
Рис. 4.1. Производственная функция для одного ресурса
В случае, когда производственная функция непрерывна предельный продукт труда и предельный продукт капитала выражаются соответствующими частными производными производственной функции:
= ; = .
Для более детального исследования производственной функции рассмотрим средний продукт (AP) – отношение общего продукта к количеству использованного переменного фактора:
.
Средний продукт равен отношению ординаты к абсциссе точки графика производственной функции. На рис. 4.1 видно, что в точке А при затратах труда L2 средний продукт равен предельному продукту, поскольку луч ОА совпадает с касательной к производственной функции. Таким образом, если средний продукт равен предельному продукту, то средний продукт максимален. Эта максимальная величина равна тангенсу угла
Можно сделать вывод, что наиболее эффективное использование переменного ресурса (труда) происходит на отрезке от L1 до L2 Здесь предельный продукт МР, достигнув своего максимального значения, начинает убывать, а средний продукт АР еще возрастает (рис. 4.1, 4.2). Именно на этом отрезке на каждую дополнительную единицу затраченного ресурса производитель получает наибольший прирост общего продукта ТР. Участок кривой производственной функции после точки А показывает низкую эффективность использования ресурса.
Рис. 4.2. Предельный и средний продукт труда
В этом случае средний продукт труда есть отношение выпуска продукта ТР к затратам труда при некотором фиксированном расходе капитала. Аналогично определяется средний продукт капитала:
.
Пример 4.1. При затратах 5 единиц труда и фиксированных затратах других ресурсов средний продукт труда составляет 80 единиц в день. Увеличение затрат труда на одну единицу вызовет рост предельного продукта до 100 единиц продукции. Цена единицы труда равна 80 руб.
а) Найти, чему равен совокупный продукт при использовании 6 единиц труда.
б) Определить, выгодно ли увеличение выпуска продукции с помощью 6-й единицы труда.
Решение: а) Совокупный продукт при использовании 5 единиц труда составляет . Поэтому совокупный продукт при равен .
б) Чтобы определить, выгодно ли использование дополнительной единицы труда, необходимо найти средний продукт труда и сравнить его с величиной предельного продукта капитала, т.е. . Это означает, что данная точка лежит на участке возрастания кривой среднего продукта (см. рис. 4.2). Поэтому увеличение выпуска продукции с помощью 6-й единицы труда выгодно.