Свойства степеней какой класс
Подробности
Категория: Алгебра 7-9 классы
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде степени. Например,
Выражение 57 читают по-разному: «Пять в седьмой степени», «Седьмая степень числа пять», «Степень числа пять с показателем семь».
Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.
Степень числа а с показателем n обозначают так: аn. Выражение аn называют степенью, число а — основанием степени, число n — показателем степени.
По определению степени:
Вообще,
Нахождение значения степени называют возведением в степень. Приведем примеры возведения в степень:
При возведении в степень отрицательного числа может получиться как положительное число, так и отрицательное. Например,
Степень отрицательного числа с четным показателем есть число положительное, так как произведение четного числа отрицательных множителей положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем есть число отрицательное, так как произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно.
Квадрат любого числа есть число положительное или нуль, т. е. при любом а.
Вычислим значения нескольких выражений, содержащих степени.
Пример 1. Найдем значение выражения :
Значит,
Пример 2. Найдем значение выражения
Значит,
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
Выражение а2а3 представляет собой произведение двух степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно записать в виде степени с тем же основанием:
Значит,
Мы видим, что произведение а2а3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней.
Докажем, что для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n
Для этого, используя определение степени и свойства умножения, представим выражение аmаn сначала в виде произведения множителей, каждый из которых равен а, а затем в виде степени:
Таким образом,
Доказанное равенство выражает свойство произведения степеней. Его называют основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней.
Например,
Отсюда следует правило умножения степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
Приведем примеры:
Выражение а7:а3 является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Это частное при можно представить в виде степени с тем же основанием. Действительно, так как , то по определению частного
Мы видим, что частное а7:а3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.
Докажем, что для любого числа и произвольных натуральных чисел тип, таких, что ,
Покажем, что .
Действительно, по основному свойству степени
Значит, по определению частного
Итак, при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Приведем примеры:
Мы вывели правило деления ат на аm для случая, когда . Если это правило применить к частному an:an, то получится
Степень с нулевым показателем не была определена. Так как при всяком и любом натуральном n
то считают, что при
Определение. Всякое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СТЕПЕНИ
Выражение является степенью произведения множителей а и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней а и b:
Значит,
Мы видим, что четвертая степень произведения аb равна произведению четвертых степеней множителей а и b.
Докажем, что для любых а и b и произвольного натурального числа n
По определению степени
Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим :
Воспользовавшись определением степени, находим:
Следовательно,
Свойство степени произведения, выраженное равенством , распространяется на степень произведения трех и более множителей. Например,
Отсюда следует правило: (пpu возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.
Выражение есть степень, основание которой само является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием а:
В результате возведения степени а5 в третью степень мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным произведению показателей 5 и 3.
Докажем, что для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n
По определению степени
Согласно основному свойству степени
Заменим сумму произведением mn.
Тогда получим:
Следовательно,
Из равенства следует правило: при возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.
Свойства степеней, выраженные формулами и , имеют место и для степеней с нулевым показателем (если основания отличны от нуля).
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней
с натуральными показателями и нулём.
Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках
для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют
упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
Запомните!
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений,
а показатели степеней складываются.
am · an = am + n, где
«a» — любое
число, а «m», «n» — любые натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
Примеры.
- Упростить выражение.
b · b2 · b3 · b4 · b5 =
b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b15 - Представить в виде степени.
615 · 36 = 615 · 62 = 615 · 62 =
617 - Представить в виде степени.
(0,8)3 · (0,8)12 = (0,8)3 + 12 = (0,8)15
Важно!
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении
степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.
Нельзя заменять сумму
(33 + 32) на 35. Это понятно, если
посчитать
(33 + 32) = (27 + 9) = 36 , а
35 = 243
Свойство № 2
Частное степеней
Запомните!
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений,
а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
=
am − n, где
«a» — любое
число, не равное нулю, а «m», «n» — любые
натуральные числа такие, что «m > n».
Примеры.
- Записать частное в виде степени
(2b)5 : (2b)3 = (2b)5 − 3 = (2b)2 - Вычислить.
=
113 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44 - Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
38 : t = 34t = 38 : 34
t = 38 − 4
t = 34
Ответ: t = 34 = 81
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
- Пример. Упростить выражение.
45m + 6 · 4m + 2 : 44m + 3 =
45m + 6 + m + 2 : 44m + 3 =
46m + 8 − 4m − 3 = 42m + 5 - Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
=
==
=
=
211 − 5 = 2 6 = 64
Важно!
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только
о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность
(43 −42) на 41. Это понятно, если посчитать
(43 −42) = (64 − 16) = 48, а
41 = 4
Будьте внимательны!
Свойство № 3
Возведение степени в степень
Запомните!
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней
перемножаются.
(an)m = an · m, где
«a» — любое
число, а «m», «n» — любые натуральные числа.
- Пример.
(a4)6 = a4 · 6 = a24 - Пример. Представить 320 в виде степени с основанием
32.По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении
в степень показатели перемножаются, значит:
Свойства 4
Степень произведения
Запомните!
При возведении в степень произведения каждый из множителей
возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
(a · b)n = an · bn, где
«a», «b» — любые рациональные
числа; «n» — любое натуральное число.
- Пример 1.
(6 · a2 · b3 · c )2 =
62 · a2 · 2 · b3 · 2
· с 1 · 2 = 36 a4 · b6
· с 2 - Пример 2.
(−x2 · y)6 =( (−1)6 · x2 · 6 · y1 · 6) =
x12 · y6
Важно!
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней,
применяют и в обратном порядке.
(an · bn)=
(a · b) n
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми
показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
- Пример. Вычислить.
24 · 54 = (2 · 5)4 =
104 = 10 000 - Пример. Вычислить.
0,516 · 216 = (0,5 · 2)16 =
1
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление
надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями.
В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например,
45 · 32 = 43 ·
42 · 32 = 43 · (4 · 3)2 =
64 · 122 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
421 · (−0,25)20 = 4 · 4 20 ·
(−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25))20 = 4 · (−1)20 =
4 · 1 = 4
Свойства 5
Степень частного (дроби)
Запомните!
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель,
и первый результат разделить на второй.
(a : b)n = an : bn, где
«a», «b» — любые рациональные
числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.
- Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
(5 : 3)12 = 512 : 312
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому
на теме
возведение дроби в степень
мы остановимся более подробно на следующей странице.
Степени. Свойства степеней.
Ключевые слова конспекта: степень с натуральным показателем, основание степени, показатель степени, возведение в степень, дисперсия, умножение и деление степеней, свойства степеней.
Произведение 7 • 7 • 7 • 7 • 7 записывают короче: 75. Выражение вида 75 называют пятой степенью числа 7 (читают: «семь в пятой степени»). В записи 75 число 7, которое означает повторяющийся множитель, называют основанием степени, а число 5, показывающее, сколько раз этот множитель повторяется, называют показателем степени.
Умножим 75 на 73:
75 • 73 = (7 • 7 • 7 • 7 • 7) • (7 • 7 • 7) = 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 = 78.
Показатель степени увеличился на 3. Естественно считать, что 7 = 71. Вообще считают, что первой степенью числа является само число. Например, 181 = 18, 1041 = 104.
Степень с натуральным показателем
✅ Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют выражение аn, равное произведению n множителей, каждый из которых равен а.
Степенью числа а с показателем 1 называют выражение а1, равное а.
По определению
Запись аn читается так: «а в степени n» или «n-я (энная) степень числа а». Для второй и третьей степеней числа используют специальные названия: вторую степень числа называют квадратом, а третью степень — кубом.
Возведение в степень
Нахождение n-й степени числа а называют возведением в n-ю степень.
Пример 1. Возведём число -3 в четвёртую и пятую степени:
(-3)4 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = 81;
(-3)5 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = -243.
Из свойств умножения следует, что:
- при возведении нуля в любую степень получается нуль;
- при возведении положительного числа в любую степень получается положительное число;
- при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получается положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем — отрицательное число.
Пример 2. Возведём число 6,1 в седьмую степень, воспользовавшись калькулятором. Для этого надо выполнить умножение:
6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1.
Калькулятор позволяет выполнять возведение в степень проще, не повторяя основание степени и знак умножения. Для того чтобы возвести число 6,1 в седьмую степень, достаточно ввести число 6,1, нажать клавишу УМНОЖИТЬ и шесть раз нажать клавишу РАВНО . Получим, что 6,17 = 314274,28.
При вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобки, принят следующий порядок действий: сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, далее сложение и вычитание.
Пример 3. Найдём значение выражения -62 + 64 : (-2)5. Последовательно находим:
1) 62 = 36;
2) (–2)5 = –32;
3) 64 : (–32) = –2;
4) –36 + (–2) = –38.
Пример 4. Найдём множество значений выражения 5 • (–1)n + 1 + 2, где n ∈ N.
Если n — нечётное число, то (-1)n + 1 = 1; тогда 5 • (-1)n + 1 + 2 = 5 • 1 + 2 = 7.
Если n — чётное число, то (-1)n + 1 = -1; тогда 5 • (-1)n + 1 + 2 = 5 • (-1) + 2 = -5 + 2 = -3.
Множество значений данного выражения: {-3; 7}.
В рассмотренном примере было указано, что n ∈ N. Условимся в дальнейшем такое указание опускать и считать, что если показатель степени содержит переменную, то значениями этой переменной являются натуральные числа.
Дисперсия
Степень с натуральным показателем широко используется в естествознании для вычисления различных характеристик. Например, в статистике, для того чтобы узнать, как числа некоторой выборки расположены по отношению к среднему арифметическому этой выборки, используют отклонения, их квадраты и среднее арифметическое квадратов отклонений — дисперсию.
Пример 5. Дана выборка: 4, 6, 7, 8, 10. Среднее арифметическое этой выборки равно 7. Тогда отклонения вариант данной выборки от среднего арифметического равны: 4 – 7 = –3, 6 – 7 = –1, 7 – 7 = 0,8 – 7 = 1, 10 – 7 = 3, т. е. мы получили ещё один набор чисел — отклонения каждой варианты выборки от среднего арифметического. По новой выборке (–3; –1; 0; 1; 3) можно судить о том, насколько близки к среднему арифметическому числа исходного набора. Но поскольку сумма отклонений равна нулю, то и среднее арифметическое этой новой выборки также равно нулю. Поэтому для дальнейших исследований исходного набора находят квадраты отклонений и их среднее арифметическое
Полученное число и есть дисперсия исходной выборки.
Умножение степеней
Представим произведение степеней а5 и а2 в виде степени:
а5 • а2 = (а • а • а • а • а) • (а • а) = а • а • а • а • а • а • а = а7.
Мы получили степень с тем, же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Подмеченное свойство выполняется для произведения любых двух степеней с одинаковыми основаниями.
Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то аm • аn = аm+ n
Докажем это. Из определения степени и свойств умножения следует, что
Доказанное свойство называется основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трёх и более степеней. Это нетрудно показать с помощью таких же рассуждений.
Из основного свойства степени следует правило:
- чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели степеней сложить.
Деление степеней
Представим теперь в виде степени частное степеней а8 и а3, где а ≠ 0. Так как а3 • а5 = а8, то по определению частного а8 : а3 = а5.
Мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя. Такое свойство выполняется для частного любых степеней с одинаковыми основаниями, не равными нулю, у которых показатель делимого больше показателя делителя.
Если а — произвольное число, не равное нулю, m и n — любые натуральные числа, причём m > n, то аm : аn = аm — n, где а ≠ 0, m ≥ n
Докажем это. Умножим аm — n на аn, используя основное свойство степени:
am – n • an = a(m – n) + n = am – n + n = am
Из доказанного свойства следует правило:
- чтобы выполнить деление степеней с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а из показателя делимого вычесть показатель делителя.
Степень с нулевым показателем
Мы рассматривали степени с натуральными показателями. Введём теперь понятие степени с нулевым показателем.
✅ Определение. Степенью числа а, где а ≠ 0, с нулевым показателем называется выражение а0, равное 1.
Например, 50 = 1; (–6,3)0 = 1. Выражение 00 не имеет смысла.
Это конспект по математике на тему «Степени. Свойства степеней». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту: Одночлены и действия с ними
- Вернуться к списку конспектов по Математике.
- Проверить знания по Математике.
Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.
Свойства степени с натуральным показателем
Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n-ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:
Определение 1
1. Главное свойство степени: am·an=am+n
Можно обобщить до: an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.
2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: am:an=am−n
3. Свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn
Равенство можно расширить до: (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn
4. Свойство частного в натуральной степени: (a:b)n=an:bn
5. Возводим степень в степень: (am)n=am·n,
Можно обобщить до:(((an1)n2)…)nk=an1·n2·…·nk
6. Сравниваем степень с нулем:
- если a>0, то при любом натуральном n, an будет больше нуля;
- при a, равном 0, an также будет равна нулю;
- при a<0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2·m, a2·m будет больше нуля;
- при a <0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2·m−1, a2·m−1 будет меньше нуля.
7. Равенство an<bn будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Неравенство am>an будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы.
В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: am·an=am+n — то же самое, что и am+n=am·an. В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.
Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.
1. Начнем с основного свойства степени: равенство am·an=am+n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a. Как доказать это утверждение?
Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:
Это можно сократить до 
(вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m+n. Таким образом, am+n, значит, основное свойство степени доказано.
Разберем конкретный пример, подтверждающий это.
Пример 1
Итак, у нас есть две степени с основанием 2. Их натуральные показатели — 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 22·23=22+3=25 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.
Выполним необходимые математические действия: 22·23=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 25=2·2·2·2·2=32
В итоге у нас вышло: 22·23=25. Свойство доказано.
В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n1, n2 и др. буквой k, мы получим верное равенство:
an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.
Пример 2
Пример с конкретными числами (легко посчитать самостоятельно): (2,1)3·(2,1)3·(2,1)4·(2,1)7=(2,1)3+3+4+7=(2,1)17.
2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство am:an=am−n, которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n) ) и любом отличном от нуля действительном a.
Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0n=0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n, нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m, мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.
Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:
am−n·an=a(m−n)+n=am
Из него можно вывести: am−n·an=am
Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что am−n– частное степеней am и an. Это и есть доказательство второго свойства степени.
Пример 3
Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π: π5:π2=π5−3=π3
3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn при любых действительных a и b и натуральном n.
Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:
Вспомнив свойства умножения, запишем: 
. Это значит то же самое, что и an·bn.
Пример 4
23·-4254=234·-4254
Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:
(a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn
Пример 5
С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2·(-2,3)·a)7=27·(-2,3)7·a
4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a:b)n=an:bn при любых действительных a и b, если b не равно 0, а n – натуральное число.
Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a:b)n·bn=((a:b)·b)n=an , а (a:b)n·bn=an, то из этого выходит, что (a:b)n есть частное от деления an на bn.
Пример 6
Подсчитаем пример: 312:-0.53=3123:(-0,5)3
5. Далее мы поговорим о свойстве возведения степени в степень: (am)n=am·n для любого действительного a и любых натуральных n и m.
Пример 7
Начнем сразу с примера: (52)3=52·3=56
А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства: 
Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p, q, r, s, то верно будет:
apqys=ap·q·y·s
Пример 8
Добавим конкретики: (((5,2)3)2)5=(5,2)3·2·5=(5,2)30
6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.
Для начала сравним степень с нулем. Почему an>0 при условии, что а больше 0?
Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени an с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.
Пример 9
35>0, (0,00201)2>0 и 3491351>0
Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.
Пример 10
03=0 и 0762=0
Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2·m, где m – натуральное число.
Тогда:
Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a·a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда 
и степень a2·m также положительны.
Пример 11
Например, (−6)4>0, (−2,2)12>0 и -296>0
А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2·m−1.
Тогда 
Все произведения a·a, согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a, то конечный результат будет отрицателен.
Тогда получим: (−5)3<0, (−0,003)17<0 и -111029<0
7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).
Как это доказать?
an<bn– неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a<b. Вспомним основные свойства неравенств справедливо и an<bn.
Пример 12
Например, верны неравенства: 37<(2,2)7 и 3511124>(0,75)124
8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.
Докажем эти утверждения.
Для начала нам нужно убедиться, что am<an при условии, что m больше, чем n, и а больше 0, но меньше 1.Теперь сравним с нулем разность am−an
Вынесем an за скобки, после чего наша разность примет вид an·(am−n−1). Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, m−n>0, тогда am−n−1–отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.
У нас вышло, что am−an<0 и am<an. Свойство доказано.
Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: am>a справедливо при m>n и a>1. Укажем разность и вынесем an за скобки: (am−n−1).Степень an при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a>1 степень am−n больше единицы. Выходит, am−an>0 и am>an, что нам и требовалось доказать.
Пример 13
Пример с конкретными числами: 37>32
Основные свойства степеней с целыми показателями
Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).
Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:
Определение 2
1. am·an=am+n
2. am:an=am−n
3. (a·b)n=an·bn
4. (a:b)n=an:bn
5. (am)n=am·n
6. an<bn и a−n>b−n при условии целого положительного n, положительных a и b, a<b
7. am<an, при условии целых m и n, m>n и 0<a<1, при a>1 am>an.
Если основание степени равно нулю, то записи am и an имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n. В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.
Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.
Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (ap)q=ap·q, (a−p)q=a(−p)·q, (ap)−q=ap·(−q) и (a−p)−q=a(−p)·(−q)
Условия: p=0 или натуральное число; q– аналогично.
Если значения p и q больше 0, то у нас получится (ap)q=ap·q. Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p=0, то:
(a0)q=1q=1 a0·q=a0=1
Следовательно, (a0)q=a0·q
Для q=0 все точно так же:
(ap)0=1 ap·0=a0=1
Итог: (ap)0=ap·0.
Если же оба показателя нулевые, то (a0)0=10=1 и a0·0=a0=1, значит, (a0)0=a0·0.
Далее разберем равенство (a−p)q=a(−p)·q. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем имеем a-p=1ap, значит, (a-p)q=1apq.
Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:
1apq=1qapq
Если 1p=1·1·…·1=1 иapq=ap·q, то 1qapq=1ap·q
Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a(−p)·q.
Так же: ap-q=1(ap)q=1ap·q=a-(p·q)=ap·(-q).
И (a-p)-q=1ap-q=(ap)q=ap·q=a(-p)·(-q)
Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.
Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, a−n>b−n верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b.
Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:
1an>1bn
Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:
1an-1bn=bn-anan·bn
Вспомним, что в условии a меньше b, тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: — an<bn, в итоге: bn−an>0.
an·bn в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь bn-anan·bn, которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1an>1bn откуда a−n>b−n, что нам и нужно было доказать.
Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.
Основные свойства степеней с рациональными показателями
В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:
Определение 3
1. am1n1·am2n2=am1n1+m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 ( свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).
2.am1n1:bm2n2=am1n1-m2n2 , если a>0 (свойство частного).
3. a·bmn=amn·bmn при a>0 и b>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 и (или) b≥0 (свойство произведения в дробной степени).
4. a:bmn=amn:bmn при a>0 и b>0, а если mn>0, то при a≥0 и b>0 (свойство частного в дробной степени).
5. am1n1m2n2=am1n1·m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 (свойство степени в степени).
6. ap<bp при условии любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0; если p<0 — ap>bp (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).
7. ap<aq при условии рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1; если a>0 – ap>aq
Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня n-ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.
Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:
am1n1=am1n1 и am2n2=am2n2, следовательно, am1n1·am2n2=am1n1·am2n2
Свойства корня позволят нам вывести равенства:
am1·m2n1·n2·am2·m1n2·n1=am1·n2·am2·n1n1·n2
Из этого получаем: am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2
Преобразуем:
am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2
Показатель степени можно записать в виде:
m1·n2+m2·n1n1·n2=m1·n2n1·n2+m2·n1n1·n2=m1n1+m2n2
Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:
am1n1: am2n2=am1n1: am2n2=am1·n2:am2·n1n1·n2==am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2n1·n2-m2·n1n1·n2=am1n1-m2n2
Доказательства остальных равенств:
a·bmn=(a·b)mn=am·bmn=amn·bmn=amn·bmn;(a:b)mn=(a:b)mn=am:bmn==amn:bmn=amn:bmn;am1n1m2n2=am1n1m2n2=am1n1m2n2==am1m2n1n2=am1·m2n1n2==am1·m2n2·n1=am1·m2n2·n1=am1n1·m2n2
Следующее свойство