Свойств какие относятся к динамическим

Динамическая система — множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы.[источник не указан 1110 дней] Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Состояние динамической системы в любой момент времени описывается множеством вещественных чисел (или векторов), соответствующим определённой точке в пространстве состояний. Эволюция динамической системы определяется детерминированной функцией, то есть через заданный интервал времени система примет конкретное состояние, зависящее от текущего.

Введение[править | править код]

Динамическая система представляет собой такую математическую модель некоего объекта, процесса или явления, в которой пренебрегают «флуктуациями и всеми другими статистическими явлениями».[1]

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.

Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятия теории динамических систем — устойчивость состояний равновесия (т.е. способность системы при малых изменениях начальных условий сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (т.е. сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели; «грубая система — это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»).[2][1]

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Методы теории динамических систем востребованы в других разделах естествознания, таких как неравновесная термодинамика, теория динамического хаоса, синергетика.

Определение[править | править код]

Пусть — произвольное гладкое многообразие.

Динамической системой, заданной на гладком многообразии , называется отображение , записываемое в параметрическом виде , где , которое является дифференцируемым отображением, причём — тождественное отображение пространства . В случае стационарных обратимых систем однопараметрическое семейство образует группу преобразований топологического пространства , а значит, в частности, для любых выполняется тождество .

Из дифференцируемости отображения следует, что функция является дифференцируемой функцией времени, её график расположен в расширенном фазовом пространстве и называется интегральной траекторией (кривой) динамической системы. Его проекция на пространство , которое носит название фазового пространства, называется фазовой траекторией (кривой) динамической системы.

Задание стационарной динамической системы эквивалентно разбиению фазового пространства на фазовые траектории. Задание динамической системы в общем случае эквивалентно разбиению расширенного фазового пространства на интегральные траектории.

Способы задания динамических систем[править | править код]

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство , множество моментов времени и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем.
Множество моментов времени может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Фазовые потоки[править | править код]

Пусть фазовое пространство представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости . Тогда траектория точки будет решением автономного дифференциального уравнения с начальным условием . Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.

Каскады[править | править код]

Пусть — произвольное множество, и — некоторое отображение множества на себя. Рассмотрим итерации этого отображения, то есть результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством и множеством моментов времени . Действительно, будем считать, что произвольная точка за время переходит в точку . Тогда за время эта точка перейдет в точку и т. д.

Если отображение обратимо, можно определить и обратные итерации: , и т. д. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени .

Примеры[править | править код]

Система дифференциальных уравнений

задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость , где — скорость точки . Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы — например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.

Вопросы теории динамических систем[править | править код]

Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать её траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?
Как устроены инвариантные многообразия системы (частным случаем которых являются замкнутые траектории)?
Как устроен аттрактор системы, то есть множество в фазовом пространстве, к которому стремится «большинство» траекторий?
Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек — остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?
Что можно сказать о поведении «типичной» динамической системы из некоторого класса?
Что можно сказать о поведении динамических систем, «близких» к данной?

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
Памяти Александра Александровича Андронова. — М.: Изд-во Академии наук СССР, 1955.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. — М.: УРСС, 2006.
ред. Аносов Д. В. Гладкие динамические системы. — М.: Мир, 1977. — 256 с.
Евланов Л. Г. Контроль динамических систем. — М.: Наука, 1972. — 423 с. — 4800 экз.
Биркгоф Дж. Динамические системы. — М.: ОГИЗ, 1999. — 480 с. — 3500 экз. — ISBN 5-7029-0356-0.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей.. — 2002. — 560 с. — ISBN 5-93972-200-8.

Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем: Введение. — Мир, 1986. — 301 с.

Ссылки[править | править код]

Weisstein, Eric W. Dynamical Systems (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Источник

Главная
Моделирование
Динамические системы и их свойства

libre18 Сентябрь 2011 16733

Динамические системы довольно популярны в экономическом моделировании.
Динамические системы и их свойства
Типы процессов, происходящих в экономических системах:

Детерминированные;
Стохастические;
Хаотические.

Для макроуровня, благодаря действиям объективных экономических законов и регуляторных воздействий государства, более характерные детерминированные процессы. Для микроуровня — стохастические (вероятностные).
При достаточно большом количестве наблюдений и обобщении исследуемого явления на более высоком уровне иерархии детерминированная компонента начинает превалировать, а стохастическая превращается в «шум».
При хаотичном характере исследуемой системы применения методов экономической динамики позволяет несколько облегчить изучение объекта за счет определения детерминированного механизма его поведения. Это, в свою очередь, позволяет уменьшить неопределенность познания системы.
Динамическая система — это такая система, параметры которой явно или неявно зависят от времени.
Итак, если для поведения системы заданные функциональные уравнения, то в них включены в явном виде переменные, относящиеся к разным моментам времени.

Важнейшие свойства сложных динамических систем

Рассмотрим самые важные свойства динамических систем.

1. Целостность (эмерджентность) динамических систем

В системе отдельные части функционируют совместно, составляя в совокупности процесс функционирования системы как целого. Совокупное функционирование разнородных взаимосвязанных элементов порождает качественно новые функциональные свойства целого, не имеющие аналогов в свойствах его элементов. Это означает принципиальную невозможность сведения свойств системы к сумме свойств ее элементов.

2. Взаимодействие динамической системы с внешней средой

Система реагирует на воздействие окружающей среды, эволюционирует под этим влиянием, но при этом сохраняет качественную определенность и свойства, отличающие ее от других систем.

3. Структура динамической системы

При исследовании системы структура выступает как способ описания ее организации. В зависимости от поставленной задачи исследования осуществляется декомпозиция системы на элементы и вводятся существенные для решаемой проблемы отношения и связи между ними. Декомпозиция системы на элементы и связи определяется внутренними свойствами данной системы. Структура динамична по природе, ее эволюция во времени и пространстве отражает процесс развития систем.

4. Бесконечность познания динамической системы

Под этим свойством понимается невозможность полного познания системы и всестороннего представления ее конечной множеством описаний, т.е. конечной количеством качественных и количественных характеристик. Поэтому система может быть представлена множеством структурных и функциональных вариантов, отражающих различные аспекты системы.

5. Иерархичность динамической системы

Каждый элемент в декомпозиции системы может рассматриваться как целостная система, элементы которой, в свою очередь, могут быть также представлены как системы. Но, с другой стороны, любая система — лишь компонент более широкой системы.

6. Элемент динамической системы

Под элементом понимается наименьшее звено в структуре системы, внутреннее строение которой не рассматривается на выбранном уровне анализа. Согласно свойства 5 любой элемент является системой, но на заданном уровне анализа эта система характеризуется только целостными характеристиками.
Целостность, структура, элемент, бесконечность и иерархичность составляют ядро системообразующих понятий общей теории систем и является основой системного представления объектов и формирования концепций системных исследований.
Для более подробного изучения свойств динамических экономических систем (ЭС) необходимо рассмотреть еще ряд дополнительных ее свойств характеристик.

Состояние динамической системы. Состояние системы определяется состояниями ее элементов. Теоретически возможный набор состояний равно количеству возможных сочетаний всех состояний элементов. Однако взаимодействие составных частей приводит к ограничению количества реальных сочетаний. Изменение состояния элемента может происходить неявно, непрерывно и скачкообразно.
Поведение динамических систем. Под поведением системы понимается закономерный переход из одного состояния в другое, обусловленный свойствами элементов и структурой.
Непрерывность функционирования системы. Система существует, пока функционируют социально-экономические и иные процессы в обществе, которые не могут быть прерваны, иначе система перестанет функционировать. Все процессы в ЕС, как в живом организме, взаимосвязаны. Функционирования частей определяет характер функционирования целого, и наоборот. Функционирование системы связано с непрерывными изменениями, накопление которых приводит к развитию.
Развитие динамической системы. Жизнедеятельность сложной системы является постоянным изменением фаз функционирования и развития, которая выражается в непрерывной функциональной и структурной перестройке системы, ее подсистем и элементов. Эволюция экономических систем обусловлена одной из важнейших свойств сложных систем — способностью к саморазвитию. Центральным источником саморазвития является непрерывный процесс возникновения и разрешения противоречий. Развитие, как правило, связан с усложнением системы, т.е. с увеличением ее внутреннего разнообразия.
Динамичность системы. Экономическая система функционирует и развивается во времени, она имеет предысторию и будущее, характеризуется определенным жизненным циклом, в котором могут быть выделены определенные фазы: возникновение, рост, развитие, стабилизация, деградация, ликвидация или стимул к изменению.
Сложность динамической системы. Экономическая система характеризуется большим количеством неоднородных элементов и связей, полифункциональностью, полиструктурностью, многокритериальностью, многовариантностью развития и свойствами сложных систем, поэтому она представляется, как сложная динамическая система.
Гомеостатичность. Гомеостатичность отражает свойство системы к самосохранению, противодействие разрушающим воздействиям среды.
Целеустремленность. Всем динамическим системам в экономике присуща целеустремленность, т.е. наличие определенных целей и стремление ее достижения. Развитие системы связан именно с изменением цели.
Управляемость динамической системы. Осознанная организация целенаправленного функционирования системы и ее элементов называется управляемостью. В процессе жизнедеятельности система посредством целенаправленного управления решает постоянно возникающие в ней противоречия и реагирует на изменение внутренних и внешних условий своего существования. Согласно изменяющимся, она меняет свою структуру, корректирует цели развития и содержание деятельности элементов, т.е. происходит целенаправленная самоорганизация системы, которая на практике реализует способность к саморазвитию. Одной из основных функций самоорганизации является сохранение качественной уникальности системы в процессе ее эволюции.Свойства управляемости оказываются также в таких особенностях, как относительная автономность и функциональная управляемость.Относительная автономность функционирования экономических систем означает, что в результате действия обратной связи каждая из составляющих выходного сигнала может быть изменена за счет изменения входного сигнала, причем другие составляющие остаются не измененными. Функциональная управляемость экономической системы означает, что соответствующим выбором входного воздействия можно добиться любого выходного сигнала.
Адаптивность динамической системы. Адаптивная экономической системы определяется двумя видами адаптации — пассивной и активной. Пассивная адаптация является внутренней характеристикой экономической системы, которая располагает определенными возможностями саморегулирования. Активная адаптация представляет механизм адаптивного управления экономической системой и организацию его эффективной реализации.
Инерционность динамической системы. Инерционность экономической системы проявляется в возникновении запаздывания в системе, симптоматично реагирует на возмущения и управляющие воздействия.
Устойчивость динамической системы. Система считается относительно устойчивой в определенно определенных пределах, если при достаточно малых изменениях условий функционирования его поведение существенно не меняется. В рамках теории систем исследуются структурная устойчивость и устойчивость траектории поведения системы. Устойчивость ЕС обеспечивается такими аспектами самоорганизации, как дифференциация и лабильность (чувствительность). Дифференциация — это стремление системы к структурной и функциональной разнообразия элементов, которая обеспечивает не только условия возникновения и разрешения противоречий, но и определяет способность системы быстро приспосабливаться к имеющимся условиям существования. Больше разнообразия — больше устойчивости, и наоборот. Лабильность означает подвижность функций элементов при сохранении устойчивости структуры системы в целом.
Состояние равновесия динамической системы. Устойчивость системы связана с ее стремлением к состоянию равновесия, которое предполагает такое функционирование элементов системы, при котором обеспечивается повышенная эффективность движения к целям развития. В реальных условиях система не может полностью достичь состояния равновесия, хотя и стремится к нему. Элементы системы функционируют по-разному в разных условиях, и их динамическое взаимодействие постоянно влияет на движение системы. Система стремится к равновесию, на это направлены усилия управления, но, достигая его, она тут же от него уходит. Таким образом, устойчивая экономическая система постоянно находится в состоянии динамического равновесия, она непрерывно колеблется относительно положения равновесия, что является не только ее специфическим свойством, но и условием непрерывного возникновения противоречий как движущих сил эволюции.

Рейтинг: 0/5 — 0
голосов

Источник