Определитель какие свойства матриц

На главную страницу

Определители

В конец страницы

3. 1.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

       
Каждой квадратной матрице А соответствует число, которое называется ее
определителем, или детерминантом, и обозначается |А|,
det
А,
или .
Определителем, или детерминантом, n-го порядка служит число, записываемое
в виде квадратной таблицы

det
А

и равное алгебраической
сумме
n!
произведений вида .

Итак,
det
А,

где суммирование
распространено на все перестановки из чисел 1, 2, …,
n.
Здесь  –
число инверсий в перестановке .
Говорят, что числа  и
 образуют
инверсию в перестановке ,
если большее из чисел  и
 расположено
левее меньшего.

       
Например, для
n

 2

,

для
n

 3

Правило вычисления
определителя  равносильно
правилу треугольников (правилу Саррюса), которое схематически можно записать как

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

      
1. Равноправие строк и столбцов.
При транспонировании матрицыее определитель не меняется.

      
2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны
нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое
слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца
(строки).

      
3. Антисимметрия.
При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на
противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.

Доказательство свойств 1 и 3
основано на правиле расстановки знаков членов определителя.

4. Определитель с
двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.

Действительно, при
перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но
вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.

,
откуда  или
.

5. Линейность.
Если j-й
столбец
(i-я
строка
A)
определителя det
A
является линейной комбинацией
A λB
+
μC
(A λB
+
μC)
двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель
оказывается линейной комбинацией
det
A
 det

A(λB+
μC)

 λdet

A(B)
+ μdet

A(C)
определителей det
A(B)
и det
A(C).
Здесь det
A(B)
(det
A(C))
– определитель, полученный из определителя
det
А заменой
в нем j-го
столбца
A на
столбец В(столбец С ).

6. Общий множитель
всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его
знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить
на число λ, то сам определитель умножится на это число.

7. Если какой-либо
столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов
(строк), то определитель равен нулю.

Свойства 6 и 7 вытекают из
пятого свойства.

8. Определитель не
изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную
комбинацию его столбцов (строк).

Действительно, в силу
линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с
двумя одинаковыми столбцами (строками).

9. Определитель суммы
двух квадратных матриц одного и того же порядка
n
A 
и  В ,

i,
j
=  равен
сумме всех различных определителей порядка
n,
которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с
соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть –
совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.

Доказательство следует из
свойства линейности определителя.

10. Определитель
произведения двух матриц равен произведению их определителей
det
(AВ)

 det
A×det
B.

Назад    
К началу страницы    
Вперед

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое число, вычисляемое по определенному правилу и называемое определителем.

Необходимость введения понятия определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу порядка n, тесно связано с решением систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы А будем обозначать: |А| или D.

Определителем матрицы первого порядка    А = (а11) называется элемент а11. Например, для А = (-4) имеем |А| = -4.

Определителем матрицы второго порядка называется число, определяемое по формуле

|А| = .

Например, |А| = .

Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое по формуле

Это число представляет алгебраическую сумму шести произведений, при этом у первых трех произведений знак не меняется, а у последних – меняется на противоположный. Формулу (1.4) можно легко запомнить, используя следующую схему, называемую правилом треугольника или правилом Саррюса:

+ —

Словами это правило можно записать так: со своим знаком надо взять произведение элементов, соединенных главной диагональю, и произведения элементов, соединенных вершинами треугольников, у которых основание параллельно главной диагонали. С обратным знаком берутся аналогичные произведения, только относительно побочной диагонали.

Например,

|А| =

Определение определителя матрицы n-го порядка давать не будем, а лишь покажем метод его нахождения.

В дальнейшем, вместо слов определитель матрицы n-го порядка будем говорить просто определитель n-го порядка. Введем новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица n-го порядка.

Минором Мij элемента аij матрицы А называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j :

Аij = (-1)i+jМij ,

т.е. алгебраическое дополнение либо совпадает со своим минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, либо отличается от него знаком, когда сумма номеров строки и столбца – нечетное число.

Например, для элементов а11 и а12 матрицы А = миноры

М11 = А11 = ,

М12 = ,

а А12 = (-1)1+2 М12 = -8.

Теорема (о разложении определителя). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

|А| = аi1Ai1 + аi2Ai2 + … + аinAin ,
для любого i = 1, 2, …, n

или

|А| = а1jA1j + а2jA2j + … + аnjAnj ,

для любого j = 1, 2, …, n

Первая формула называется разложением определителя по элементам i-ой строки, а вторая – разложением определителя по элементам j-го столбца.

Нетрудно понять, что с помощью этих формул любой определитель n-го порядка можно свести к сумме определителей, порядок которых будет на 1 меньше и т.д. пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядков, вычисление которых уже не представляет трудности.

Для нахождения определителя могут быть применены следующие основные свойства:

1. Если какая-нибудь строка (или столбец) определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

2. При перестановке любых двух строк (или двух столбцов) определитель умножается на -1.

3. Определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными строками (или столбцами) равен нулю.

4. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если все строки и столбцы поменять местами.

6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк (или к одному из столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число.

7. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Введение понятия определителя матрицы позволяет определить еще одно действие с матрицами – нахождение обратной матрицы.

Для каждого ненулевого числа существует обратное число, такое, что произведение этих чисел дает единицу. Для квадратных матриц тоже существует такое понятие.

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.

А ×А-1 = А-1× А = Е.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица будет квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет свою обратную.

Матрица А называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае, матрица называется вырожденной или особенной.

Теорема (о существовании обратной матрицы). Любая неособенная матрица имеет обратную.

Матрицу , элементы которой являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А, назовем дополнительной к данной матрице А.

Обратная матрица определяется по формуле

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1.

2.

3.

Из формулы вытекает следующее правило нахождения обратной матрицы.

Для того чтобы для матрицы А найти обратную нужно:

1) найти определитель матрицы;

2) найти дополнительную матрицу ;

3) транспонировать дополнительную матрицу, т.е. найти ;

4) разделить каждый элемент транспонированной дополнительной матрицы на значение определителя исходной матрицы.

Пусть — квадратная матрица порядка . Определитель (детерминант) квадратной матрицы — это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.

1. Определителем матрицы порядка называется единственный элемент этой матрицы: .

2. Определителем матрицы порядка называется число

где — определитель квадратной матрицы порядка , полученной из вычеркиванием первой строки и j-го столбца.

Определитель матрицы обозначают, заключая матрицу в «прямые» скобки:

Имея в виду это обозначение, для краткости говорят о порядке определителя, строках или столбцах определителя, элементах определителя, опуская при этом слово «матрица». Например, первая строка определителя n-го порядка — это первая строка квадратной матрицы n-го порядка.

Индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. По второму правилу (т.е. по формуле (2.1)) нахождение определителя n-го порядка сводится к вычислению и определителей (n-1)-го порядка. Нахождение каждого определителя (n-1)-го порядка сводится к вычислению определителя (n-2)-го порядка и т.д., пока не получим определителей n-го порядка, которые находим по первому правилу. Конечно, такая процедура неудобна из-за своей громоздкости, но вполне реализуема и может быть принята в качестве определения.

Квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае — невырожденной (неособой).

Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому

Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка

Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (см. схему на рис. 2.1).

Для определителя третьего порядка имеем

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:

Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка

Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других — со знаком минус.

Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).

Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, — со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).

Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.

Пример 2.1. Вычислить определители

Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим ;

Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)

Пусть дана квадратная матрица порядка .

Дополнительным минором элемента называется определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на

Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по i-й строке);

(разложение по j-му столбцу).

Замечания 2.1.

1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.

2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.

Пример 2.2. Найти определитель матрицы

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:

Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:

Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):

Определитель матрицы треугольного вида

Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы

Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):

где — дополнительный минор элемента . Обозначим . Тогда . Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя , получаем определитель верхней треугольной матрицы такого же вида, как , но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель , по последней строке ((n-1)-й строке), получаем . Продолжая аналогичным образом и учитывая, что , приходим к формуле

т.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечания 2.2

1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2. Определитель единичной матрицы равен 1.

3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Основные свойства определителей (детерминантов)

1. Для любой квадратной матрицы , т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя «равноправны»: любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.

2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю: .

3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на про тивоположный (свойство антисимметричности):

4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:

при

5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:

при

6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:

7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов , то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются и соответственно, а остальные столбцы одинаковы:

8. Определитель линеен по любому столбцу:

9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:

10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:

при .

Замечания 2.3

1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е. ):

Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя

у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.

2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.

3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что

4. Пусть — квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и , называется присоединенной по отношению к , если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы . Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:

а) заменить каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением , при этом получим матрицу ;

б) найти присоединенную матрицу , транспонируя матрицу .

Из формул (2.4) следует, что , где — единичная матрица того же порядка, что и .

Пример 2.3. Дана матрица . Сравнить определитель матрицы с определителями матриц

Решение. Определитель матрицы был найден в примере 2.1: . По формуле (2.2) вычисляем определители остальных матриц:

что соответствует свойству 1;

что соответствует свойству 3, так как матрица получена из матрицы перестановкой 1-го и 2-го столбцов;

что соответствует свойству 3, так как матрица получена из матрицы перестановкой 1-й и 2-й строк;

что соответствует свойству 6, так как матрица получена из матрицы умножением элементов 2-й строки на число ;

что соответствует свойству 9, так как матрица получена из матрицы прибавлением к элементам первой строки соответствующих элементов второй строки, умноженных на .

Пример 2.4. Дана матрица . Найти присоединенную матрицу и вычислить произведения и .

Решение. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

Составим присоединенную матрицу, транспонируя матрицу (см. п.4 замечаний 2.3), т.е.

Вычислим произведения

что соответствует п.4 замечаний 2.3, так как (см. пример 2.1).

Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы , где — произвольная квадратная матрица, — единичная, а — нулевая матрица соответствующего порядка, — транспонированная.

Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы . Следовательно,

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.