Определить какими свойствами обладает отношение
Свойства отношений:
1) рефлексивность;
2)симметричность;
3)транзитивность.
4)связанность.
Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.
Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.
Существуют отношения, не обладающие свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности отрезков: ab, ba (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе). Поэтому на графе данного отношения нет ни одной петли.
Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков, «больше на 2» для натуральных чисел и др.
Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если для любого элемента из множества Х всегда ложно хRх: .
Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «точка х симметрична точке у относительно прямой l», заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны сами себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.
Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y, следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .
Граф симметричного отношения обладает следующей особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y, граф содержит стрелку, идущую от y к х (рис. 35).
Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.
Существуют отношения, которые не обладают свойством симметричности.
Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Граф этого отношения обладает особенностью: стрелка, соединяющая вершины, направлена только в одну сторону.
Отношение R называют антисимметричным, если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложностьyRx: : xRyyRx.
Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков существуют и другие антисимметричные отношения. Например, отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х), отношение «больше на» и др.
Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z: xRy и yRzxRz.
Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к y и от y к z, содержит стрелку, идущую от х к z.
Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b, отрезок b длиннее отрезка с, то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а=b, b=с)(а=с).
Существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b, а отрезок b перпендикулярен отрезку с, то отрезки а и с не перпендикулярны!
Существует еще одно свойство отношений, которое называется свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.
Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y, либо элемент y находится в отношении R с элементом х. С помощью символов это определение можно записать так: xy xRy или yRx.
Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y, либо y>x.
На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.
Существуют отношения, которые не обладают свойством связанности. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и y, что ни число х не является делителем числа y, ни число y не является делителем числа х (числа 17 и 11, 3 и 10 и т.д.).
Рассмотрим несколько примеров. На множестве Х={1, 2, 4, 8, 12} задано отношение «число х кратно числу y». Построим граф данного отношения и сформулируем его свойства.
Про отношение равенства дробей говорят, оно является отношением эквивалентности.
Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).
В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: {; ; }, {;}, {}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеем разбиение множества на классы.
Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.
Так, мы установили, что отношению равенства на множестве
Х={ ;; ; ; ; } соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.
Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?
Во-первых, эквивалентный – это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности {; ; }, неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит результата вычислений.
Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.
В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные прямые между собой.
Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Рассмотрим задачу.На множестве Х={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Это отношение порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке (это числа 3, 6, 9). Во второй – числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 4, 7, 10). В третий попадут все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 5, 8). Действительно, полученные множества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве Х, является отношением эквивалентности.
Возьмем еще пример: множество учащихся класса можно упорядочить по росту или возрасту. Заметим, что это отношение обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Или всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует».
Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Например, отношение «х<y».
Если же отношение обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, то такое оно будет являться отношением нестрогого порядка. Например, отношение «хy».
Примерами отношения порядка могут служить: отношение «меньше» на множестве натуральных чисел, отношение «короче» на множестве отрезков. Если отношение порядка обладает еще и свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка. Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел.
Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.
Например, множество Х={2, 8, 12, 32} можно упорядочить при помощи отношения «меньше» (рис. 41), а можно это сделать при помощи отношения «кратно» (рис. 42). Но, являясь отношением порядка, отношения «меньше» и «кратно» упорядочивают множество натуральных чисел по-разному. Отношение «меньше» позволяет сравнивать два любых числа из множества Х, а отношение «кратно» таким свойством не обладает. Так, пара чисел 8 и 12 отношением «кратно» не связана: нельзя сказать, что 8 кратно 12 либо 12 кратно 8.
Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
Пусть R — некоторое бинарное отношение на множестве X, а х, у, z любые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут xRy.
1. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой.
R —рефлексивно на X <=> xRx для любого x€ X
Если отношение R рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. Например, отношения равенства и параллельности для отрезков являются рефлексивными, а отношение перпендикулярности и «длиннее» не являются рефлексивными. Это отражают графы на рисунке 42.
2. Отношение R на множестве X называется симметричным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом же отношении с элементом х.
R — симметрично на (хЯу =>у Rx)
Граф симметричного отношения содержит парные стрелки, идущие в противоположных направлениях. Отношения параллельности, перпендикулярности и равенства для отрезков обладают симметричностью, а отношение «длиннее» — не является симметричным (рис. 42).
3. Отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества X из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у в этом отношении с элементом х не находится.
R — антисимметрично на Х« (xRy и xy ≠ yRx)
Замечание: черта сверху обозначает отрицание высказывания.
На графе антисимметричного отношения две точки может соединять только одна стрелка. Примером такого отношения является отношение «длиннее» для отрезков (рис. 42). Отношения параллельности, перпендикулярности и равенства не являются антисимметричными. Существуют отношения, не являющиеся ни симметричными, ни антисимметричными, например отношение «быть братом» (рис. 40).
4. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у и элемент у находится в этом лее отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом Z
R — транзитивно на A≠ (xRy и yRz=> xRz)
На графах отношений «длиннее», параллельности и равенства на рисунке 42 можно заметить, что если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эти отношения являются транзитивными. Перпендикулярность отрезков не обладает свойством транзитивности.
Существуют и другие свойства отношений между элементами одного множества, которые мы не рассматриваем.
Одно и то же отношение может обладать несколькими свойствами. Так, например, на множестве отрезков отношение «равно» — рефлексивно, симметрично, транзитивно; отношение «больше» — антисимметрично и транзитивно.
Если отношение на множестве X рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности на этом множестве. Такие отношения разбивают множество X на классы.
Данные отношения проявляются, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по группам», «Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одного цвета». Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение множеств полосок и мячей на классы.
Если отношение на множестве 1 транзитивно и антисимметрично, то оно называется отношением порядка на этом множестве.
Множество с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.
Например, выполняя задания: «Сравни полоски по ширине и разложи их от самой узкой до самой широкой», «Сравни числа и разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают элементы множеств полосок и числовых карточек при помощи отношений порядка; «быть шире», «следовать за».
Вообще отношения эквивалентности и порядка играют большую роль в формировании у детей правильных представлений о классификации и упорядочении множеств. Кроме того, встречается много других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
6. Что такое характеристическое свойство множества?
7. В каких отношениях могут находиться множества? Дайте пояснения каждому случаю и изобразите их при помощи кругов Эйлера.
8. Дайте определение подмножества. Приведите пример множеств, одно из которых является подмножеством другого. Запишите их отношение при помощи символов.
9. Дайте определение равных множеств. Приведите примеры двух равных множеств. Запишите их отношение при помощи символов.
10. Дайте определение пересечения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.
11. Дайте определение объединения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.
12. Дайте определение разности двух множеств и изобразите ее при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.
13. Дайте определение дополнения и изобразите его при помощи кругов Эйлера.
14. Что называется разбиением множества на классы? Назовите условия правильной классификации.
15. Что называется соответствием между двумя множествами? Назовите способы задания соответствий.
16. Какое соответствие называется взаимно однозначным?
17. Какие множества называют равномощными?
18. Какие множества называют равночисленными?
19. Назовите способы задания отношений на множестве.
20. Какое отношение на множестве называют рефлексивным?
21. Какое отношение на множестве называют симметричным?
22. Какое отношение на множестве называют антисимметричным?
23. Какое отношение на множестве называют транзитивным?
24. Дайте определение отношения эквивалентности.
25. Дайте определение отношения порядка.
26. Какое множество называют упорядоченным?
Изучение основ любой специальности помогает расти профессионально, и сфера администрирования баз данных не является исключением. В этой связи специалистам по базам данных, программирующим в T-SQL кодах, следовало бы изучить самые основы T-SQL.
Язык T-SQL в SQL Server базируется на стандартном языке SQL, основанном на реляционной модели, которая, в свою очередь, базируется на математических основаниях, таких как теория множеств и логика предикатов. В данной статье рассматривается фундаментальная тема из теории множеств: свойства отношений на множествах. Предлагаемые коды T-SQL читатели смогут использовать для проверки наличия определенных свойств тех или иных отношений. Но можно еще попробовать написать собственные версии сценариев (чтобы определить, обладает ли отношение конкретным свойством), прежде чем применять описанные в статье решения.
Множества и отношения
Георг Кантор, создатель теории множеств, определяет множество как «объединение в некое целое M совокупности определенных хорошо различимых объектов m нашего созерцания или мышления (которые будут называться элементами множества M)». Элементами множества могут быть объекты произвольной природы: люди, цифры и даже сами множества. Символы ∈ и ∉ обозначают, соответственно операторы, отражающие принадлежность (вхождение, членство) и непринадлежность элемента множеству. Так, запись x ∈ V означает, что x является элементом множества V, а запись x ∉ V — что x не является элементом V.
Бинарным отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов исходного множества. Так, для множества элементов V = {a, b, c}, бинарным отношением R на данном множестве V будет произвольное подмножество множества всех упорядоченных пар декартова произведения V × V = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}. Отношение R = {(a, b), (b, c), (a, c)} является допустимым бинарным отношением на V. Можно сказать, что a соотносится с b посредством R. Предположим, что R = {(a, b), (b, c), (c, d)}. Такое R не является допустимым отношением на V, поскольку пара (c, d) не принадлежит декартову произведению V × V. Заметим, что порядок указания элементов, входящих во множество, не важен. Множество V может быть задано как {a, b, c} или как {b, a, c} и так далее. Однако порядок в упорядоченных парах, например в (a, b) бинарного отношения, важен; таким образом (a, b) ≠ (b, a).
В качестве более реального примера бинарного отношения рассмотрим множество F членов семьи: {Ицик, Микки, Инна, Мила, Габи}. Микки — брат-близнец Ицика, Инна — его старшая сестра, Мила — мама, а Габи — отец. Примером отношения R на множестве F будет: «является братом». Элементы этого отношения суть {(Ицик, Микки), (Микки, Ицик), (Ицик, Инна), (Микки, Инна)}. Отмечаем, что упорядоченная пара (Ицик, Инна) появляется в R, а пара (Инна, Ицик) — нет. Хотя Ицик — брат Инны, она ему братом не приходится.
Свойства отношений на множествах
Теперь, когда мы освежили наши представления о множествах и отношениях, приступим к теме статьи — свойствам отношений на множествах. В качестве данных для примера обратимся к кодам листинга 1, чтобы создать таблицы V и R. V будет представлять множество, а R — бинарное отношение на нем. Используйте код листинга 2 для создания процедуры ClearTables, с помощью которой сможете очистить от записей обе эти таблицы перед их заполнением новыми образцами данных. Наконец, используйте коды листингов 3, 4 и 5 для наполнения таблиц V и R различными наборами данных для тестирования (будем их называть примерами данных 1, 2 и 3 соответственно).
/IMAGE/1285154843_072-lis1.gif)
/IMAGE/1285154887_073-lis2.gif)
Рефлексивность. Отношение R на множестве V является рефлексивным, если для любого элемента v множества V, v ∈ V, следует, что (v, v) ∈ R, то есть пара (v, v) всегда принадлежит R. А отношение R на V не рефлексивно, если найдется такой элемент v ∈ V, что пара (v, v) ∉ R. Вновь рассмотрим пример множества F — членов моей семьи.
Отношение «иметь одинаковый возраст с» на F, очевидным образом, рефлексивно. Элементами отношения будут следующие пары: {(Ицик, Ицик), (Ицик, Микки), (Микки, Микки), (Микки, Ицик), (Инна, Инна), (Мила, Мила), (Габи, Габи)}.
Приступим к написанию T-SQL запроса к таблицам V и R (представляющим множество и отношение на этом множестве), проверяющего, обладает ли R свойством рефлексивности:
SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT v, v FROM dbo.V
EXCEPT
SELECT r1, r2 FROM dbo.R)
THEN ‘Нет’
ELSE ‘Да’,
END AS reflexive
Первый подзапрос в операции EXCEPT возвращает набор всех упорядоченных пар (v, v) для всех строк таблицы V. Второй подзапрос возвращает набор упорядоченных пар (r1, r2) — всех строк таблицы R. Операция EXCEPT, таким образом, вернет все упорядоченные пары, встречающиеся в первом и отсутствующие во втором наборе. Предикат EXISTS нужен для проверки существования хотя бы одной записи в результирующем наборе. Если найдется хотя бы одна такая запись, то выражение CASE возвратит нам «Нет» (нет рефлексивности), но и «Да» — в противном случае (есть рефлексивность).
Взгляните на три примера наборов данных в листингах 3, 4 и 5 и попытайтесь определить без запуска запроса, в каких из них отношение будет рефлексивным. Ответы даются далее в тексте статьи.
/IMAGE/1285155165_073-lis2.gif)
/IMAGE/1285155228_073-lis4.gif)
/IMAGE/1285155272_073-lis5.gif)
Иррефлексивнось. Отношение R на множестве V называется иррефлексивным (не путать с нерефлексивностью), если для каждого элемента v ∈ V следует, что (v, v) ∉ R. Отношение не иррефлексивно, если найдется элемент v ∈ V, для которого (v, v) ∈ R. Примером иррефлексивного отношения на множестве F членов моей семьи служит отношение «быть родителем», так как никакой человек не может быть родителем самому себе. Членами этого отношения на F будут следующие пары: {(Мила, Ицик), (Мила, Микки), (Мила, Инна), (Габи, Ицик), (Габи, Микки), (Габи, Инна)}.
Следующий запрос является проверочным — будет ли отношение R на V иррефлексивным:
SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT * FROM dbo.R
WHERE r1 = r2)
THEN ‘Нет’
ELSE ‘Да’
END AS irreflexive
Внешние ключи в определении таблицы R были введены для обеспечения того, что лишь элементы V смогут составить атрибуты r1 и r2 записи R. Таким образом, остается только проверить, нет ли в R записей с совпадающими атрибутами r1 и r2. Если такая запись найдется, отношение R не иррефлексивно, если записи нет, оно иррефлексивно.
Симметричность. Отношение R на множестве V называется симметричным, если вместе с (r1, r2) ∈ R всегда выполняется и (r2, r1) ∈ R. Отношение не симметрично, если найдется некоторая пара (r1, r2) ∈ R, для которой (r2, r1) ∉ R. На множестве F членов семьи Бен-Ган отношение «является братом или сестрой (is a sibling of)» будет примером симметричного отношения. Парами этого отношения будут следующие наборы: {(Ицик, Микки), (Ицик, Инна), (Микки, Ицик), (Микки, Инна), (Инна, Ицик), (Инна, Микки)}.
Следующий запрос является проверочным — будет ли отношение R на V симметричным:
SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT r1, r2 FROM dbo.R
EXCEPT
SELECT r2, r1 FROM dbo.R)
THEN ‘Нет’
ELSE ‘Да’
END AS symmetric
Код запроса использует операцию EXCEPT. Первый подзапрос операции EXCEPT возвращает набор упорядоченных пар (r1, r2) — записей таблицы R, а второй — набор упорядоченных пар (r2, r1) по каждой записи R. Если отношение R на множестве V не симметрично, то операция EXCEPT вернет непустой результирующий набор, а предикат EXISTS, соответственно, значение TRUE и, наконец, выражение CASE вернет «Нет».
Если отношение симметрично, то выражение CASE даст «Да».
Асимметричность. Отношение R на множестве V асимметрично (не следует путать это свойство с несимметричностью), если для каждого набора (r1, r2) ∈ R, в котором r1 ≠ r2, справедливо, что (r2, r1) ∉ R. Примером асимметричного отношения на множестве F членов семьи автора будет отношение «являться родителем», которое было описано выше. В качестве упражнения постарайтесь придумать пример отношения на непустом множестве, которое одновременно является симметричным и асимметричным. Проверьте пример данных в этой статье в качестве решения.
SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT r1, r2 FROM dbo.R WHERE r1 r2
INTERSECT
SELECT r2, r1 FROM dbo.R WHERE r1 r2)
THEN ‘Нет’
ELSE ‘Да’
END AS asymmetric
В коде используется операция INTERSECT. Первый подзапрос в этой операции возвращает упорядоченную пару (r1, r2) для каждой записи таблицы R, в которой r1 r2.
Второй подзапрос операции INTERSECT возвращает упорядоченную пару (r2, r1) для каждой записи таблицы R, в которой r1 r2. Если в результирующий набор (результат пересечения этих множеств) входит хотя бы одна запись, это будет означать, что R не асимметрично; в противном случае R асимметрично.
Транзитивность. Отношение R на множестве V является транзитивным, если из включений (a, b) ∈ R и (b, c) ∈ R, всегда вытекает, что и (a, c) ∈ R. Примером транзитивного отношения на множестве членов семьи F будет отношение «является братом или сестрой», которое было рассмотрено выше.
Приведенный ниже код проверяет транзитивность отношения R:
SELECT
CASE
WHEN EXISTS
(SELECT *
FROM dbo.R AS RA
INNER JOIN dbo.R AS RB
ON RA.r2 = RB.r1
LEFT OUTER JOIN dbo.R AS RC
ON RA.r1 = RC.r1 AND RB.r2 = RC.r2
WHERE RC.r1 IS NULL)
THEN ‘Нет’
ELSE ‘Да’
END AS transitive
В коде, во‑первых, используется внутренняя связь (inner join) между двумя экземплярами R, для того чтобы отбирать лишь те строки, в которых r2 в первом экземпляре совпадает с r1 на втором экземпляре. Во‑вторых, в коде применяется левая внешняя связь (left outer join) с третьим экземпляром таблицы R, в соответствии с которой r1 первого экземпляра R совпадает с r1 третьего экземпляра, а r2 второго экземпляра совпадает с r2 третьего. Если существует хотя бы одна результирующая строка во внутреннем подзапросе (условие отбора для третьего экземпляра: r1 есть Null), это означает, что отношение не транзитивно; в противном случае отношение R транзитивно.
Отношение эквивалентности. Отношением эквивалентности является такое отношение, которое одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Можно использовать запросы, предложенные выше для раздельной проверки наличия каждого свойства: если отношение обладает всеми тремя, то следует заключить, что имеет место отношение эквивалентности. Кроме того, вы можете использовать коды листинга 6 для проверки всех свойств отношения R на множестве V, которые ранее обсуждались в статье, в том числе проверку свойства быть отношением эквивалентности. Если провести прогонку листинга 6 для примеров данных 1, 2 и 3 (полученных на основе листингов 3, 4 и 5 соответственно), то получатся результаты, приведенные в таблицах 1, 2 и 3 соответственно.
/IMAGE/1285156246_074-lis6.gif)
Возвращаясь к основам T-SQL
Таким образом, мы рассмотрели фундаментальную тему из математической теории множеств: свойства отношений на множествах. Я предложил проверочные коды T-SQL для контроля свойств некоторого отношения, представленного таблицей R (упорядоченных пар элементов), на множестве элементов, представленных таблицей V.
Использование основных конструкций T-SQL помогло нам правильно настроить и применить средства этого языка для лучшего понимания свойств отношений на множествах.
Ицик Бен-Ган (Itzik@SolidQ.com) — преподаватель и консультант, автор книг по T-SQL, имеет звание SQL Server MVP
| Рефлексивность | Иррекфлексивность | Симметрия | Асимметрия | Транзитивность | Эквивалентность |
|---|---|---|---|---|---|
| Да | Нет | Нет | Да | Да | Нет |
| Рефлексивность | Иррекфлексивность | Симметрия | Асимметрия | Транзитивность | Эквивалентность |
|---|---|---|---|---|---|
| Да | Нет | Да | Нет | Да | Да |
| Рефлексивность | Иррекфлексивность | Симметрия | Асимметрия | Транзитивность | Эквивалентность |
|---|---|---|---|---|---|
| Нет | Да | Да | Да | Да | Нет |