Какое свойство смежных углов

Общие сведения

Основными элементами, используемыми в геометрии, являются лучи и углы. С их помощью образуется любая геометрическая фигура — квадрат, треугольник или любого вида многоугольник. Луч — это полупрямая, то есть часть линии, на которой точки располагаются по одной стороне от зафиксированной. По-другому можно сказать, что луч — это линия, ограниченная только с одной стороны. Обозначают его как прописными латинскими буквами, так и заглавными с названием точек. Во втором случае первой указывается начальная точка.

Два луча, выходящие из одной точки, образовывают угол. По сути, это незамкнутая геометрическая фигура. Она имеет вершину (общую точку) и стороны. Обозначают его с помощью трёх заглавных букв, соответствующих трём точкам — вершине и двум лежащим на разных сторонах лучах. Внутренняя часть формируется из множества точек, принадлежащих плоскости, ограниченной сторонами угла.

Существует шесть видов углов:

• Острый — расстояние между сторонами составляет меньше 90 градусов.
• Прямой — образовывается двумя взаимно перпендикулярными прямыми.
• Тупой — разворот угла больше 90 градусов, но не превышает 180.
• Развёрнутый — представляет сумму двух прямых элементов.
• Выпуклый — угол между лучами составляет больше 180 градусов, но меньше 360.
• Полный — равняется 360 градусам.

Располагаясь на плоскости, по отношению друг к другу углы могут быть смежными или вертикальными. Согласно определению, смежными углами называют такую пару, у которой одна сторона принадлежит обеим фигурам, а два других луча образуют прямую линию. Вертикальными же считаются углы, стороны которых дополняют друг друга до прямых линий. Они всегда градусно равны.

Из угла всегда можно провести линию, делящую его на две равные части. Такой луч, исходящий из вершины, называют биссектрисой. А это значит, что после его проведения образуется два равных смежных угла, обладающих одинаковыми свойствами.

Единицей измерения разворота фигуры является градусная мера. Если в нём содержится нецелое количество градусов, то используются минуты и секунды. Так, в одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте 60 секунд.

Основные факты

Вычисление элементов треугольников используется в географии, строительстве, астрономии, мореплавании и других науках и технике, например, кинематике, механике, оптике, при проведении гармонического анализа. Для успешного решения задач по теме нужно знать следующие факты:

1. При пересечении двух лучей образуются стороны, которые являются продолжением друг друга, при этом образованные угловые элементы будут вертикальными.
2. Сумма угловых частей в треугольнике при сложении составляет 180 градусов.
3. Биссектрисы смежных частей взаимно перпендикулярны.
4. Если существуют односторонние угловые элементы, то при параллельных линиях они будут перпендикулярными.
5. Если точка располагается на равноудалённом расстоянии от угловой стороны, то она находится на биссектрисе.
6. Равнобедренным называют треугольник с двумя равными сторонами, при этом высота и медиана у него совпадают. Отсюда следует, что два угла в такой фигуре равны.
7. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
8. Точка пересечения медиан в треугольнике делит их в отношении один к двум, начиная отсчёт от вершины.
9. Медиана, построенная из вершины прямого угла, равняется одной второй гипотенузы.
10. Высота в треугольнике делит его на две фигуры, подобные начальной.
11. Средняя линия треугольника представляет вектор, состоящий из середин двух его сторон, при этом она параллельна третьей стороне и отсекает от фигуры подобный треугольник.
12. Катет, примыкающий к вершине угловой части объекта, называется прилежащим и формирует его совместно с гипотенузой. Другой же луч, не примыкающий к элементу, находится напротив вершины и является противолежащим.
13. Синусом называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинусом — отношение прилежащего к угловому элементу катету к гипотенузе.

Кроме этого, нужно учесть, что отличие смежных углов от вертикальных заключается в том, что сумма первых равняется 180 градусам, а вторые всегда равняются друг другу.

Иными словами, для пары углов смежным будет угловой элемент, равный у = (180 — x) градусам. Причём при пересечении двух лучей получается четыре смежные пары, из которых две будут вертикальными. Это основополагающие факты, на которых построена геометрия и тригонометрия. Зная их, можно переходить к изучению таких сложных наук, как, например, планиметрия и стереометрия.

Свойства и теорема

С теоремой о смежных углах знакомят на уроках геометрии в седьмом классе средней школы. Исходя из того, что такие фигуры имеют общую вершину и сторону, можно предположить, что сумма углов будет равняться 180 градусам. При этом каждый из них способен дополнить другой до развёрнутого. Равенство суммы 180 градусам и является основной теоремой.

Доказательство этого утверждения выполняется довольно просто. Делается это путём изображения пары смежных углов ABC и CBK. Вершина располагается в точке B, а сторона BC является общей. Изучив рисунок, можно отметить, что стороны AB и BK лежат на одной прямой. По аксиоме измерения углов получается, что ∠ABC + ∠СBK = ∠ABK. Иными словами, полученные углы образовывают развёрнутый, то есть такой, значение которого равняется 180 градусам. Формулой теорему можно записать как ∠ABC + ∠CBK = 1800.

На основании рассмотренной теоремы вытекают три свойства смежных углов:

• если они равны, то они являются прямыми;
• угол, смежный с тупым, — острый, и наоборот;
• когда два угла равны, то будут равными и смежные с ними развороты.

А также существуют следствия или, как их ещё называют, тригонометрические соотношения. В их основе лежит то, что косинусы и тангенсы рассматриваемых фигур всегда будут равны по величине, но противоположны по знаку. При этом если необходимо построить угол, смежный с существующим, то нужно одну из сторон продлить за вершину.

Указанные свойства используются и при определении подобия треугольников. Например, согласно первому признаку, если два угла равностороннего или разностороннего треугольника совпадают с двумя углами другого, то они подобны. Случается, что по одну сторону от линии могут находиться несколько лучей, имеющих общую вершину. Изобразив такую ситуацию на чертеже, легко убедиться, что если все полученные углы сложить, то их сумма будет соответствовать значению двух прямых, а также из них всегда можно образовать смежную пару.

Этот свойство используется тогда, когда необходимо определить, чему равняется сумма углов вокруг конкретно взятой вершины. То есть продолжив одну из сторон за рассматриваемую вершину, можно получить две группы: первую — сумма которых равна двум прямым, и вторую — сумма которых также равна двум прямым углам. Отсюда следует, что сумма вокруг общей вершины будет равняться прямым углам.

Примеры решения задач

Решать задачи по заданной теме проще, если выполнять чертежи. С их помощью, а также зная свойства и теоремы, найти правильный ответ не составит особого труда. Существуют типовые задания, позволяющие закрепить пройденный материал и на практике применить полученные знания. Вот наиболее интересные из них с подобным решением:

1. Возможно ли существование такой смежной пары, в которой будут два остроугольника? Для ответа на вопрос нужно рассуждать следующим образом. Острым называется такой элемент, разворот которого меньше 90 градусов. Так как пара должна содержать общую сторону, то второй элемент будет тупоугольным. Исключением будет, если из вершины лучи выходят перпендикулярно друг другу, поэтому существование такой пары невозможно.
2. Один из парных элементов меньше другого на 80 градусов, необходимо найти разворот второго. Итак, если первый угол принять равным U, то второй, согласно условию, будет равняться U — 80. Так как в сумме они оба дают 180 градусов, то верным будут следующие уравнения: U + U + 66 = 180; 2 * U = 180 — 80; 2 * U = 100; U = 100/2 = 50. Отсюда разворот второго элемента составит: 50 + 80 = 130 градусов.
3. Имеются два прямоугольных треугольника со смежными между собой углами, при этом их меры в градусах относятся как 2:3. Чтобы найти их значения, нужно вспомнить, что сумма смежных углов равна 180 градусам. Обозначив первый разворот два икс, а второй с коэффициентом три, справедливо будет записать: 2x + 3x = 180. Решив уравнение, можно определить икс, его значение будет равняться: x = 30. Затем, подставив вместо икса его численную величину, довольно просто вычислить ответ. Искомые значения будут 60 и 90 градусов.
4. Восьмая часть одного из смежных элементов и три четверти другого составляют в сумме прямую фигуру. Нужно найти разность. Так как сумма парных углов 180°, то пусть один из них равняется икс, тогда другой будет игрек. На основании этих данных можно составить систему: x + y = 180; x / 8+ (3у) / 4 = 90. Сложив оба уравнения, можно получить равенство: x + 6y = 720; 5y = 540. Отсюда: y = 108°, x = 180 — 108 = 72 градуса. В итоге искомая разность составит: 108 — 72 = 36.

Уметь правильно решать задачи важно, так как в дальнейшем эти знания помогают находить такие важные элементы, как площадь треугольника, зная только разворот и высоту произвольной фигуры, а далее уже легко будет вычислить и объём. Кроме этого, правила смежности часто используются в тригонометрии при нахождении синусов и косинусов.

Вычисление на онлайн-калькуляторе

Нахождение градусной меры смежных элементов обычно не вызывает проблем и относится к элементарным действиям при исследованиях различных треугольников, например, остроугольных или равнобедренных. Но при работе с нецелыми числами или в процессе обучения имеет смысл использовать так называемые онлайн-калькуляторы.

Это обычные интернет-сайты, содержащие встроенную программу для автоматических расчётов. Пользоваться ими сможет каждый, кто имеет компьютер или гаджет с установленным веб-обозревателем. Вся работа с сервисом сводится к загрузке его интернет-страницы и заполнения специальной формы, в которую вводятся исходные данные. Затем нажимается интерактивная кнопка и на дисплее появляется ответ.

Вычисление обычно занимает пару секунд, а появление ошибки исключено. Кроме этого, на сайтах, предлагающего такого рода услуги, содержится весь необходимый для расчётов теоретический материал. Поэтому даже слабо подготовленный по теме пользователь сможет понять, откуда и каким образом получился тот или иной ответ.

Из множества сервисов, существующих в русскоязычном сегменте всемирной сети, можно выделить следующие:

• fxyz;
• calc;
• geleot;
• 01math;
• infofaq.

Эти сервисы доступны бесплатно, имеют интуитивно понятный интерфейс на русском языке.

При этом пользователям предлагается ознакомиться с развёрнутым решением, то есть указан поэтапный расчёт. Для удобства на страницах даётся не только необходимая теория, но и ряд типовых примеров с подробным описанием действий.

Следует отметить, что указанные сервисы могут находить ответ для любой сложности математической задачи. Особенно востребованными становятся такие вычисления в инженерии, связанные с тригонометрическими функциями. Ведь для таких расчётов важны точность и время, что вполне могут обеспечить онлайн-калькуляторы.

Геометрия

7 класс

Урок № 6

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Понятие смежных и вертикальных углов
• Свойства смежных и вертикальных углов
• Отличие аксиомы от теоремы

Тезаурус

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

• Сумма смежных углов равна 1800.
• Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
• Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

• Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____0

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800

∠ВОК+ 110= 1800

∠ВОК= 1800– 110= 1690.

Ответ: ∠ВОК= 1690

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Варианты ответов:

1. 1120
2. 640
3. 1160
4. 680

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.

Ответ: 1160

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.

∠BМD=____0.

Выделите верный ответ из списка:

600; 300; 750; 900

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.

Верный ответ: 600