Какое свойство называется характеристическим

Элементы теории множеств

(Методическое пособие для учащихся

Х классов физико-математического профиля)

Автор: Хомутова Л.Ю.

Москва

Год

«Множество есть многое,
мыслимое нами как единое».

Г. Кантор

Множества и их элементы

В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют одним словом. Совокупность документов называют архивом, собрание музыкантов – оркестром, группу лошадей – табуном, собрание книг – библиотекой и т. д.

Математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества. Это понятие в математике является первичным, не определяемым, таким же, как понятие точки и прямой в геометрии, – к более простым понятиям оно не сводится.

Приведем примеры множеств:

· Множество всех людей, живущих в настоящее время на Земле.

· Множество всех рыб в Тихом океане.

· Множество звезд в Галактике.

· Множество всех натуральных чисел.

· Множество всех действительных чисел , удовлетворяющих условию .

· Множество учащихся данной школы.

Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, Александр I является элементом множества российских императоров, а число 9 – элементом множества натуральных чисел, а число не является элементом множества целых чисел.

Обычно множества обозначаются латинскими прописными буквами A, B, C, D ,X ,Y ,W и т. д., а их элементы – строчными буквами a, b, c, d, x, y, w и т. д. То обстоятельство, что объект a является элементом множества А, записывают так: . Если объект а не является элементом множества А, то пишут: .

Множества А и В называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Например, равны множества и . Равенство множеств А и В записывают в виде А=В.

Характеристическое свойство множества

Различают множества конечные и бесконечные. Конечным называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Среди конечных множеств выделяют пустое множество, не имеющего ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом . Примерами пустых множеств являются множество людей выше трех метров роста, множество нечетных чисел, делящихся на два, и т. д. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным множеством.

Имеется два существенно различных способа задания множества. Первый способ состоит в том, что множество задается указанием всех его элементов. В этом случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов, или списком элементов.

Перечислением элементов можно задать лишь конечные множества. И даже для них это не всегда легко сделать: трудно перечислить все элементы конечного множества, состоящего из всех людей, живущих на Земле.

Второй способ задания множества применим как к конечным, так и к бесконечным множествам. Он состоит в том, указывается свойство, которым обладают все элементы рассматриваемого множества и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойством множества. Если множество А задано характеристическим свойством Р, то пишут:

Эту запись читают так: множество А состоит из тех и только тех элементов, которые обладают свойством Р.

означает, что множество В состоит из всех нечетных натуральных чисел.

Подмножества

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент х из множества В является вместе с тем и элементом множества А. В этом случае пишут: . Здесь знак является знаком включения одного множества в другое.

Рассмотрим множества:

1) В – множество всех четырехугольников,

2) С – множество всех параллелограммов,

3) D – множество всех прямоугольников,

4) Е – множество всех квадратов.

В смысле множества фигура каждого следующего типа является частным случаем фигуры предыдущего типа (параллелограмм – частный случай четырехугольника, прямоугольник – параллелограмма, квадрат – прямоугольника). Это означает, что каждое следующее множество является подмножеством предыдущего. Поэтому

Для иллюстрации соотношения между множествами пользуются схемами, называемыми диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества изображаются овалами, в частности кругами.

Леонард Эйлер (1707 – 1783) – один из величайших математиков {VIII в., швейцарец; Дж. Венн (1834 – 1923) – английский математик.

На рисунке 1 с помощью кругов показано соотношение между множествами B, С, D, Е.

Рис. 1

Операции над множествами

Пересечение множеств

Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств. Например, общей частью множеств будет множество , которое называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В.

Пересечение множеств А и В обозначают :

Например, если А – множество всех прямоугольников, В – множество всех ромбов, то – множество всех квадратов.

Геометрическую иллюстрацию операции пересечения множеств А и В дают диаграммы Эйлера – Венна (рис. 2).

а) б)

Рис. 2

На рисунке 2,а заштриховано множество , на рисунке 2,б множества А и В не пересекаются, т. е. .

Операция пересечения множеств применяется там, где требуется найти элементы, удовлетворяющие сразу двум условиям. Например, множество натуральных чисел, кратных 15, – это пересечение множества натуральных чисел, кратных 3, и множества натуральных чисел, кратных 5, т. е.

Объединение множеств

Из двух множеств А и В можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества А и все элементы множества В. Например, объединяя элементы множества с элементами множества , получим новое множество , которое называют объединением множеств А и В. При этом общие элементы 3 и 5 входят в объединение один раз.

Определение. Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или в множество В.

Объединение множеств А и В обозначают :

а) б)

Рис. 3.

Диаграммы Эйлера – Венна, соответствующие операции объединения множеств А и В, построены на рисунке 3. На них заштрихованы множества .

Разность множеств

Определение. Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А/В. Диаграммы Эйлера – Венна, соответствующие операции вычитания множеств А и В, построены на рисунке 4. На нем заштрихованы множества А/В. Если А=В, то А/В= .

а) б) в)

Рис. 4.

В случае, когда В есть подмножество множества А, разность А/В называют дополнением множества В в множестве А и обозначают . Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел.

Дата добавления: 2016-07-29; просмотров: 10532 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Читайте также:

Рекомендуемый контект:

Поиск на сайте:

Источник

Всякое свойство можно рассматривать как принадлежность его некоторым предметам.

Например, свойством «быть красным» обладают некоторые цветы, ягоды, автомашины и другие предметы. Свойством «быть круглым» обладают луна, мяч, колеса велосипедов и автомашин, детали различных машин и станков и др.

Таким образом, с каждым свойством связывается множество (предметов), обладающих этим свойством. Говорят также, что множество характеризуется данным свойством, или множество задано указанием характеристического свойства.

Под характеристическим свойством множества понимают такое свойство, которым обладают все предметы, принадлежащие этому множеству (элементы этого множества), и не обладает ни один предмет, не принадлежащий ему (не являющийся его элементом).

Иногда свойство отождествляется с множеством предметов, характеризуемым этим свойством. Говоря «круглое», мы одноврег менно мыслим о множестве всех круглых предметов.

Если некоторое множество А задано указанием характеристического свойства Р, то это записывается следующим образом:

А=хР(х))

и читается так: «А — множество всех х таких, что х обладает свойством Р», или, короче, «Л — множество всех х, обладающих свойством Р». Когда говорят: «множество всех предметов, обладающих свойством Р», имеются в виду те и. только те предметы, которые обладают этим свойством.

Таким образом, если множество Л задано характеристическим свойством Р, то это означает, что оно состоит из всех предметов, обладающих этим свойством, и только из них. Если какой-нибудь предмет а обладает свойством Р, то он принадлежит множеству Л и, наоборот, если предмет а принадлежит множеству Л, то он

обладает свойством Р.

Предложение «предмет а принадлежит множеству Л», или «пред-мета — элемент множества Л», обозначается кратко «а^А». Предложение «предмет а обладает свойством Р» — «Р (а)». Эти два предложения р а в н о с и л ь н ы, т. е. выражают одну и ту же мысль в разной форме, первое — на языке множеств, второе — на языке свойств. Высказывания, выражаемые этими двумя предложениями, одновременно истинны или ложны: истинны, если предмет а действительно принадлежит множеству Л (обладает свойством Р), ложны в противном случае. Для обозначения равносильности двух предложений применяется знак о.

Таким образом, если А = {хР {х), то пишут: а^АоР (а). Например, если А — множество детей, живущих на Ленинском проспекте, то предложения «Саша живет на Ленинском проспекте» и «Саша принадлежит множеству детей, живущих на Ленинском проспекте» (хотя так обычно не говорят) равносильны. Они выражают истинные высказывания, если Саша, о котором идет речь в них, действительно живет на Ленинском проспекте, и ложные высказывания в противном случае.

Предложение Р (х), т. е. «* обладает свойством Р>, например <х живет на Ленинском проспекте», или «…живет на Ленинском проспекте», не выражает высказывания, так как оно содержит «пустое место» (переменную) и бессмысленно задавать вопрос, истинно оно или ложно. Оно обращается в высказывание истинное или ложное, если вместо переменной (на пустое место) поставить какое-нибудь ее значение. Такое предложение с пустым местом (переменной), которое может обращаться в истинное или ложное высказывание, называется в ы с к а-зывательной формой или предикатом.

Говоря в дальнейшем «предложение», будем иметь в виду высказывание (т. е. повествовательное предложение без пустых мест), или предикат

Например, предложения 2 + 2 = 4, 2 + 2 = 5, 3<5, 6<5 — высказывания, причем первое и третье — истинные высказывания, второе и четвертое — ложные, предложения же 2 + х = 5, или 2 + …=5, и х<5, или … <5,— предикаты, которые обращаются в истинные или ложные высказывания лишь при подстановке вместо переменной х (на пустое место) какого-нибудь ее значения. Такие предикаты используются при обучении маленьких детей в заданиях типа: «Какое число надо поставить на пустое место, чтобы то, что получится, было верно?» Естественно, что некоторым свойством может обладать бесконечное множество предметов, другим — лишь конечное множество. Поэтому множества подразделяются на конечные и бесконечные (в главе V мы вернемся к этому вопросу).

Конечное множество может быть задано инепосредственны перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Например, множество детей, живущих на Ленинском проспекте, может быть задано описанием с помощью характеристического свойства:

ix| х —живет на Ленинском проспекте} —

или же перечислением всех его элементов в произвольном порядке: {Лена, Саша, Витя, Ира, Коля}.

Вполне понятно, что бесконечное множество нельзя задать перечислением всех его элементов.

Математика в большей мере имеет дело с бесконечными множествами (числа, точки, фигуры и другие объекты), но основные математические идеи и логические структуры могут быть смоделированы на конечных множествах. В таком случае истинность предложения выражающего общее свойство элементов конечного множества (все элементы множества А обладают свойством Р) или существование элемента, обладающего определенным свойством (существует элемент множества М, обладающий свойством Р), может быть установлена непосредственной проверкой. Если же это предложение получено логическим путем, то проверка подтверждает (или опровергает) правильность рассуждения, с помощью которого

оно получено.

Естественно, что в предматематическои подготовке обычно имеют дело с конечными множествами.Элементами множества могут быть самые разнообразные предметы любой природы, как конкретные (растения, животные, предметы обихода и т. д.), так и абстрактные (числа, геометрические фигуры, отношения и т. д.), или изображения таких объектов. Чаще всего мы будем пользоваться множествами, элементами, которых являются знакомые детям предметы или их изображения. При этом изображение птички так и будем называть птичкой, изображение дерева деревом и т. п. Мы будем также пользоваться специальным дидактическим материалом.

Источник

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством[1].

Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики. Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую идеологию и терминологию.

История понятия[править | править код]

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством».
Эти объекты назвал элементами множества.
Множество объектов, обладающих свойством , обозначил .
Если некоторое множество , то назвал характеристическим свойством множества .

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стало принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную — аксиоматической теорией множеств.

В практике, сложившейся с середины XX века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора).
При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами.
Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества[править | править код]

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества.
Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если — элемент множества , то записывают (« принадлежит »). Если не является элементом множества , то записывают (« не принадлежит »). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его:

Равенство двух множеств означает

Задание множества[править | править код]

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. Например, множество неотрицательных чётных чисел, меньших 10 можно задать в виде списка: . Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов. Множество задано, если указано условие , которому удовлетворяют все элементы, принадлежащие множеству и которому не удовлетворяют элементы, не принадлежащие множеству .

Обозначение

используется для задания множества ; оно означает, что множество состоит из тех и только тех элементов множества , для которых выполнено условие .

Например, график функции можно задать следующим образом:

Некоторые виды множеств и сходных объектов[править | править код]

Специальные множества[править | править код]

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
Одноэлементное множество — множество, состоящее из одного элемента.
Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время более узко как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».

Сходные объекты[править | править код]

Кортеж (в частности, упорядоченная пара) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
Мультимножество (в теории сетей Петри называется «комплект») — множество с кратными элементами.
Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
Нечёткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

По иерархии[править | править код]

Система множеств (множество множеств) — множество, все элементы которого также являются множествами, обычно схожего происхождения (например, все они могут быть подмножествами некоторого другого множества)[2].
- Алгебра множеств, кольцо множеств — примеры типов структур, являющихся системами множеств.
- Булеан — множество всех подмножеств данного множества.
Семейство множеств — индексированный аналог системы множеств, см. семейство (математика).
Подмножество
Надмножество

Отношения между множествами[править | править код]

Два множества и могут вступать друг с другом в различные отношения.

включено в , если каждый элемент множества принадлежит также и множеству :
включает , если включено в :
равно , если и включены друг в друга:
строго включено в , если включено в , но не равно ему:
строго включает , если строго включено в :
и не пересекаются, если у них нет общих элементов:
и не пересекаются
и находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству , элемент, принадлежащий исключительно множеству , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:
и находятся в общем положении

Операции над множествами[править | править код]

Бинарные операции[править | править код]

Основные бинарные операции, определяемые над множествами:

Если множества и не пересекаются, то . Их объединение обозначают также: .

Для объяснения смысла операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Всякая система множеств, замкнутая относительно операций объединения и пересечения, образует относительно объединения и пересечения дистрибутивную решётку.

Унарные операции[править | править код]

Дополнение определяется следующим образом:

Операция дополнения подразумевает некоторый зафиксированный универсум (универсальное множество , которое содержит ), и сводится к разности множеств с этим универсумом:

Система множеств с фиксированным универсумом, замкнутая относительно операций объединения, пересечения с введённым таким образом дополнением образует булеву алгебру.

Булеан — множество всех подмножеств:

Обозначение происходит из свойства мощности множества всех подмножеств конечного множества:

Булеан порождает систему множеств с фиксированным универсумом , замкнутую относительно операций объединения и пересечения, то есть, образует булеву алгебру.

Приоритет операций[править | править код]

Последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. При отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции (дополнение), затем — пересечения и разности, которые имеют одинаковый приоритет, затем — объединения и симметрической разности[источник не указан 296 дней]. Операции одного приоритета выполняются слева направо. При этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и вычитания, для которых верно, что , для аналогичных операций над множествами это неверно. Например, если то но, в то же время, .

Мощность[править | править код]

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов для конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции были равномощны. Обозначается или . Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если , то ) и распространением свойства мощности булеана конечного множества: на случай бесконечных множеств (само обозначение мотивировано этим свойством).

Наименьшая бесконечная мощность обозначается , это мощность счётного множества. Мощность континуума, биективного булеану счётного множества обозначается или . Континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.

Источник