Какое свойство лапласа отражает

Символы со сходным начертанием: L · Ⅼ · Լ

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Определение[править | править код]

Прямое преобразование Лапласа[править | править код]

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Функцию называют оригиналом в преобразовании Лапласа, а функцию называют изображением функции .

В литературе связь между оригиналом и изображением часто обозначают так: и , причём изображение принято записывать с заглавной буквы.

Обратное преобразование Лапласа[править | править код]

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной, такая что:

где — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Дискретное преобразование Лапласа[править | править код]

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают -преобразование и -преобразование.

-преобразование

Пусть — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где — целое число, а — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

-преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим -преобразование:

Свойства и теоремы[править | править код]

Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и — аналитическая функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции .

Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ;
: преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного и для ;
или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции (производная от ) для .

Примечание: это достаточные условия существования.

Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

Если изображение — аналитическая функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для .
Пусть , так что аналитична относительно каждого и равна нулю для , и , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

где — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

, если все полюсы функции находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

Другие свойства

Линейность:

Умножение на число:

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций[править | править код]

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

Применения преобразования Лапласа[править | править код]

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.[2]
Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
Решение нестационарных задач математической физики.

Процедура решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа состоит в следующем:

По заданному входном воздействию с помощью таблиц соответствий находят изображение.
По д.у. составляю передаточную функцию.
Находят изображение величины пунктов 1 и 2.
Определяют оригинал.[3]

Связь с другими преобразованиями[править | править код]

Фундаментальные связи[править | править код]

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона[править | править код]

Преобразование Лапласа — Карсона (иногда называют просто преобразование Карсона, иногда, не совсем корректно, используют преобразование Карсона, называя его преобразованием Лапласа) получается из преобразования Лапласа путём домножения изображения на комплексную переменную:

Преобразование Карсона широко используется в теории электрических цепей, так как при таком преобразовании размерности изображения и оригинала совпадают, поэтому коэффициенты передаточных функций имеют физический смысл.

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа связано с односторонним с помощью следующей формулы:

Преобразование Фурье[править | править код]

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом :

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель , который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина[править | править код]

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

положим , то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование[править | править код]

-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

где — период дискретизации, а — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

Преобразование Бореля[править | править код]

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Библиография[править | править код]

Ван дер Поль Б., Бремер Х. . Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
Диткин В. А., Прудников А. П. . Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
Диткин В. А., Кузнецов П. И. . Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
Карслоу Х., Егер Д. . Операционные методы в прикладной математике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1948. — 294 с.
Кожевников Н. И., Краснощёкова Т. И., Шишкин Н. Е. . Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
Краснов М. Л., Макаренко Г. И. . Операционное исчисление. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1964. — 103 с.
Микусинский Я. . Операторное исчисление. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — 367 с.
Романовский П. И. . Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

См. также[править | править код]

Первая теорема разложения
Вторая теорема разложения
Преобразование Фурье
D с чертой-преобразование
Дифференциальные уравнения

Ссылки[править | править код]

Преобразование Лапласа и его некоторые свойства (dsplib.org)
Преобразование Лапласа на сайте exponenta.ru

Примечания[править | править код]

Источник

Операторный метод берет начало со времени анализа бесконечно малых величин, когда были обнаружены определенные аналогии между дифференциально-интегральными и алгебраическими уравнениями. В XIX в. был опубликован ряд работ по операционному исчислению М.Е. Ващенко-Захарченко, О. Хэвисайда, Д. Карсона и др. Однако строгое обоснование операторный метод получил только в XX в. на базе общей теории функциональных преобразований.

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t 0 (при t < 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

где множитель М и показатель роста с0 — положительные действительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (7.2):

Функция F(p), определяемая уравнением (7.2), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (7.4) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного (t) и комплексного (p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (7.2), (7.4) используют следующую символику

Какое свойство лапласа отражает

где L — оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия .

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преобразования Лапласа, его можно записать в форме

где ak — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5) прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала

При ненулевых начальных условиях: f(0–)¹ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

Для доказательства (7.6) подставим f¢(t) в преобразование (7.2) в виде

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

В случае нулевых начальных условий

Интегрирование оригинала

Доказательство осуществляется путем использования свойства дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного (теорема подобия)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9) легко доказывается путем замены независимой переменной t = atв прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания)

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

Осуществим замену переменной t = t ± t0.

что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси времени на t0 соответствует умножению изображения на .

Смещения в области комплексного переменного (теорема смещения)

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.2) вместо f(t) подставить . Причем l может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по параметру (свойство коммутативности)

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продифференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лапласа (7.2) по параметру х.

Произведение изображений

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций f1(t) и f2(t).

Дифференцирование изображения

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для оригинала и изображения:

Действительно, согласно свойства дифференцирования оригинала можно записать:

Учитывая, что , получаем:

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типовых сигналов. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательность прямоугольных импульсов и так далее. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции d(t) (функция Дирака).

Единичная функция

Единичная функция задается уравнением (рис. 7.2, а)

Изображение функции (7.19) будет равно:

Единичная импульсная функция (функция Дирака)

Эта функция называется еще d-функцией; она задается уравнением

Функция Дирака является физически нереализуемой математической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Формально она может быть получена, например, предельным переходом (при t ® 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь которого равна единице:

Одним из интересных свойств функции d(t) является ее фильтрующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):

Найдем изображение единичной импульсной функции в форме изображения разности двух единичных функций величины 1(t), сдвинутых друг относительно друга на t (рис. 7.4). Для этих функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности получим

Устремив t ® 0, найдем изображение единичной импульсной функции (d-функции):

Экспоненциальный сигнал при t > 0:

т. е.

Подобным же образом можно найти изображение по Лапласу других функций, удовлетворяющих условию (7.3). В литературе имеются специальные справочники, в которых приведены оригиналы и изображения широкого класса функций. В табл. 7.1 приведены оригиналы и их изображения наиболее часто встречающихся в теории электрических цепей функций.

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 14 ноября 2019;
проверки требует 1 правка.

Уравнение Лапласа — дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: «двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах».

Другие формы уравнения Лапласа[править | править код]

В сферических координатах уравнение имеет вид

Особые точки .

В полярных координатах уравнение имеет вид

Особая точка .

В цилиндрических координатах уравнение имеет вид

Особая точка .

См. также оператор набла в различных системах координат.

Применение уравнения Лапласа[править | править код]

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера.

Решения уравнения Лапласа[править | править код]

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сопряжено с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Общее решение[править | править код]

Одномерное пространство[править | править код]

В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию:

где — произвольные постоянные.

Двумерное пространство[править | править код]

Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

Аналитические функции[править | править код]

Если z = x + iy, и

то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической:

И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем

А это не что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Функция Грина[править | править код]

Задача Дирихле[править | править код]

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области и известны её значения на границе.

Задача Неймана[править | править код]

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной по нормали искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

Литература[править | править код]

Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
Дж. Шарма, К. Сингх Уравнения в частных производных для инженеров.
Публикация Леонарда Эйлера, в которой впервые выводится уравнение Лапласа для потенциала скорости при безвихревом течении идеальной жидкости

Источник