Какое основное свойство алгебраической дроби
На данном уроке будет рассмотрено основное свойство алгебраической дроби. Умение правильно и без ошибок применять это свойство является одним из важнейших базовых умений во всем курсе школьной математики и будет встречаться не только на протяжении изучения данной темы, но и практически во всех изучаемых в дальнейшем разделах математики. Ранее уже было изучено сокращение обыкновенных дробей, а на данном уроке будет рассмотрено сокращение рациональных дробей. Несмотря на довольно большое внешнее отличие, существующее между рациональными и обыкновенными дробями, у них очень много общего, а именно – и обыкновенным, и рациональным дробям присущи одинаковое основное свойство и общие правила выполнения арифметических действий. В рамках урока мы столкнемся с понятиями: сокращение дроби, умножение и деление числителя и знаменателя на одно и то же выражение – и рассмотрим примеры.
Основное свойство обыкновенной дроби
Вспомним основное свойство обыкновенной дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Напомним, что деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля число называется сокращением.
Например: , при этом значение дробей не изменяется. Однако зачастую при применении данного свойства многие допускают стандартные ошибки:
1) — в приведенном примере допущена ошибка деления только одного слагаемого из числителя на 2, а не всего числителя. Правильная последовательность действий выглядит таким образом: или .
2) — здесь мы видим похожую ошибку, однако, кроме этого еще в результате деления получен 0, а не 1, что является еще более частой и грубой ошибкой.
Теперь необходимо перейти к рассмотрению алгебраической дроби. Вспомним это понятие из предыдущего урока.
Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь – дробное выражение вида , где – многочлены. – числитель, – знаменатель.
Алгебраические дроби являются, в некотором смысле, обобщением обыкновенных дробей и над ними можно проводить те же операции, что и над обыкновенными дробями.
Основное свойство алгебраической дроби
Основное свойство алгебраической дроби – и числитель, и знаменатель дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или число, отличное от нуля. Это будет тождественное преобразование алгебраической дроби. Вспомним, что как и ранее, деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля выражение называется сокращением.
Основное свойство алгебраической дроби позволяет сокращать дроби и приводить их к наименьшему общему знаменателю.
Примеры сокращения обыкновенных дробей
Для сокращения обыкновенных дробей мы прибегали к основной теореме арифметики, разлагали и числитель, и знаменатель на простые множители.
Определение. Простое число – натуральное число, которое делится только на единицу и само себя. Все остальные натуральные числа называются составными. 1 не является ни простым, ни составным числом.
Пример 1. а), где множители, на которые разложены числители и знаменатели указанных дробей, являются простыми числами.
Ответ. ; .
Примеры сокращения алгебраических дробей
Следовательно, для сокращения дробей необходимо предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители. Т.е. следует владеть методами разложения многочленов на множители.
Пример 2. Сократить дробь а), б) , в) .
Решение. а) . Необходимо заметить, что в числителе находится полный квадрат, а в знаменателе разность квадратов. После сокращения необходимо указать, что , во избежание деления на ноль.
б) . В знаменателе выносится общий числовой множитель, что полезно делать практически в любом случае, когда это возможно. Аналогично с предыдущим примером указываем, что .
в) . В знаменателе выносим за скобки минус (или, формально, ). Не забываем, что при сокращении .
Ответ. ;; .
Теперь приведём пример на приведение к общему знаменателю, делается это аналогично с обыкновенными дробями.
Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю
Пример 3. Привести к общему знаменателю дроби и .
Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) двух знаменателей, т.е. НОК(3;5). Иными словами, найти наименьшее число, которое делится на 3 и на 5 одновременно. Очевидно, что это число 15, записать это можно таким образом: НОК(3;5)=15 – это и будет общий знаменатель указанных дробей.
Чтобы преобразовать знаменатель 3 в 15, его необходимо умножить на 5, а для преобразования 5 в 15, его необходимо умножить на 3. По основному свойству алгебраической дроби следует умножить на те же числа и соответствующие числители указанных дробей.
и .
Ответ.; .
Пример 4. Привести к общему знаменателю дроби и .
Решение. Проведем аналогичные предыдущему примеру действия. Наименьшее общее кратное знаменателей НОК(12;18)=36. Приведем к этому знаменателю обе дроби:
и .
Ответ.; .
Сокращение сложных обыкновенных дробей
Теперь рассмотрим примеры, демонстрирующие применение техники сокращения дробей для их упрощения в более сложных случаях.
Пример 5. Вычислить значение дроби: а) , б) , в) .
а) . При сокращении пользуемся правилом деления степеней .
б) .
в) .
Сокращение сложных алгебраических дробей
После того, как мы повторили использование основного свойства обыкновенной дроби, можно перейти к рассмотрению алгебраических дробей.
Пример 6. Упростить дробь и вычислить при заданных значениях переменных: а) ; , б) ;
Решение. При подходе к решению возможен следующий вариант – сразу же подставить значения переменных и начать расчет дроби, но в таком случае решение сильно усложняется и необходимое на его решение время увеличивается, не говоря уже об опасности ошибиться в сложных вычислениях. Поэтому удобно сначала упростить выражение в буквенном виде, а затем уже подставить значения переменных.
а) . При сокращении на множитель необходимо проверить, не обращается ли он в ноль в указанных значениях переменных. При подстановке получаем , что дает возможность сокращения на данный множитель.
б) . В знаменателе выносим минус, как мы это уже делали в примере 2. При сокращении на снова проверяем не делим ли мы на ноль: .
Ответ. ; .
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Пример 7. Привести к общему знаменателю дроби а) и , б) и , в) и .
Решение. а) В данном случае подойдем к решению следующим образом: не будем пользоваться понятием НОК, как во втором примере, а просто умножим знаменатель первой дроби на знаменатель второй и наоборот – это позволит привести дроби к одинаковому знаменателю. Конечно же, не забываем при этом умножать и числители дробей на такие же выражения.
. В числителе раскрыли скобки, а в знаменателе воспользовались формулой разности квадратов.
. Аналогичные действия.
Видно, что такой способ позволяет умножить знаменатель и числитель одной дроби на тот элемент из знаменателя второй дроби, которого не хватает. С другой дробью проводятся аналогичные действия, и знаменатели приводятся к общему.
б) Проделаем аналогичные с предыдущим пунктом действия:
. Умножим числитель и знаменатель на тот элемент знаменателя второй дроби, которого не хватало (в данном случае на весь знаменатель).
. Аналогично.
в) . В данном случае мы умножили на 3 (множитель который присутствует в знаменателе второй дроби и отсутствует в первой).
.
Ответ. а) ; , б) ; , в) ; .
На данном уроке мы изучили основное свойство алгебраической дроби и рассмотрели основные задачи с его использованием. На следующем уроке мы более подробно разберем приведение дробей к общему знаменателю с использованием формул сокращенного умножения и метода группировки при разложении на множители.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- ЕГЭ по математике (Источник).
- Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
- Математика в школе: поурочные планы (Источник).
Домашнее задание
- №20, 22, 23, 26, 27, 29. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
- Сократить дробь: а) , б) , в) , г) .
- Привести дробь к знаменателю .
При изучении обыкновенных дробей, сталкиваемся с понятиями основного свойства дроби. Формулировка упрощенного вида необходима для решения примеров с обыкновенными дробями. Данная статья предполагает рассматривание алгебраических дробей и применение к ним основного свойства, которое будет сформулировано с приведением примеров области его применения.
Формулировка и обоснование
Основное свойство дроби имеет формулировку вида:
Определение 1
При одновременном умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби остается неизменным.
То есть, получаем, что a·mb·m=ab и a:mb:m=ab равнозначны, где ab=a·mb·m и ab=a:mb:m считаются справедливыми. Значения a, b, m являются некоторыми натуральными числами.
Деление числителя и знаменателя на число можно изобразить в виде a·mb·m=ab. Это аналогично решению примера 812=8:412:4=23. При делении используется равенство вида a:mb:m=ab, тогда 812=2·42·4=23. Его же можно представить в виде a·mb·m=ab , то есть812=2·43·4=23.
То есть, основное свойство дроби a·mb·m=ab и ab=a·mb·m будем рассматривать подробно в отличие от a:mb:m=ab и ab=a:mb:m.
Если в числителе и знаменателе имеются действительные числа, тогда свойство применимо. Предварительно следует доказать справедливость записанного неравенства для всех чисел. То есть, доказать существование a·mb·m=ab для всех действительных a, b, m, где b и m являются отличными от нуля значениями во избежание деления на ноль.
Доказательство 1
Пусть дробь вида ab считается частью записи z, иначе говоря, ab=z, тогда необходимо доказать, что a·mb·m отвечает z, то есть доказать a·mb·m=z. Тогда это позволит доказать существование равенства a·mb·m=ab.
Черта дроби означает знак деления. Применив связь с умножением и делением, получим, что из ab=z после преобразования получаем a=b·z. По свойствам числовых неравенств следует произвести умножение обеих частей неравенства на число, отличное от нуля. Тогда произведем умножение на число m, получаем, что a·m=(b·z)·m. По свойству имеем право записать выражение в виде a·m=(b·m)·z. Значит, из определения следует, что ab=z. Вот и все доказательство выражения a·mb·m=ab.
Равенства вида a·mb·m=ab и ab=a·mb·m имеют смысл, когда вместо a, b, m будут многочлены, причем вместо b и m – ненулевые.
Основное свойство алгебраической дроби: когда одновременно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, получим тождественно равное исходному выражение.
Свойство считается справедливым, так как действия с многочленами соответствуют действиям с числами.
Пример 1
Рассмотрим на примере дроби 3·xx2-xy+4·y3. Возможно преобразование к виду 3·x·(x2+2·x·y)(x2-xy+4·y3)·(x2+2·x·y).
Было произведено умножение на многочлен x2+2·x·y. Таким же образом основное свойство помогает избавиться от x2, имеющегося в заданной по условию дроби вида 5·x2·(x+1)x2·(x3+3) к виду 5·x+5×3+3. Это называется упрощением.
Основное свойство можно записать в виде выражений a·mb·m=ab и ab=a·mb·m, когда a, b, m являются многочленами или обычными переменными, причем b и m должны являться ненулевыми.
Сферы применения основного свойства алгебраической дроби
Применение основного свойства актуально для приведения к новому знаменателю или при сокращении дроби.
Определение 2
Приведение к общему знаменателю – это умножение числителя и знаменателя на аналогичный многочлен для получения нового. Полученная дробь равна исходной.
То есть дробь вида x+y·x2+1(x+1)·x2+1 при умножении на x2+1 и приведении к общему знаменателю (x+1)·(x2+1) получит вид x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.
После проведения действий с многочленами получаем, что алгебраическая дробь преобразуется в x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.
Приведение к общему знаменателю выполняется также при сложении или вычитании дробей. Если даны дробные коэффициенты, то предварительно необходимо произвести упрощение, что позволит упростить вид и само нахождение общего знаменателя. Например, 25·x·y-2x+12=10·25·x·y-210·x+12=4·x·y-2010·x+5.
Применение свойства при сокращении дробей выполняется в 2 этапа: разложение числителя и знаменателя на множители для поиска общего m, после чего осуществить переход к виду дроби ab, основываясь на равенстве вида a·mb·m=ab.
Если дробь вида 4·x3-x·y16·x4-y2 после разложения преобразуется на x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y, очевидно, что общим множителем будет многочлен 4·x2−y. Тогда возможно будет произвести сокращение дроби по основному его свойству. Получим, что
x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y=x4·x2+y. Дробь упрощается, тогда при подстановке значений необходимо будет выполнять намного меньше действий, чем при подстановке в исходную.
На уроке продолжается тема предыдущего урока и более подробно рассматриваются методы приведения дробей к общему знаменателю с использованием основного свойства дроби. Умение приводить дроби к общему знаменателю является важнейшим для сложения и вычитания дробей, что будет рассмотрено на дальнейших уроках. Основной упор сделан на сложные случаи, в которых для приведения дробей к общему знаменателю требуется умение разложения многочленов на множители и нахождения наименьшего общего знаменателя для двух многочленов. В ходе изложения материала приводится большое количество примеров, что позволяет развить и наработать навыки обращения со сложными дробными выражениями. В конце урока делается анонс дальнейших тем и демонстрируется пример вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Приведение к общему знаменателю дробей с численными знаменателями
Вспомним основные понятия, упомянутые в предыдущих уроках, которые пригодятся нам сегодня.
Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь – дробное выражение вида , где многочлены. – числитель, – знаменатель.
Основное свойство алгебраической дроби – и числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или число, отличное от нуля.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Привести дроби и к общему знаменателю.
Решение. Т.к. общим знаменателем дроби является , то и приведем эти обе дроби к знаменателю 12. Для этого знаменатель и числитель первой дроби умножим на 2, а первую дробь оставим без изменения.
.
Ответ. и .
Пример 2. Привести дроби и к общему знаменателю.
Решение. — это и будет общий знаменатель дробей. Чтобы его получить, числитель и знаменатель первой дроби умножим на 3, а второй дроби на 2.
; .
Ответ. и .
Как мы видим, в указанных примерах для приведения дробей к общему знаменателю необходимо было их умножить на определенные числа, их удобно называть дополнительные множители.
Определение.Дополнительный множитель – результат деления общего знаменателя на знаменатель соответствующей дроби. В школе обычно учат писать их над числителями соответствующих дробей, отделяя от них своеобразными «палочками» (см. рис. 1), это действительно удобно, и позволяет не забывать, на что следует домножить числитель дроби.
Рис. 1.
Далее мы уже рассмотрим примеры, когда в качестве дополнительных множителей будут выступать и числа, а буквенные выражения.
Приведение к общему знаменателю дробей с буквенными знаменателями
Пример 3. Привести дроби и к общему знаменателю.
Решение. Знаменатель первой дроби делится на знаменатель второй дроби , т.е. уже сам по себе является общим знаменателем для дробей. Следовательно, первую дробь мы оставим без изменений, а для второй дроби дополнительным множителем будет .
.
Ответ. и .
Пример 4. Привести дроби и к общему знаменателю.
Решение. Т.к. у знаменателей дробей нет общих множителей, то для нахождения общего знаменателя их следует просто перемножить. В таком случае дополнительным множителем для первой дроби будет знаменатель второй дроби, аналогично для второй дроби.
; .
Ответ. и .
На данном примере мы вспомнили удобное правило для нахождения общего знаменателя для дробей со знаменателями, не имеющими общих делителей. Это правило, как работало для случая обыкновенных дробей, так же работает для алгебраических и является универсальным для всех случаев нахождения общего знаменателя, даже, если у знаменателей есть общие делители. Просто в таком случае, применяя это правило, мы найдем не наименьший общий делитель, что не так оптимально для решения. Изобразить это правило нахождения общего знаменателя удобно с помощью рисунка 2.
Рис. 2.
Пример. 5. Привести дроби и к общему знаменателю.
Решение. Задача полностью аналогична предыдущей, только в качестве дополнительно множителя для первой дроби выступает уже многочлен , поэтому поступаем таким же образом.
; .
Ответ. и.
Перейдем теперь к примерам, в которых для нахождения общего знаменателя необходимо будет знаменатели дробей раскладывать на множители.
Пример 6. Привести дроби и к общему знаменателю.
Решение. Рассматривая предыдущие примеры, мы могли убедиться в том, что для нахождения общего знаменателя у дробей удобно видеть на какие множители их знаменатели можно разложить. Если процедура разложения не проведена еще в условии задачи, то необходимо ее провести при решении. Это поможет нам находить дополнительные множители для дробей.
В нашем случае видно, что можно разложить на множители (вынести общий множитель) знаменатель второй дроби:
. Мы провели сокращение и уже получили знаменатель такой же, как и у первой дроби. Следовательно, задача уже решена.
Ответ. и .
Как мы видим, для нахождения общего знаменателя полезны простейшие действия, такие как разложение на множители, сокращение и все остальные арифметические действия, кстати, тоже. Т.е. до проведения дополнительных процедур по приведению дробей к общему знаменателю следует их сначала просто упростить, если это возможно.
Приведение к общему знаменателю трех дробей с использованием разложения на множители
Рассмотрим теперь аналогичные примеры, но уже с тремя дробями.
Пример. 7. Привести дроби , и к общему знаменателю.
Решение. У знаменателей каждой из дробей присутствует численный коэффициент, наименьшим общим кратным для чисел 2, 4 и 6 является число 12. Буквенные множители знаменателей, в свою очередь, являются делителями выражения . Следовательно, наименьшим общим знаменателем дробей будет . Дополнительные множители для числителей дробей находим, как и ранее: для первой дроби , для второй , для третьей .
; ; .
Ответ., и .
Пример 8. Привести дроби , и к общему знаменателю.
Решение. Знаменатель первой дроби можно разложить на множители . Мы видим, что он уже содержит в себе знаменатели двух других дробей в виде множителей, следовательно, для первой дроби знаменатель менять не нужно, а для двух других найдем дополнительные множители: вторая дробь , третья дробь .
; .
Ответ. , и .
Пример 9. Привести дроби , и к общему знаменателю.
Решение. Очевидно, что основной частью метода приведения к общему знаменателю здесь будет разложение на множители для дальнейшего поиска дополнительным множителей. Разложим первый знаменатель методом группировки множителей:
.
Второй и третий знаменатели раскладываются с вынесением общего множителя, причем, проделаем это таким образом, чтобы получить в качестве множителей выражения соответствующие множителям первого знаменателя, чтобы проще находить затем дополнительные множители.
; .
Общий знаменатель дробей должен содержать все различные множители, которые мы нашли, т.е. будет равен:
Дополнительные множители: первая дробь , вторая дробь , третья дробь .
; ; .
Ответ. , и .
Пример на вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Основное внимание на уроке мы уделили сложным случаям нахождения общих знаменателей у дробей. В дальнейшем это умение пригодится для проведения простейших операций с дробями, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим один такой пример.
Пример 10. Найдите значение выражения при .
Решение. В подобных примерах подстановка числового значения в исходное выражение не является рациональной, сначала следует проделать все возможные операции в буквенном виде, т.е. упростить выражение, а уже затем подставлять числа. В данном случае необходимо вычесть дроби, они уже с одинаковыми знаменателями, поэтому поступаем, как и в случае обыкновенных дробей.
Сокращение дроби на множитель мы имеем полное право проводить, т.к. значение подставляемой в дальнейшем переменной не входит в область недопустимых значений (см. урок №1). Недопустимым значением переменной в данном случае является: .
Ответ: .
На следующих уроках мы более подробно рассмотрим технику сложения и вычитания алгебраических дробей и убедимся, что она аналогична методам работы с обыкновенными дробями.
Список рекомендованной литературы.
- Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
- Никольский С.М., Потапом М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.
- Интернет портал «ru.onlinemschool.com» (Источник)
- Интернет портал «www.berdov.com» (Источник)
Рекомендованное домашнее задание.
- № 48 (в-и), 202, 203. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
- Привести к общему знаменателю дроби и .
- Привести к общему знаменателю дроби и .
- Привести к общему знаменателю дроби , и .