Какое из следующих свойств дифференциала функции сформулировано неверно

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х.

Основные дифференциалы:

Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

1. Дифференциал постоянной равен нулю:
   dc = 0, с = const.
2. Дифференциал суммы дифференцируемых функцийравен сумме дифференциалов слагаемых:

d(u+v)=du + dv

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

d(u+c) = du (c= const).

1. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:

d(uv) = udv + vdu.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

d(cu) = cdu (с = const).

1. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой

1. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f». Таким образом,

f»(x) = (f’(x))‘.

Если дифференцируема (n — 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n — 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,

f(n)(x) = (f(n-1)(x))‘, n ϵ N, f(0)(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n — 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dnf(x) = d(dn-1f(x)), df(x) = f(x), n ϵ N.

Если x — независимая переменная, то

dx = const и d2x = d3x = … = dnx = 0.

В этом случае справедлива формула

dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.

Производные n-го порядка от основных элементарных функций

Справедливы формулы

Применение производных к исследованию функций.

Основные теоремы дифференцирования функций:

Теорема Ролля

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f’(ξ) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f(b) — f(a) = f’(ξ)(b — a).

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g’(x) ≠ 0 на ]a, b[, то такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g’(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

Дата добавления: 2015-11-23; просмотров: 4585 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Читайте также:

Рекомендуемый контект:

Поиск на сайте:

© 2015-2020 lektsii.org — Контакты — Последнее добавление