Какими свойствами обладают основания призмы
Определение.
Призма — это многогранная объемная фигура, которая состоит из двух одинаковых плоских многоугольников (основ), находящихся в двух параллельных плоскостях, а другие грани (боковые грани) — параллелограммы, что имеют общие стороны с этими многоугольниками.
Определение. Основы призмы — две грани, которые являются равными параллельными плоскими многоугольниками (ABCEF, GMNJK).
Определение. Боковые грани призмы — все остальные грани за исключением основ.
Определение. Боковая поверхность призмы — совокупность всех боковых граней призмы.
Определение. Поверхность призмы — это совокупность поверхностей двух оснований и боковой поверхности.
Определение. Боковое ребро призмы — общая сторона двух боковых граней.
Определение. Высота — это перпендикуляр, который соединяет две основы призмы под прямым углом.
Определение. Диагональ основания призмы — это отрезок, соединяющий две не соседние вершины, принадлежащие этой же основе.
Определение. Диагональ боковой грани призмы — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины, лежащие на одной боковой грани однако принадлежат различным основам.
Определение. Диагональ призмы (AN) — это отрезок, соединяющий две вершины, лежащие на разных основаниях, но не лежат на одной боковой стороне.
Определение. Диагональное сечение — это пересечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания призмы и боковое ребро. Треугольная призма (в основе призмы треугольники) не имеет диагональных сечений.
Определение. Перпендикулярное сечение — это пересечение призмы плоскостью, пересекающей боковые ребра призмы под прямым углом.
Определение. Прямая призма — это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.
Определение. Наклонная призма — это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.
Определение. Правильная призма — это призма, в которой основы являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.
Определение. Усечённая призма — это призма, в которой две основы не параллельны (рис. 2). Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.
Объём призмы
Формула. Объём призмы через площадь основания и высоту:
V = SоснH
Формула. Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра:
V = SпL
Формула.
Объём правильной прямой призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):
Площадь поверхности призмы
Формула. Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту:
Sb = P·h
Формула. Площадь поверхности призмы через площадь основания, периметр основания и высоту:
S = 2Soсн + P·h
Формула.
Площадь поверхности правильной призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):
Основные свойства призмы
Основы призмы — равные многоугольники.
Боковые грани призмы — параллелограммы.
Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
В прямой призме гранями могут быть прямоугольниками или квадратами.
У этого термина существуют и другие значения, см. Призма.
При́зма (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.
Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).
Элементы призмы[править | править код]
| Название | Определение | Обозначения на чертеже | Чертеж |
| Основания | Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. | , | |
| Боковые грани | Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. | , , , , | |
| Боковая поверхность | Объединение боковых граней. | ||
| Полная поверхность | Объединение оснований и боковой поверхности. | ||
| Боковые рёбра | Общие стороны боковых граней. | , , , , | |
| Высота | Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям. | ||
| Диагональ | Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. | ||
| Диагональная плоскость | Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. | ||
| Диагональное сечение | Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. | ||
| Перпендикулярное (ортогональное) сечение | Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру. |
Свойства призмы[править | править код]
- Основания призмы являются равными многоугольниками.
- Боковые грани призмы являются параллелограммами.
- Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
- Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
- Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
(здесь s — длина стороны многоугольника).
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
- Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
- Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.
Виды призм[править | править код]
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1].
Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
Усечённая треугольная призма
Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).
Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.
Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью[2]. Усечённая призма сама призмой не является.
Диаграммы Шлегеля[править | править код]
Симметрия[править | править код]
Группой симметрии прямой n-угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh[en] порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений[en] является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O[en] порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.
Обобщения[править | править код]
Призматические многогранники[править | править код]
Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.
Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.
Возьмём n-мерный многогранник с элементами (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический ()-мерный многогранник будет иметь элементов размерности i (при , ).
По размерностям:
Однородные призматические многогранники[править | править код]
Правильный n-многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, …, t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, …, t}×{}.
По размерностям:
- Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
- Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
- Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
- многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
- Пример: Пятиугольная призма, {5}×{}, два параллельных пятиугольника связаны пятью прямоугольными сторонами.
- 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p, q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p, q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Пример: додекаэдральная призма[en], {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра, соединённых 12 пятиугольными призмами (сторонами).
- …
Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.
Скрученная призма и антипризма[править | править код]
Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол радиан ( градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми[3][4].
Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.
Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.
Связанные многогранники и мозаики[править | править код]
Симметрии[править | править код]
Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3].
| Варианты симметрии *n32 усечённых мозаик: 3.2n.2n | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия *n32 [n,3] | Сферическая | Евклидова[en]* | Компактная гиперболич. | Параком- пактная | Некомпактная гиперболич. | ||||||
| *232 [2,3] | *332 [3,3] | *432 [4,3] | *532 [5,3] | *632 [6,3] | *732 [7,3] | *832 [8,3]… | *∞32 [∞,3] | [12i,3] | [9i,3] | [6i,3] | |
| Усечённые фигуры | |||||||||||
| Конфигурация[en]* | 3.4.4 | 3.6.6 | 3.8.8 | 3.10.10 | 3.12.12[en] | 3.14.14[en] | 3.16.16[en] | 3.∞.∞[en] | 3.24i.24i | 3.18i.18i | 3.12i.12i |
| Разделённые фигуры | |||||||||||
| Конфигурация[en]* | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12[en] | V3.14.14[en] | V3.16.16 | V3.∞.∞ | |||
Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию[en].
Соединение многогранников[править | править код]
Существует 4 однородных соединения треугольных призм:
Соединение четырёх треугольных призм[en], соединение восьми треугольных призм[en], соединение десяти треугольных призм[en], соединение двенадцати треугольных призм[en].
Соты[править | править код]
Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:
- гироудлинённые альтернированные кубические соты[en],
- удлинённые альтернированные кубические соты[en],
- повёрнутые треугольные призматические соты,
- плосконосые квадратные призматические соты[en],
- треугольные призматические соты,
- треугольно-шестиугольные призматические соты,
- усечённые шестиугольные призматические соты,
- ромботришестиугольные призматические соты,
- плосконосые шестиугольные призматические соты,
- удлинённые треугольные призматические соты.
Связанные многогранники[править | править код]
Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников[en]. Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[en] идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121.
| k21[en] в пространстве размерности n | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пространство | Конечное | Евклидово | Гиперболическое | ||||||||
| En[en] | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| Группа Коксетера | E₃=A₂A₁ | E₄=A₄ | E₅=D₅ | E₆ | E₇[en] | E₈ | E₉ = Ẽ₈ = E₈+ | E₁₀ = T₈ = E₈++ | |||
| Диаграмма Коксетера | |||||||||||
| Симметрия[en] | [3−1,2,1] | [30,2,1] | [31,2,1] | [32,2,1] | [33,2,1] | [34,2,1] | [35,2,1] | [36,2,1] | |||
| Порядок | 12 | 120 | 192 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
| Граф | — | — | |||||||||
| Обозначение | −121 | 021 | 121 | 221[en] | 321[en] | 421[en] | 521[en] | 621[en] | |||
Четырёхмерное пространство[править | править код]
Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников[en], включая:
См. также[править | править код]
- Параллелограмм
- Антипризма
- Параллелепипед
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
- Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
- Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.
Ссылки[править | править код]
- Weisstein, Eric W. Prism (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
- Nonconvex Prisms and Antiprisms (недоступная ссылка с 12-03-2018 [861 день])
- Surface Area MATHguide
- Volume MATHguide
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки призм и антипризм
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки, созданные системой Stella[en].
- Stella: Polyhedron Navigator: Программы для создания 3D- и 4D-изображений, приведённых на этой странице.
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Привет!
Сейчас я расскажу тебе ВСЕ о призме. Без воды. Только то, что нужно.
Помни о своей цели! Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так чтобы поступить в ВУЗ мечты!
Это самый лучший материал в инете.
Не веришь?
Посмотри отзывы внизу статьи и ты все поймешь… И, кстати, можешь оставить свои.
Ладно, хватит болтать — к делу!
СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ
Определение призмы
 |
|
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
Виды призм
 |
|
 |
|
|
|
Объем и площадь призмы
Главная формула объема призмы:
,
где — площадь основания,
— высота.
Необычная формула объема призмы:
,
где — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
— длина бокового ребра.
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
А теперь подробнее….
Что такое призма
Давай ответим сперва картинками:
Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми.
Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.
Рисуем ещё раз:
А теперь: рёбра.
Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.
Важно знать, что:
Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
- Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее.
- Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах.
- А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.
Высота призмы
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.
Согласен?
Прямая призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.
| У прямой призмы:
|
У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.
Правильная призма
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.
То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.
Тебе, скорее всего, может встретиться:
1) Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.
2) Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.
3) Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.
Главная формула объема призмы
–площадь основания
– высота
Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то «превращается» в боковое ребро. И тогда
– то же самое, что
Необычная формула объёма призмы
Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .
— площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
— длина бокового ребра.
Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.
Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.
Объем правильной треугольной призмы
Пусть дано, что сторона основания равна , а боковое ребро равно .
Найдём объём:
Вспомним, как находить площадь правильного треугольника
Подставляем в формулу объёма:
.
Объем правильной четырёхугольной призмы
Опять дано: сторона основания равна , боковое ребро равно .
Ну, площадь квадрата долго искать не надо:
Значит, .
Объем правильной шестиугольной призмы
Что же такое ? Как найти?
Смотри: шестиугольник состоит из шести одинаковых правильных треугольников.
Значит:
Ну и теперь .
Площадь поверхности призмы
Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.
Есть ли общая формула?
Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
Формулу можно написать для прямой призмы:
Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.
, где — периметр основания.
.
Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.
Пусть сторона основания равна , а боковое ребро равно .
Все боковые грани – прямоугольники. Значит .
— это уже выводили при подсчёте объёма.
Итак, получаем:
.
ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Определение
|
|
Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.
2. Виды призм:
|
|
|
|
|
|
3. Объем и площадь призмы:
- Главная формула объема призмы:
,
где — площадь основания,
— высота. - Необычная формула объема призмы:
,
где — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
— длина бокового ребра. - Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
.
Теперь я хочу услышать тебя!
Я постаралась сжато, без воды рассказать о том, что такое призма.
Что тебе понравилось? Что не понравилось?
Может быть ты нашел ошибку?
Или знаешь другой хороший материал на эту тему?
Напиши внизу, в комментариях.
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.