Какими свойствами обладают операции над событиями

Литература

1. А.А. Боровков, Курс теории вероятностей, Москва, Наука, 1972.

2. Б.В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, Москва, Наука, 1961.

3. Ю.В. Прохоров, Ю.А. Розанов, Теория вероятностей, Москва, Наука, 1987.

4. В.С. Вентцель, Теория вероятностей, Москва, Высшая школа, 1998.

5. И.Н. Коваленко, А.А. Филиппова. Курс теории вероятностей и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 1982.

6. Коломиец Э.И., Дегтярев А.А. Сборник задач по теории вероятностей, Учебное пособие, 2006

План лекции

1.Случайный эксперимент, случайные события

2. Операции над событиями

3. Статистическое определение вероятности.

4. Классическое определение вероятности. Комбинаторные формулы.

5. Геометрические вероятности.

6. Свойства вероятности.

Т.В. изучает так называемые случайные события и устанавливает закономерности в проявлении таких событий.

Для введения понятия случайного события рассмотрим некоторые примеры реальных экспериментов.

1. Производится бросание монеты, результатом данного эксперимента могут быть два исхода; выпадение герба или решетки.

2. Из колоды 36 карт наудачу выбирают карту. Имеется 36 возможных исходов, которые можно закодировать числами 1,…,36.

3. Ставят на испытание n изделий. Через время Т испытание прекращают и фиксируют, какие изделия вышли из строя. Исходы эксперимента – n-мерные булевы векторы , где , если i-ое изделие вышло из строя и в противном случае.

4. Ставят на испытание n изделий. Испытание во времени не ограничивают; для каждого i измеряют время ti отказа i-го изделия. Исходы эксперимента – n-мерные векторы с неотрицательными компонентами.

5. Производят стрельбу по мишени. Связав с мишенью декартову систему координат, можно отождествить с любым исходом испытания точку (x,y) координатной плоскости.

6. Датчик записывает температурный режим в плавильной печи за время Т плавки. Исходом этого испытания является функция .

Попытаемся найти общие черты приведенных примеров реальных испытаний.

1) В каждом испытании имеется определенное пространство возможных исходов испытания, называемых элементарными исходами.

В примере 1: ,

в примере 2: ,

в примере 3: ,

в примере 4: ,

в примере 5: ,

в примере 6: есть множество непрерывных функций на отрезке [0,T].

2) Исходы испытания не детерминированы.

3) Существует объективная мера возможности различных исходов испытаний.

Множество всех возможных элементарных исходов испытания будем называть пространством элементарных событий.

Введем понятие случайного события А, как подмножества пространства элементарных событий . Событие происходит в каждом испытании и его будем называть достоверным. Событие никогда не происходит и его будем называть невозможным.

Определив события в терминах теории множеств, мы можем ввести для событий обычные операции теории множеств, которые для событий имеют свой смысл:

1. или — пересечение множеств А и В, соответствует случаю когда в опыте происходят события А и В. События А и В называются несовместными, если .

2. или — объединение множеств А и В, соответствует случаю когда в опыте происходит хотя бы одно из событий А, В.

3. — событие, включающее все не входящие в А и только их. Событие называется противоположным к А событием и соответствует случаю, когда в опыте событие А не происходит.

4. или — событие, включающее все , которые принадлежат А и не принадлежат В. Событие называется разностью событий А и В и соответствует случаю, когда в опыте событие А происходит, а событие В — нет. Легко видеть, что .

5. Симметрической разностью событий A и B называется событие .

6. Для событий можно определить также отношение следования: . Это означает, что если в опыте происходит событие А, то обязательно происходит и событие В (событие А влечет событие В).

A+B AB

A–B

Рис. 1. Операции над событиями (результат – заштрихованная область)

Пример.

Рассмотрим опыт с бросанием 2-х игральных костей.

В данном случае пространство элементарных событий соответствует множеству пар чисел (i,j), где i -число очков, выпавших на 1-ой кости, а j – на второй; .

Введем события А – выпадает четная сумма очков, А1 – на каждой грани выпадает четное число очков, А2 – на каждой грани выпадает нечетное число очков.

Легко видеть, что

,

.

События обозначают: выпадает нечетная сумма очков, хотя бы на одной грани выпадает нечетное число очков, хотя бы на одной грани выпадает четное число очков.

Используя формулу , получим

Действительно, рассмотрим первое из вышеприведенных выражений: .

означает, что «хотя бы на одной грани выпадает нечетное число очков» и «выпадает нечетная сумма», что возможно только когда на «на каждой грани выпадает нечетное число очков», то есть .

Основные свойства операций над событиями

1. А+В=В+А, АВ=ВА — коммутативность

2. А+(В+С)=(А+В)+С=А+В+С,

А(ВС)=А(ВС)=АВС — ассоциативность

3. А(В+С)=АС+ВС – дистрибутивность

4. А+А=А, АА=А

5.

6.

7.

Три действия: формирование противоположного события, сложение и умножение событий составляют алгебру событий, а их свойства, перечисленные в табл. 1, — законыалгебры событий. Законы под номером 1 называются коммутативными, 2 – ассоциативными, 3 – дистрибутивными, 10 — законами де Моргана[2].

Для нескольких операндов свойство дистрибутивности умножения относительно сложения и сложения относительно умножения имеет вид

, (9)

(10)

а законы де Морганапредставляются следующими соотношениями

, . (11)

Примечательно, что третий столбец табл. 1 можно получить из второго заменой операции сложения на операцию умножения событий с одновременной заменой достоверного события на невозможное и невозможного события на достоверное. Таким же образом получается второй столбец из третьего. Это свойство законов алгебры событий называется принципом двойственности.

Для количественной оценки возможности осуществления событий используют функцию вероятности. Аргументом этой функции является событие, а ее значение – неотрицательное число. Функция вероятности может быть определена на основе следующих подходов:

1. определение вероятности на основе элементарного понятия равновозмож­ности (классическое определение вероятности);

2. определение вероятности как доли длины, площади, объема и т.д. (геометрическое определение вероятности);

3. аксиоматическое определение вероятности;

4. определение вероятности как частоты появления события при большом количестве испытаний (статистическое определение вероятности).

Перейдем теперь к рассмотрению способов определения вероятности событий.

Контрольные вопросы

1. Что такое событие?

2. Что такое достоверное событие?

3. Что такое невозможное событие?

4. Дайте определение операции сложения двух событий.

5. Дайте определение операции умножения двух событий.

6. Дайте определение операции вычисления разности двух событий.

7. Дайте определение операции образования противополож­но­го события.

8. Какие события называются несовместными, а какие совместными?

9. Что означает утверждение «событие А раскладывается на частные случаи В1, В2, …, Вп »?

10. В каком случае события образуют полную группу событий?

11. Охарактеризуйте множество событий, составляющих поле событий.

2. Вычисление вероятностей

2.1. Классическое определение вероятности событий

1.1. Классическая схема испытаний

Предположим, что в результате испытания происходит только одно из элементарных равновозможныхсобытий . Это означает, что достоверное событие составляет сумма

, (1)

где , если (в одном испытании не может быть двух разных исходов).

События называют также результатами испытаний. Множество элементарных событий обозначим тем же символом , которым обозначалось достоверное событие.

Понятие равновозможности является основополагающим и не выводится из каких-либо других понятий. Вероятность осу­щест­вления каждого из этих элементарных событий считается одинаковой и принимается равной

. (2)

С учетом определения (2) события множества называются также равновероятными. На основе множества элементарных событий образуем поле событий , применяя к элементарным событиям множества операции формирования противоположного события, сложения и произведения событий.

Пусть событие представляется суммой элементарных событий из множества

, (3)

где индексы , т.е. каждое событие является одним из элементарных событий. Элементарные события, составляющие сумму (3), называют результатами испытаний, благоприятст­вую­щими событию . Число таких событий обозначим символом . Тогда вероятность события вычисляется по формуле

. (4)

Пример (на классическое вычисление вероятности).

Определить вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости.

При бросании игральной кости, возможны 6 (n=6) равновероятных исходов: , где индекс символа испытания указывает выпавшее число. Событие выпадения четного числа очков представляется суммой трех элементарных событий (m=3)

.

Таким образом .

1.2. Свойства функции вероятности, определенной по классической схеме

Вероятность, определенная по формуле (1.1.4) обладает следующими свойствами.

1. Для каждого события поля

. (1)

2. Для достоверного события

. (2)

3. Если событие подразделяется на частные случаи и (т.е. ), то

. (3)

Первые два свойства очевидны. Докажем третье.

Доказательство

Пусть — число элементарных событий, благоприят­ству­ющих событию , — число элементарных событий, благоприятствующих событию , — число всех элементарных событий.

Поскольку события и несовместны, то не существует событий одновременно благоприятствующих и , и . Это значит, что число событий, благоприятствующих или или равно , т.е.

, n

Свойство (3) иногда формулируется как теорема сложения вероятностей.

4. Вероятность события , противоположного , равна

. (4)

Доказательство

Так как

и ,

то

.

Следовательно,

. n

5. Вероятность невозможного события равна 0, т.е.

. (5)

Доказательство

Так, как

и ,

то

.

Следовательно,

. n

6. Если событие влечет за собой событие , т.е.

, то . (6)

Доказательство

Пусть — число элементарных событий, благоприят­ствую­щих событию , а — число элементарных событий, бла­го­приятст­вующих событию . В число входят события, составляющие число , но возможно еще какие-либо. Поэтому . Следовательно, или [3]. n

7. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей

. (7)

Доказательство

Так, как , то . n

Заменяя в последнем соотношении и на 0 и 1 соответственно (см. формулы (5) и (2)), получим соотношение (7).n

При решении задач, связанных с вычислением класси­ческой вероятности, бывает необходимым исполь­зование поня­тий и формул комбинаторики. Перейдем к рассмотрению основ­ных понятий комбинаторики: перестановка, сочетание и размещение.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит классический способ вычисления вероятности событий?

2. Чему равна вероятность невозможного события?

3. Чему равна вероятность достоверного события?

4. Как выразить вероятность суммы двух несовместных со­бытий, используя вероятности каждого из них в отдельнос­ти?

5. Как связаны вероятности двух взаимно противополож­ных событий?

2. Элементы комбинаторики

2.1. Перестановки

Пусть рассматривается n различных символов. Их запись, например, через запятую называется перестановкой. Каждому символу в перестановке можно сопоставить его порядковый номер в ней, начиная с первого. Две перестановки из одного и того же числа одинаковых символов называются одинаковыми, если каждый из n символов занимает положение в перестановке с одним и тем же номером (одно и то же место). В противном случае, перестановки считаются различными.

Какое число различных перестановок можно получить, изменяя места расположения символов? Для ответа на этот вопрос приведем следующие рассуждения. Имея различных символов можно на первое место поставить по очереди каждый из них в отдельности. В этом случае образуется различных групп перестановок. Каждая такая группа перестановок имеет одну и ту же черту — одинаковый символ, стоящий на первом месте. После фиксации положения одного символа на первом месте на второе место можно поставить любой из оставшихся символов, что составляет возможность. Последова­тельность этих рассуждений можно продолжить до тех пор, пока не будут зафиксированы символов, и последний оставшийся можно будет расположить только единственным способом на месте с номером . Таким образом, общее число возможных перестановок n различных символов составляет

. (1)

Пример. Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг?

Решение. Существует различных спосо­бов расстановки 10 книг на полке.

Контрольные вопросы

1. Что такое перестановка из различных элементов?

2. Какие две перестановки считаются различными?

3. Как вычислить максимальное число различных перес­тановок из различных элементов?

2.2. Сочетания

Рассмотрим те же различных символов (элементов[4]). Однако сейчас их взаимное расположение не является существенным. Т.е. эти символы рассматриваются как элементы множества. Пусть из множества, состоящего из символов, требуется сформи­ровать подмножества из меньшего числа тех же символов. Каждое из таких подмножеств называется сочетаниемиз элементов по и их количество обозначается как . Сколько различных таких подмножеств можно составить? Два сочетания считаются различными, если они состоят или из разного количества элементов или если в состав одного из них входит хотя бы один элемент, отсутствующий во втором.

Теорема

. (1)

Доказательство

Применим метод математической индукции. Число сочетаний из элементов по , очевидно, равно , т.е. . Непосредственной подстанов­кой можно проверить, что в этом случае формула (1) выполняется. Предположим, что формула (1) выполняется вплоть до некоторого значения . Покажем ее справедливость при . Рассмотрим произволь­ное сочетание из множества . Его можно дополнить до со­че­та­ния из элементов по всего способами. Эту операцию можно осуществить со всеми сочетаниями из числа . Таким образом можно получить сочетания из элементов по элементу в каждом способами. Среди этих сочетаний, состоящих из элементов, будут встречаться одинаковые. В силу симметрии число одинаковых сочетаний для каждого типа сочетаний будет одним и тем же. Подсчитаем число повторяющихся сочетаний. Для сочетания определенного типа выберем мысленно одно из вновь образованных сочетаний с элементами. Сочетания с элементами, на основе которых будут получены такие же новые сочетания с элементами, могут быть получены поочередным выкидываем одного элемента. Легко сообразить, что их число составит . Таким образом, число различных сочетаний из элементов по составит

. n

Пример 1. (на методику формирования поля событий ).

Пусть группа равновероятных исходов испытаний состоит из трех событий . Поле событий состоит из следующих восьми элементов: , , , , , . Подсчет количества элементов поля событий осуществляется по формуле

.

Заменяя первые два слагаемых последнего равенства сочетаниями, получаем

,

где и .

Очевидно, что для слу­чая событий поле событий включает в себя элемен­тов, так как справедливо следующее равенство

(2)

Пример 2. Среди 100 фотографий есть одна разыскиваемого преступника. Наудачу выбирают 10 фотографий. Какое количество сочетаний по 10 фотографий, содержащих фотографию разыскиваемого преступника, существует?

Решение. Если убрать одну фотографию преступника, то останется 99 фотографий. Составим всевозможные сочетания из 99 фотографий по 9 в каждом и добавим к каждому сочетанию фотографию преступника. В результате получим искомое множество. Таким образом, всего существует сочетаний.

Контрольные вопросы

1. Что такое сочетание из п различных элементов, содержащее элементов?

2. Какие два сочетания считаются различными?

3. Как определить максимальное число различных сочетаний из п различных элементов по т элементов в каждом?

4. Как определяется символ 0!?

2.3. Размещения

Определение. Любой упорядоченный набор различных элементов, взятых из множества, состоящего из элементов, называется размещением.

Для каждого из сочетаний существует различных размещений. Следовательно, число размещений из элементов по составляет

. (1)

Пример. В соревновании участвуют 8 команд. Какое количество различных способов распределения первых трех мест существует?

Решение. .

Контрольные вопросы

1. Что такое размещение из различных элементов, содержащее элементов?

2. Какие два размещения считаются различными?

3. Как вычислить максимальное число различных раз­ме­щений из различных элементов по элементов в каждом?

2.4. Формула Стирлинга

Для приближенного вычисления факториала в случае больших значений аргумента используется формула Стирлинга[5][10]

. (1)

2.5. Формула бинома Ньютона

Примечательно, что числа сочетаний из элементов по являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона[9]

. (1)

При этом так как , то

. (2)

§ 3. Геометрическое определение вероятности событий

Во многих случаях применение классического способа вычисления вероятности оказывается невозможным по причине бесконечного числа возможных исходов испытаний. Например, пусть в результате испытания внутри круга радиусом размещается точка (см. рис. 1). Предположим, что вероятность попадания точки в область Ц, составляющую часть круга, не зависит от формы и положения этой области, а зависит только от ее площади. Тогда естественно определить вероятность попадания точки в область Ц как

, (1)

где — площадь области Ц.

Рис. 1. Геометрический способ вычисления вероятности

Аналогичная ситуация возникает в задаче о встрече. Два человека договорились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Человек, пришедший первым, ждет другого 20 минут и уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного часа происходит случайно и моменты прихода независимы.

Решение

Пусть — время прихода лица , — время прихода лица . Встреча состоится, если

. (2)

Представим задачу графически в Декартовой системе координат, в которой по оси Х отложим время х прихода лица А, а по оси Y – время y прихода лица В (рис. 2).

Приход лиц и в назначенное место встречи описывается случайной точкой в квадрате на указанной плоскости со стороной 60 мин. Событие «встреча» соответствует попаданию точки в область, определяемую неравенством (2). Более подробно это неравенство можно записать в виде:

если , то

или

если , то .

Эта область на рисунке заштрихована.

Рис. 2. Геометрический способ вычисления вероятности в задаче о встрече

Вероятность встречи можно вычислить как отношение площади заштрихованной области к площади квадрата, т.е.

.

Приведенные примеры можно использовать при решении задач, в которых целесообразно применение геометрического способа вычисления вероятности.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит геометрический способ выч?