Какими свойствами обладают операции над множествами

План лекции:

1) Пересечение множеств.

2) Объединение множеств.

3) Разность множеств.

4) Симметрическая разность.

5) Дополнение множеств.

6) Декартово (прямое) произведение двух множеств.

1. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Пересечение множеств А и В обозначают: А Ç В.

А Ç В = {х| хÎА и хÎВ}

Если представить множества А и Впри помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 1).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут: А Ç В = Æ.

А Ç Æ = Æ.

Если ВÌ А, то А Ç В = В.

Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением.

Пример.

1) А ={1, 2, 3, 4, 5}; В = {4, 5, 6, 7}

А Ç В = {4, 5}

2) Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.

3) Пересечением множества чётных чисел и множества нечётных чисел пусто.

2. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Объединение множеств А и В обозначают: А È В.

А È В = {х| хÎА или хÎВ}

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 2).

Если ВÌ А, то А È В = А.

А È Æ = А.

Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется также объединением.

Пример.

1) А = {1, 2, 3, 4, 5}; В = {4, 5, 6, 7}

А È В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

2) Объединение множества положительных чётных чисел и множества положительных нечётных чисел является множество натуральных чисел.

Если в выражении есть Ç и È множеств, но нет скобок, то сначала выполняют Ç.

Операции пересечения и объединения множеств обладают свойствами:

1° Коммутативность пересечения

«А, В А Ç В = В Ç А

2° Коммутативность объединения

«А, В А È В = В È А

3º Ассоциативность пересечения

«А, В, С (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С)

4º Ассоциативность объединения

«А, В, С (А È В) È С = А È (В È С)

5º Пересечение дистрибутивно относительно объединения

«А, В, С А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)

6º Объединение дистрибутивно относительно пересечения

«А, В, С А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)

7º «А А Ç А = А

8º «А А È А = А

Доказательство:

Справедливость каждого из этих утверждений можно проверить, показав, что множество, стоящее по одну сторону от знака равенства, включено в множество, стоящее по другую сторону от этого знака.

Например, докажем свойство 6º.

а) Докажем, что А È (В Ç С) Ì (А È В) Ç (А È С).

Пусть х Î А È (В Ç С). Тогда х Î А или х Î (В Ç С).

Если х Î А, то х Î А È В и х Î А È С, а, следовательно, х Î (А È В) Ç (А È С).

Если х Î (В Ç С), то х Î В и х Î С. Следовательно, х Î А È В и х Î А È С, т.е. и в этом случае х Î (А È В) Ç (А È С).

б) Докажем, что (А È В) Ç (А È С) Ì А È (В Ç С).

Пусть х Î (А È В) Ç (А È С). Тогда х Î А È В и х Î А È С.

То есть, (х Î А или х Î В) и (х Î А или х Î С).

Значит, х Î А или (х Î В и х Î С), т.е. х Î А È (В Ç С).

Проиллюстрируем свойство 6º на диаграммах Эйлера–Венна.

3. Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Обозначают А В; А – В.

А В = { х| хÎА и хÏВ }

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 3).

Операция, при помощи которой находят разность множеств, называется вычитанием.

Пример.

1) А = {1, 2, 3, 4, 5}; В = {4, 5, 6, 7}

А В = {1, 2, 3}

2) Разностью множества чётных чисел и множества целых чисел является пустое множество.

4. Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих только множеству А или только множеству В.

Симметрическую разность множеств А и В обозначают: А х В; А – В.

А х В = { х| хÎА, хÏВ или хÏА, хÎВ}

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то симметрическая разность данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 4).

А х В = (А В) È (В А)

А х В = (А È В) (А Ç В)

5. Универсальным множеством U (основным множеством) называется множество, для которого все множества, рассматриваемые в данный момент, являются подмножествами.

Универсальное множество часто изображают прямоугольником.

Например, для N универсальным считается множество Z.

Дополнением множества А называется разность между универсальным множеством и множеством А.

Дополнение множества А обозначают .

= U A = {хÏА}

При помощи кругов Эйлера дополнение изображается рис. 5.

È А = U = Æ

Ç А = Æ = U

Пример.

1) А = {2k}; U = Z ® = Z A = {2k+1}.

Операции разности и дополнения множеств обладают свойствами:

9º Разность антидистрибутивна относительно пересечения. «А, В, С

А (В Ç С) = (А B) È (A C)

10º Разность антидистрибутивна относительно объединения. «А, В, С

А (В È С) = (А B) Ç (A C)

11º (частный сл. 9º) Дополнение пересечения А и В равно объединению дополнений А и В.

12º (частный сл. 10º) Дополнение объединения А и В равно пересечению дополнений А и В.

Докажем св. 9º и проиллюстрируем его на диаграммах Эйлера–Венна.

а) Докажем, что А (В Ç С) Ì (А B) È (A C).

Пусть х Î А (В Ç С).

Тогда х Î А и х Ï (В Ç С), т.е. или х Ï В, или х Ï С.

Значит, или (х Î А и х Ï В), или (х Î А и х Ï С), т.е. х Î А B или хÎА С.

Т.е. х Î(А B) È (A C).

б) Докажем, что (А B) È (A C) Ì А (В Ç С).

Пусть х Î (А B) È (A C).

Тогда х Î (А B) или х Î (A C), т.е. (х Î А и х Ï В) или (х Î А и х Ï С)

Значит, х Î А и (х Ï В и х Ï С), т.е. х Î А (В Ç С).

Дом. задание. Доказать и проиллюстрировать на диаграммах Эйлера–Венна свойства 1 – 5, 7 – 12.

Задание. Найти пересечение, объединение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если А = {хÎR ½–1£ х < 4}, B = { хÎR ½ 2 < x £ 6}

А Ç В = {хÎR ½2 < x < 4},

А È В = {хÎR ½–1 £ x £ 6},

А B = {хÎR ½–1 £ x £ 2},

В А = {хÎR ½4 £ x £ 6},

А ? В = {хÎR ½–1 £ x < 2, 4 < x £ 6}.

Основные понятия теории множеств

Понятие множества является фундаментальным понятием современной математики. Мы будем считать его первоначальным и теорию множеств строить интуитивно. Дадим описание этого первоначального понятия.

Множество – это совокупность объектов (предметов или понятий), которая мыслится как единое целое. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.

Можно говорить о множестве студентов первого курса математического факультета, о множестве рыб в океане и т.д. Математика обычно интересуется множеством математических объектов: множество рациональных чисел, множество прямоугольников и т.д.

Множества будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а его элементы малыми.

Если – элемент множества M, то говорят « принадлежит M» и пишут: . Если некоторый объект не является элементом множества , то говорят « не принадлежит M» и пишут (иногда ).

Существует два основных способа задания множеств: перечисление его элементов и указание характеристического свойства его элементов. Первый из этих способов применяется, в основном, для конечных множеств. При перечислении элементов рассматриваемого множества его элементы обрамляются фигурными скобками. Например, обозначает множество, элементами которого являются числа 2, 4 , 7 и только они. Этот способ применим не всегда, так как, например, множество всех действительных чисел таким образом задать невозможно.

Характеристическое свойство элементов множества M – это такое свойство, что всякий элемент, обладающий этим свойством, принадлежит M, а всякий элемент, не обладающий этим свойством, не принадлежит M. Множество элементов, обладающих свойством , обозначается так:

или .

Наиболее часто встречающиеся множества имеют свои особые обозначения. В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений:

N = – множество всех натуральных чисел;

Z = – множество всех целых чисел;

– множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных (вещественных) чисел, т.е. рациональных чисел (бесконечных десятичных периодических дробей) и иррациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей);

– множество всех комплексных чисел.

Приведем более специальные примеры задания множеств с помощью указания характеристического свойства.

Пример 1. Множество всех натуральных делителей числа 48 можно записать так: (запись используется только для целых чисел , и означает, что делится на ).

Пример 2. Множество всех положительных рациональных чисел, меньших 7, записывается следующим образом: .

Пример 3. – интервал действительных чисел с концами 1 и 5; – отрезок действительных чисел с концами 2 и 7.

Слово «множество» наводит на мысль, что оно содержит много элементов. Но это не всегда так. В математике могут рассматриваться множества, содержащие только один элемент. Например, множество целых корней уравнения . Более того, удобно говорить о множестве, не содержащем ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается через Ø. Например, пустым является множество действительных корней уравнения .

Определение 1. Множества и называются равными (обозначается А=В), если эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Определение 2. Если каждый элемент множества принадлежит множеству , то называют подмножеством множества .

Обозначения: (« включается в »); (« включает »).

Ясно, что Ø и само множество являются подмножествами множества . Всякое другое подмножество множества называется его правильной частью. Если и , то говорят, что « А – собственное подмножество »или что «А строго включается в » и пишут .

Очевидно следующее утверждение: множества и равны тогда и только тогда, когда и .

На этом утверждении основан универсальный метод доказательства равенства двух множеств: чтобы доказать, что множества и равны, достаточно показать, что является подмножеством множества , а является подмножеством множества .

Это наиболее употребительный способ, хотя и не единственный. Позже, познакомившись с операциями над множествами и их свойствами, мы укажем другой способ доказательства равенства двух множеств – с помощью преобразований.

В заключение заметим, что часто в той или иной математической теории имеют дело с подмножествами одного и того же множества U, которое называют универсальным в этой теории. Например, в школьной алгебре и математическом анализе универсальным является множество Rдействительных чисел, в геометрии – множество точек пространства.

Операции над множествами и их свойства

Над множествами можно выполнять действия (операции), напоминающие сложение, умножение и вычитание.

Определение 1. Объединением множеств и называется множество, обозначаемое через , каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств или .

Сама операция , в результате которой получается такое множество, называется объединением.

Краткая запись определения 1:

.

Определение 2. Пересечением множеств и называется множество, обозначаемое через , содержащее все те и только те элементы, каждый из которых принадлежит и , и .

Сама операция , в результате которой получается множество , называется пересечением.

Краткая запись определения 2:

Например, если , , то , .

Множества можно изображать в виде геометрических фигур, что позволяет наглядно иллюстрировать операции над множествами. Такой метод был предложен Леонардом Эйлером (1707–1783) для анализа логических рассуждений, широко применялся и получил дальнейшее развитие в трудах английского математика Джона Венна (1834–1923). Поэтому такие рисунки называют диаграммами Эйлера-Венна.

Операции объединения и пересечения множеств можно проиллюстрировать диаграммами Эйлера–Венна следующим образом:

– заштрихованная часть; – заштрихованная часть.

Рис. 1.

Можно определить объединение и пересечение любой совокупности множеств , где – некоторое множество индексов.

Определение . Объединением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств .

Определение . Пересечением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит любому из множеств .

В случае, когда множество индексов конечно, например, , то для обозначения объединения и пересечения совокупности множеств в этом случае обычно пользуются обозначениями:

и .

Например, если , , , то , .

С понятиями объединения и пересечения множеств неоднократно встречаются в школьном курсе математики.

Пример 1.Множество М решений системы неравенств

является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы: .

Пример 2.Множество М решений системы

является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы. Множество решений первого уравнения – множество точек прямой , т.е. . Множество . Множество состоит из одного элемента – точки пересечения прямых.

Пример 3.Множество решений уравнения

,

где , является объединением множеств решений каждого из уравнений , , т.е.

.

Определение 3. Разностью множеств и называется множество, обозначаемое через , и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат , но не принадлежат .

Определение 4. Если U – универсальное множество и U, то разность U называется дополнением множества М (до U) и обозначается через , , , или .

Краткие записи определений 3 и 4:

, = .

Операции разности и дополнения множеств можно проиллюстрировать диаграммами Эйлера-Венна:

– заштрихованная часть;

– заштрихованная часть.

Рис. 2.

Пример 4.Если , , то , .

Определение 5. Объединение множеств и называется симметрической разностью множеств , и обозначается через , т.е.

.

Понятно, что .

Следующий пример иллюстрирует симметрическую разность множеств и показывают, что операция разности множеств не обладает свойством коммутативности (переместительности), и демонстрируют некоторые возможные частные случаи для разности множеств A и B .

Пример 5.

а) б)

– заштрихованная часть; ; – заштрихованная часть.

в)

; .

Рис. 3.

Обозначим через B(U) множество всех подмножеств универсального множества U с операциями объединения, пересечения и дополнения. Полученную математическую структуру называют алгеброй множествилиалгеброй Булямножеств(вчесть ирландского математика и логика Джорджа Буля (1816–1864)). Через будем обозначать множество всех подмножеств произвольного множества и называть его булеаном множества .

Перечисленные ниже равенства справедливы для любых подмножеств A, B, C универсального множества U.Поэтому их и называют законами алгебры множеств.

Рассмотренные операции над множествами позволяют из одних множеств получать другие множества. Эти операции обладают рядом свойств, знание которых зачастую существенно упрощает анализ новых полученных множеств.

Приведем основные свойства операций. Пусть заданы множества A, B и C некоторого универсального множества U. Тогда для этих множеств верны тождества:

1. = , = – коммутативность;

2. – ассоциативность;

3. – дистрибутивность;

4. ,

5.

6.

7. – идемпотентность;

8. – законы де Моргана;

9. – законы поглощения;

10.

11.

12.

13.

Доказательство каждого из приведенных тождеств основано на использовании свойства симметричности отношения включения. Напомним это свойство: А = В, если и .

Доказывая тождество, сначала выбирают любой элемент х, принадлежащий левой части этого тождества. Выполняя преобразования над множествами в соответствии с приведенными операциями, пытаются доказать, что этот элемент принадлежит множеству из правой части этого тождества. Если это удается доказать, то, поскольку выбран произвольный элемент, это будет верно для любого другого элемента. Поэтому делается вывод, что множество из левой части тождества содержится во множестве из правой части.

Если аналогичные рассуждения для правой части тождества приводят к заключению, что правая часть содержится в левой, то тождество доказано.

Докажем тождество 3. Пусть Тогда на основании операции дизъюнкции или а на основании операции конъюнкции и Отсюда ясно, что если то и Отсюда следует Таким образом,

Далее, пусть Тогда и Отсюда следует, что а так как то получаем, что таким образом, и тождество доказано.

Приведем доказательство тождества, содержащего операцию отрицания. Для этого выберем тождество 8 и докажем его.

Пусть Тогда (U – универсальное множество) и Следовательно и поэтому очевидно, что и откуда следует, что Таким образом,

Пусть теперь Отсюда следует и следовательно и а поэтому но тогда Таким образом, и тождество доказано.

Остальные тождества доказываются аналогично. Остается заметить, что справедливость всех этих тождеств можно наглядно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Отношения на множествах

Многие объекты (предметы) окружающей нас действительности находятся в определенной взаимосвязи. В математике эту взаимосвязь выражают термином «отношение». В предложениях естественного языка отношения выражаются самыми различными словосочетаниями, но чаще всего они выступают в форме сказуемого (предиката). Так, например, отношение родства между людьми выражаются в форме: «Алексей – брат Татьяны», «Татьяна – сестра Алексея», «Наталья – мать Алексея и Татьяны».

Отношение «быть братом» (аналогично, как и «быть сестрой») будет полностью определено, если мы составим список всех пар людей таких, что один из них брат второго. Предположим, что Татьяна, Александр и Михаил – дети одних и тех же родителей. Тогда на этом множестве из трех людей отношение «быть братом» выполнено для следующих пар:

«Александр – брат Татьяны»;

«Александр – брат Михаила»;

«Михаил – брат Татьяны»;

«Михаил – брат Александра».

В первом и третьем предложениях объекты (точнее – субъекты) нельзя поменять местами. Это означает, что отношение «быть братом», в общем случае не симметрично. Оно всегда и нерефлексивно, т.е. отношение «Александр – брат Александра» не выполняется (не имеет смысла).

В этом примере отношения рассматривались между объектами одного и того же множества – детьми одних и тех же родителей.

Отношения можно устанавливать и между объектами разных множеств. Так, если М1 – множество студентов некоторого вуза, а М2 – множество преподавателей того же вуза, то можно установить отношение «х –студент y», где х – один из студентов (элемент множества М1), а y – один из преподавателей (элемент множества М2). Ясно, что для одного и того же студента х это отношение может выполняться при разных y. И, наоборот, один и тот же преподаватель y имеет разных студентов x.

Отношение может быть определено не только для пар объектов (бинарные отношения), но и для троек, четверок и т.д. объектов. Например, отношение «входить в состав волейбольной команды» выполняется для множества из шести человек.

В математике отношения выражаются сказуемыми: …меньше, чем…, …больше, чем…, …равно…, …конгруэнтно…, …делится на… и многими другими. Хороший пример трехместных (тернарных) отношений представляют алгебраические операции. Например, отношение «образовывать сумму» применимо для троек чисел и выполняется в том случае, когда Пропорциональность чисел

есть отношение, выполненное для четверок чисел .

Наиболее часто отношения рассматриваются на парах объектов, т.е. бинарные отношения. Причем эти пары объектов являются упорядоченными (пример отношения «быть братом»). Для формализации отношений между объектами удобным (подходящим) математическим аппаратом является теория множеств.

Важным понятием при формальном рассмотрении отношений является понятие упорядоченной пары. Упорядоченные множества часто называют кортежами, а упорядоченная пара – это кортеж, состоящий из двух элементов. В обычных множествах порядок расположения элементов значения не имеет, а в кортежах – имеет. Элементы кортежа заключают в уголковые скобки. Так кортеж, состоящий из элементов х и y, будет записан так – Причем

Пусть даны множества A и B. Рассмотрим множество всех упорядоченных пар элементов (кортежей) вида , где , Множество таких пар принято обозначать и называют декартовым произведением. Это множество образовано всеми упорядоченными парами, первые элементы которых принадлежат множеству А, а вторые – множеству B. Если то Если же то

Например, для множеств А = {1, 2} и B = {3, 4, 5} декартово произведение

Используя понятие декартова произведения, можно дать математически строгое определение понятия отношения.

Отношением Ф на множестве М называют подмножество множества Содержательный смысл такого определения состоит в том, что выбор подмножества Ф во множестве определяет, какие упорядоченные пары находятся в отношении Ф. При этом используют следующие обозначения. Если упорядоченная пара входит в Ф, т.е. то пишут что читается: «х находится в отношении Ф с у».

Следует отметить, что отношение – это не любое множество соответствующих пар, а подмножество множества пар при фиксированном М. Говоря формально, отношением называется упорядоченная пара где Таким образом, отношение – это пара где М – множество, на котором определено отношение (область определения отношения), а Ф – множество пар, для которых это отношение выполняется (область значений отношения). Множество М называют также областью задания отношения Ф, а множество пар Ф называется графиком отношения Как видим, определение графика в теории множеств есть именно то, к чему мы давно привыкли.

Приведенные выше записи отношений и требуют комментария. Привычные нам обозначения знаков математических отношений, такие как <, ≤, >, ≥ и др., исходят не от обозначения , а от в котором Ф заменено на соответствующий знак =, <, ≤ или ≥, ≠. В связи с этим могут возникнуть определенные недоразумения: с одной стороны Ф – это множество, но в записи отношения в конкретном случае символ Ф мы заменяем на соответствующий математический знак отношения =, <, ≤ и т.д., которые не представляют множество. Поэтому нужно иметь ввиду, что отношение , в котором Ф заменено на соответствующий математический знак, должно выполняться на всем множестве Ф.

Рассмотрим примеры. Пусть А = В = {0, 1, 2, 3, 4}. Декартово произведение этих множеств можно представить в виде квадратной матрицы, каждый элемент которой будет состоять из двух цифр. Первая цифра берется из множества А, вторая – из множества В.

. (1)

Исходя из (1), отношение равенства для элементов (цифр) множеств А и В будет определяться диагональной матрицей, являющейся частью . Каждый элемент диагональной матрицы будет содержать две одинаковые цифры. Обозначим ее символом е(от equality – равенство)

е= . (2)

Отношение порядка а ≤ в будет представлять треугольную матрицу (обозначим ее о, order – порядок), также являющуюся частью

о= (3)

Отношение строгого порядка а < в представляет треугольную матрицу (обозначим ее символом s), являющуюся частью , имеет вид

s= (4)

Приведенные примеры наглядно показывают, что когда речь идет о каком-либо отношении, то его необходимо рассматривать на всей области определения, на которой рассматриваемое отношение выполнимо.

Рассматривая в начале данного подраздела вербально выраженные отношения родства, например «Александр – брат Татьяны», мы отметили, что оно не симметрично, т.е. нельзя поменять местами Александра и Татьяну. В то же время отношение «Михаил – брат Александра» – симметрично. Это наталкивает на мысль, что для каждого отношения может существовать или не существовать обратное отношение.

Формально обратным отношением для Ф называется отношение Ф-1, записываемое в виде

ǀ .

Иначе говоря, обратное отношение Ф-1 образовано всеми теми упорядоченными парами (кортежами) , для которых существует кортеж выполнимый на множестве Ф. Так, например, обратным отношением е- 1для отношения равенства е, определяемого матрицей (2) с областью определения (1), является оно само, т.е. е- 1= е.

Обратным отношением порядка о-1для отношения о (т.е. а ≤ в), заданного матрицей (3), является отношение вида в ≤ а

о-1= .

Обратным отношением строгого порядка s-1для отношения s(т.е.вида а < в), заданного матрицей (4),является отношение вида в < а

s-1= .

Операции над отношениями

Над отношениями, так же как и над множествами, можно выполнять определенные операции. Однако специфика отношений позволяет выполнять операции над ними только на одной и той же области их определения. Поскольку отношения, в конечном итоге представляют собой множества, то на них переносятся основные операции над множествами: объединения, пересечения, разности и инверсии. Кроме того вводятся две новые операции: композиции и сужения.

Объединением отношений и на множестве А называется отношение

Например, для отношений и , где A = {1, 2, 3} их объединением будет отношение

= .

Пересечением отношений и на множестве А называется отношение

Пересечением отношений из предыдущего примера будет отношение

Разностью отношений и на множестве А является отношение

Разность отношений и из предыдущего примера будет иметь вид

Инверсией отношения называется новое отношение , в котором элементы множества значений (графика) Ф-1 являются инверсиями элементов графика Ф.

Например, для отношения инверсией будет отношение

Операция композиции может рассматриваться в тех случаях, когда заданы три множества А, В, и С. Тогда композицией отношений и называется новое отношение в котором каждый элемент (кортеж) графика получается по правилу

(5)

Здесь для обозначения операции композиции используется символ « » (кружок), а для всех кортежей, входящих в правило (5), должны выполняться условия: и .

В частных случаях возможно , тогда должно выполняться условие

Рассмотрим пример выполнения операции композиции для отношения строгого порядка, определяемого треугольно матрицей (4). Для удобства выполнения операции композиции все элементы отношения строгого порядка, задаваемые матрицей (4), запишем в одну строку

Тогда, пользуясь правилом (5), получим

Напомним, что при получении композиции элементы, встречающиеся многократно, входят в композицию, являющуюся множеством, только один раз.

Рассмотрим другой пример построения композиции отношения, но не с самим собой. Пусть Тогда

Рассматриваемые до сих пор операции над отношениями выполнялись на одной и той же области определения. Но возможны случаи отношений с разными областями определения. Для таких случаев вводится операция, меняющая область определения. Она называется операцией сужения отношения и формулируется следующим образом. Пусть задано отношение на множестве А, и имеется другое множество Тогда операция сужения отношения на множество В определяет новое отношение

Например, пусть = и Тогда

Основные свойства отношений

Таких свойства три: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

Отношение называется рефлексивным, если для любого элемента выполняется .

Отношение называется симметричным, если для любых выполняются отношения и .

Отношение называется транзитивным, если для любых из и следует

Хорошими пояснениями приведенных свойств отношений являются следующие вербальные типы отношений. Так содержательный смысл рефлексивности поясняет отношение знакомства: каждый знаком с самим собой. Содержание симметричности поясняет отношение родства: если а родственник в, то и в родственник а. Содержательный смысл транзитивности поясняет отношение связи: если город а связан железной дорогой с городом в, который связан железной дорогой с городом с, то город а связан железной дорогой с городом с.

Кроме основных свойств отношений имеют место и некоторые другие, например, с добавкой частицы «анти». Среди них следует выделить свойство антисимметричности.

Отношение Ф называется антисимметричным, если оба отношения и выполняется только тогда, когда х = у.

В качестве иллюстрации этого свойства рассмотрим такой пример. Пусть отношение Ф задано на множестве R действительных чисел, и Ф есть отношение «≤». Тогда отношение Ф рефлексивно, так как для любых Это отношение не симметрично, так как, например 2 ≤ 3, но 3 ≤ 2 не верно. Отношение транзитивно, так как очевидно, что если х ≤ у, у ≤ z, то x ≤ z. Отношение антисимметрично, так как х ≤ у и у ≤ х только при х = у.