Какими свойствами обладают линейные уравнения с одной переменной
В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.
Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.
Что такое линейное уравнение
Определение 1
Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа.
Такая формулировка использована в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н.Макарычева.
Пример 1
Примерами линейных уравнений будут:
3·x=11(уравнение с одной переменной x при а=5 и b=10);
−3,1·y=0 (линейное уравнение с переменной y, где а=-3,1 и b=0);
x=−4 и −x=5,37(линейные уравнения, где число aзаписано в явном виде и равно 1 и -1 соответственно. Для первого уравнения b=-4; для второго — b=5,37) и т.п.
В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a·x=bпри помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5·x=2·x+6 – также линейное.
А вот учебник алгебры (7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:
Определение 2
Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0, где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.
Пример 2
Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:
3·x−7=0 (a=3, b= −7);
1,8·y+7,9=0 (a=1,8, b=7,9).
Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a·x=b, например, 6·x=35.
Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a·x+b=0, где x – переменная; a, b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a·x+b=0, определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.
При таком подходе уравнение 5·x+8=0 – линейное, а 5·x=−8 — уравнение, сводящееся к линейному.
Принцип решения линейных уравнений
Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.
Определение 3
Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b. Запишем эти условия:
- при a≠0линейное уравнение имеет единственный корень x=-ba;
- при a=0 и b≠0линейное уравнение не имеет корней;
- при a=0 и b=0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.
Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:
- перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
- умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
Таким образом, преобразуем линейное уравнение a·x+b=0, перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a·x=−b.
Далее мы разделим обе части равенства на число а, при этом условившись, что это число отлично от нуля, иначе деление станет невозможным. Случай, когда а=0, рассмотрим позже.
Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x=-ba. Т.е., когда a≠0, исходное уравнение a·x+b=0равносильно равенству x=-ba, в котором очевиден корень -ba.
Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня -ba как x1. Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x2. И конечно: x2≠x1, а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x1−x2≠0. С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a·x1+b=0 и a·x2+b=0.
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:
a·x1+b−(a·x2+b)=0−0, отсюда: a·(x1−x2)+(b−b)=0 и далее a·(x1−x2)=0. Равенство a·(x1−x2)=0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a≠0 и x1−x2≠0. Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a≠0линейное уравнение a·x+b=0имеет лишь один корень.
Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a=0.
Когда a=0 линейное уравнение a·x+b=0 запишется как 0·x+b=0. Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x, подставив его в равенство 0·x+b=0, получим b=0. Равенство справедливо при b=0; в прочих случаях, когда b≠0, равенство становится неверным.
Таким образом, когда a=0 и b=0, любое число может стать корнем линейного уравнения a·x+b=0, поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0=0. Когда же a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b=0.
Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:
- по виду записи определяем значения коэффициентов a и bи анализируем их;
- при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
- при a=0 и b≠0 заданное уравнение не будет иметь корней;
- при a, отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:
- перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a·x=−b;
- обе части полученного равенства делим на число a, что даст нам искомый корень заданного уравнения: x=-ba.
Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.
Напоследок уточним, что уравнения вида a·x=b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a≠0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a.
Таким образом, чтобы найти решение уравнения a·x=b, используем такой алгоритм:
- при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
- при a=0 и b≠0 заданное уравнение не будет иметь корней;
- при a, не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a, что дает возможность найти единственный корень, который равен ba.
Примеры решения линейных уравнений
Пример 3
Необходимо решить линейное уравнение 0·x−0=0.
Решение
По записи заданного уравнения мы видим, что a=0 и b=−0 (или b=0, что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.
Ответ: x – любое число.
Пример 4
Необходимо определить, имеет ли корни уравнение 0·x+2,7=0.
Решение
По записи определяем, что а=0, b=2,7. Таким образом, заданное уравнение не будет иметь корней.
Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.
Пример 5
Задано линейное уравнение 0,3·x−0,027=0. Необходимо решить его.
Решение
По записи уравнения определяем, что а=0,3; b= -0,027, что позволяет нам утверждать наличие единственного корня у заданного уравнения.
Следуя алгоритму, переносим b в правую часть уравнения, сменив знак, получаем: 0,3·x=0,027. Далее разделим обе части полученного равенства на а=0,3, тогда: x=0,0270,3.
Осуществим деление десятичных дробей:
0,0270,3=27300=3·93·100=9100=0,09
Полученный результат есть корень заданного уравнения.
Кратко решение запишем так:
0,3·x-0,027=0,0,3·x=0,027,x=0,0270,3,x=0,09.
Ответ: x=0,09.
Для наглядности приведем решение уравнения записи a·x=b.
Пример N
Заданы уравнения: 1) 0·x=0; 2) 0·x=−9; 3) -38·x=-334. Необходимо решить их.
Решение
Все заданные уравнения отвечают записи a·x=b. Рассмотрим по очереди.
В уравнении 0·x=0, a=0 и b=0, что означает: любое число может быть корнем этого уравнения.
Во втором уравнении 0·x=−9: a=0 и b=−9, таким образом, это уравнение не будет иметь корней.
По виду последнего уравнения -38·x=-334 запишем коэффициенты: a=-38, b=-334, т.е. уравнение имеет единственный корень. Найдем его. Поделим обе части уравнения на a, получим в результате: x=-334-38. Упростим дробь, применив правило деления отрицательных чисел с последующим переводом смешанного числа в обыкновенную дробь и делением обыкновенных дробей:
-334-38=33438=15438=154·83=15·84·3=10
Кратко решение запишем так:
-38·x=-334,x=-334-38,x=10.
Ответ: 1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x=10.
Уравнение – одно из
важнейших понятий не только в математике, а также и во многих прикладных
науках.
Уравнение – это равенство, которое содержит
неизвестные числа, обозначенные буквами и верно только при подстановке
некоторых определённых значений.
Корень уравнения – это значение переменной, при котором уравнение
обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение означает найти все его
корни или доказать, что корней нет. Линейное
уравнение с одной переменной – это уравнение вида
Где х –
переменная, a и b – некоторые числа.
Если a = b = 0,
то это уравнение имеет бесконечно много решений
Если a не равно , то это уравнение имеет один корень: x = b/a
Если a = 0 и b не равно ,
то это уравнение не имеет корней.
ПРИМЕР:
Уравнение
х + 5 = 8
имеет единственный корень 3.
Уравнение
(х + 2)(х – 1)(х – 7) =
имеет три корня:
–2; 1;
7, так как каждое из этих чисел обращает уравнение в
верное равенство, а при всех других значениях х
ни один из множителей не равен нулю, а значит, и их произведение не равно нулю.
ПРИМЕР:
Уравнение
2х + 5
= 2(х + 6)
не имеет корней, так как при любом х значение
выражения 2х
+ 5 меньше
соответственного значения выражения
2(х
+ 6) на 7.
Если мы будем решать это уравнение, то получим:
2х + 5 = 2х + 12 или
2х
– 2х = 12 – 5 или
0 × х
= 7.
Равенство 0 × х
= 7 не является верным ни при каких значениях х.
Множество корней уравнения пусто.
ПРИМЕР:
Корнем уравнения
3(5х + 10) = 30 + 15х
является любое значение х,
так как выражения 3(5х
+ 10) и 30 + 15х тождественно равны. Решив уравнение получим 0 × х = 0. Произведение 0 × х равно нулю при
всех значениях х.
ЗАДАЧА:
Двигаясь со скоростью
60 км/час, автомобиль за
2 час пройдёт 60 × 2
(км), за 5
час – 60 × 5(км).
Вообще, за t часов он пройдёт 60 × t (км). Измеряя значение t,
мы можем с помощью выражения 60 × t находить путь, пройденный автомобилем за
разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы t
подставить её значение и выполнить умножение. Букву t в выражении
60 × t называют
переменной, а само выражение 60 × t –
выражением с переменной.
Значение выражения
зависит от значения буквы, которая входит в выражение. Если в выражение с
переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо её значение, то
получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с
переменными при выбранных значениях переменных. Выражения с переменными
используются для записи формул.
Неизвестные числа в
уравнении называются переменными. Переменные часто обозначаются буквами X,Y,Z
(икс, игрек, зет), хотя их можно обозначить и другими буквами.
ПРИМЕР:
Возьмём два выражения
3х и х
+ 8.
Приравняем их друг к другу и определим при каком
значении х эти выражения равны.
3х = х + 8;
3х – х = 8;
или
2х = 8; откуда
х = 4.
Выражение 3х
= х + 8 называется
уравнением, а число 4 – корень
уравнения. Напомним, что корнем уравнения с одной переменной называется то
значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Два уравнения называются равносильными, если они
имеют одинаковые корни.
Равносильными
считают и такие уравнения, которые не имеют решений. В результате таких
преобразований всегда получаем уравнение, равносильное предыдущему.
Понятие о равнозначных
уравнениях.
Два уравнения называются равнозначными, если они
имеют одни и те же корни или каждое из уравнений корней не имеет.
Основные свойства уравнений.
Если к обеим частям данного уравнения прибавить или
отнять одно и то же число, то получим уравнение равнозначное данному.
В любой части уравнения можно раскрыть скобки и
сложить подобные члены, если они есть.
Любой член уравнения можно перенести из одной части
уравнения к другой, изменив его знак на противоположный.
Обе две части уравнения можно помножить или разделить
на одно и тоже число, отличное от нуля.
ПРИМЕР:
Решить уравнение:
2х – 3 + 4(х – 1) = 5.
РЕШЕНИЕ:
Последовательно раскроем
скобки, приведём подобные члены и найдём
х.
2х – 3 + 4х – 4 = 5,
2х + 4х = 5 + 3 + 4,
6х = 12, х =
2.
ОТВЕТ: 2
ПРИМЕР:
Решить уравнение:
2х – 3 + 2(х – 1) = 4(х – 1) – 7.
РЕШЕНИЕ:
Последовательно раскроем
скобки, приведём подобные члены и найдём
х.
2х – 3 + 4х – 4 = 5,
2х + 2х – 4х
= –4 – 7 + 3 + 2,
0 × х = –6.
ОТВЕТ: ∅
ПРИМЕР:
Решить уравнение:
2х + 3 – 6(х – 1) = 4(1 – х) + 5.
РЕШЕНИЕ:
Последовательно раскроем
скобки, приведём подобные члены и найдём
х.
2х – 6х + 3 + 6 = 4 – 4х + 5,
– 4х + 9 = 9 –
4х,
– 4х + 4х = 9 – 9,
0 × х = 0.
ОТВЕТ: любое число
Задания к уроку 1
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
Другие уроки:
- Главная
- Справочник
- Алгебра
- Уравнения с одной переменной
На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.
Уравнение и его корни
Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения.
Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.
При решении уравнений используются следующие свойства:
- если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.
- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, то получится уравнение равносильное данному.
Пример №1 Какие из чисел: -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:
( x^2=10-3x )
Чтобы решить данное задание необходимо просто поочередно подставить вместо переменной x каждое из чисел и выделить те числа, при которых равенство считается верным.
При «х= -2»:
( (-2)^2=10-3 cdot (-2) )
( 4=4 ) — равенство верное, значит (-2) — корень нашего уравнения
При «х= -1»
( (-1)^2=10-3 cdot (-1) )
( 1=7 ) — равенство неверное, поэтому (-1) — не является корнем уравнения
При «х=0»
( 0^2=10-3 cdot 0 )
( 0=10 ) — равенство неверное, поэтому 0 не является корнем уравнения
При «x=2»
( 2^2=10-3 cdot 2 )
( 4=4 ) — равенство верное, значит 2 — корень нашего уравнения
При «х=3»
( 3^2=10-3 cdot 3 )
( 9=1 ) — равенство неверное, поэтому 3 не является корнем уравнения
Ответ: из представленных чисел, корнями уравнения ( x^2=10-3x ) являются числа -2 и 2.
Линейное уравнение с одной переменной
Линейное уравнение с одной переменной — это уравнения вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа.
Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!
Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x
Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:
4х + 28 = 3 — х
Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:
4х + х = 3 — 28
Теперь вычитаем значение слева и справа:
5х = -25
Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):
х = -25:5
х = -5
Ответ х = -5
Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:
4(-5+7) = 3-(-5)
4*2 = 8
8 = 8 — уравнение решено верно!
Решить теперь что-нибудь по-сложнее:
Пример №3 Найти корни уравнения: ( (y+4)-(y-4)=6y )
В первую очередь, также избавимся от скобок:
( y+4-y+4=6y )
Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:
( 8 = 6y )
Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:
( 6y=8 )
Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:
( y=frac{8}{6} = frac{4}{3} = 1frac{1}{3} )
Ответ: y = ( 1frac{1}{3} )
Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.
Пример №4 ( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) )
Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:
( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) )
( 0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 )
( 0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 )
( -5,2x=7,8 )
( x=frac{7,8}{-5,2}=frac{3}{-2} =-1,5 )
Ответ: x = -1,5
Если что-то не понятно по ходу решения пишите в комментариях
Решение задач с помощью уравнений
Зная что такое уравнения и научившись их вычислять — вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.
Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах
Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?
В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.
Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х — 10, а значит, в ящике стало — (2х + 10) яблок.
Теперь можно составить уравнение:
5(х-10) — в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.
Приравняем первое значение и второе:
2x+10 = 5(x-10) и решаем:
2х + 10 = 5х — 50
2х — 5х = -50 — 10
-3х = -60
х = -60/-3 = 20 (яблок) — в корзине
Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике — так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:
2*20 = 40 (яблок) — в ящике
Ответ: в ящике — 40 яблок, а в корзине — 20 яблок.
Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы — задавайте их в комментариях.
Под конец еще несколько примеров на решения уравнений
Пример №6 ( 2x — 0,7x = 0 )
( 1,3x = 0 )
( x=0/1,3 )
( x = 0 )
Пример №7 ( 3p — 1 -(p+3) = 1 )
( 3p-1-p-3=1 )
( 3p-p=1+1+3 )
( 2p=5 )
( p=5/2 )
( p=2,5 )
Пример №8 ( 6y-(y-1) = 4+5y )
( 6y-y+1=4+5y )
( 6y-y-5y=4-1 )
( 0y=3 ) — корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!
Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в комментариях.
Источник