Какими свойствами обладают линейные неравенства с одной переменной

Свойства числовых неравенств

• Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c (Пример: 8 > 4 и 4 > 3 => 8 > 3)
• Свойство 2. Если a > b, то a + const > b + const. Const-произвольное число (Пример: x — 3 > 0 <=> x — 3 + 8 > 0 + 8)
• Свойство 3. Если a > b и m > 0, то am > bm; 

Если a > b и m < 0, то am < bm. m-произвольное число.

Смысл свойства 3 заключается в следующем:  

• если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число,то знак неравенства следует сохранить;
• если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить(знак “<” на “>”, знак “>” на “<”);(для нестрогих неравенств)

Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a > b на -1, получим: -a < -b.

• Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 + 3 > 4 + 2)
• Свойство 5. Если a,b,c,d –положительные числа и a > b, c > d то ac > bd (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 * 3 > 4 * 2)

Линейные неравенства

Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Рассмотрим, например, неравенство 2х + 5 < 7. 

Решение:

Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7— верное числовое неравенство. 

Давайте упростим наше неравенство.

1) Согласно свойству 2 к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число “-5”, получили:

2х + 5 — 5 < 7 — 5.

2х < 2

Получили более простое неравенство. 

2) На основании свойства 3 можно разделить обе его части на положительное число 2, полученное неравенство:

х < 1

Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Таким образом, множеством решений данного неравенства является множество чисел x < 1 (или иначе в виде числовой прямой (-∞;1])

Свойства позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами: 

• Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства  в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства. 
• Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства. 
• Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. 

Применим эти правила для решения линейных неравенств, т.е. неравенств, сводящихся к виду 

ах + b > 0

где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0. 

Если а = 0, то рассматриваем 2 случая:

1) Если b > 0, то x может быть любое число 

2) Если b < 0, то решения нет 

Пример 1:

Решить неравенство 

Зх — 5 ≥ 7х — 15. 

Решение.

Руководствуемся правилом 1 перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член -5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х, и у члена -5. Тогда получим: 

Зх — 7х ≥ -15 + 5

-4х ≥ -10

Согласно правилу 3 разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число -4, не забыв при этом сменить знак неравенства. Получим: 

х ≤ 2,5.

Это и есть решение заданного неравенства. 

Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞; 2,5]. 

Ответ: (- ∞; 2,5].

Пример 2:

Решить неравенство 

3x + 2 > 2(x + 3) + x

Решение.

Раскроем скобки во второй части неравенства:

3x + 2 > 2x + 6 + x

Руководствуясь правилом 1, перенесем члены «с иксом» в левую часть неравенства, а «без икса» в правую:

3x — 2x — x > 6 — 2

0x > 4

0 > 4

Получаем противоречие.

Решения нет.

Пример 4:

Решить неравенство 

2(x — 1) + 3 > 2x — 5

Решение.

Раскроем скобки во второй части неравенства:

2x — 2 + 3 > 2x — 5

Руководствуясь правилом 1, перенесем члены «с иксом» в левую часть неравенства, а «без икса» в правую:

2x — 2x > 2 — 5 — 3

0x > -6

0 > -6

Получаем верное неравенство.

В данном случае можно взять любое число x, так как от него не зависит решение.

Ответом является вся числовая прямая.

Перейти к тесту