Какими свойствами обладают две прямые перпендикулярные к третьей

Похожие вопросы

Взаимное расположение точки и прямой

Земля имеет форму, похожую на шар. Но ее размеры огромны по сравнению с тем участком поверхности, который видит человек. Поэтому для нас видимая часть Земли кажется плоской.

Математика занимается изучением идеальных объектов, приближенных к реальным.

Для многих практических задач кривизна поверхности Земли существенно не влияет на точность решения, поэтому мы можем считать видимую часть Земли плоской. Изучением такой идеальной модели занимается планиметрия – геометрия на плоскости.

Точка, прямая и плоскость – это основные, неопределяемые понятия в геометрии. Т. к. в ближайшее время мы будем заниматься планиметрией (т. е. геометрией на плоскости), то у нас будет одна плоскость, на которой будут лежать все остальные фигуры. Из основных фигур остаются точки и прямые.

Взаимное расположение точки и прямой допускает два варианта: точка принадлежит прямой или не принадлежит (см. рис. 1).

Рис. 1. Взаимное расположение точки и прямой (слева направо): точка принадлежит прямой, точка не принадлежит прямой

А вот про взаимное расположение прямых мы поговорим на этом уроке.

Параллельные прямые, лучи и отрезки

Две прямые на плоскости могут пересекаться или не пересекаться. Если прямые не пересекаются, их называют параллельными (см. рис. 2).

Рис. 2. Параллельные прямые

Важное свойство параллельных прямых: расстояние между ними везде будет одинаковым (см. рис. 3). Рельсы железной дороги делают параллельными, поскольку расстояние между колесами поезда постоянно.

Рис. 3. Расстояние между параллельными прямыми везде одинаково

Расстояние между прямыми

Понятие расстояния между двумя прямыми на плоскости имеет смысл только для параллельных прямых.

Действительно, говорить о расстоянии между пересекающимися прямыми бессмысленно – в точке пересечения оно равно 0, а с удалением от этой точки стремится к бесконечности (см. рис. 4).

Рис. 4. Расстояние в точке пересечения прямых равно 0, а с удалением от этой точки стремится к бесконечности

Для параллельных прямых расстоянием называется длина отрезка, перпендикулярного обеим прямым (см. рис. 5).

Рис. 5. Расстояние между параллельными прямыми – длина отрезка, перпендикулярного им обеим

Если вернуться к примеру с рельсами, то расстояние между рельсами – это длина шпалы (или длина оси, соединяющей колеса поезда).

Если говорить не о прямых, а об отрезках или лучах, то нельзя называть их параллельными только потому, что они не пересекаются: на рисунке ниже изображены примеры непересекающихся, но непараллельных отрезков и лучей (см. рис. 6).

Рис. 6. Примеры непересекающихся, но непараллельных отрезков и лучей

Если отрезки и лучи продолжить до прямых и эти прямые окажутся параллельными, то и сами отрезки и лучи называются параллельными. Или короче: отрезки и лучи, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются параллельными (см. рис. 7).

Рис. 7. Если отрезки и лучи лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то они параллельны

Смежные и вертикальные углы

Пересекающиеся прямые и отрезки встречаются гораздо чаще. Мы знаем, что перекресток – это место, где пересекаются две и больше улиц. У пересекающихся прямых перекресток называется точкой пересечения. Причем, у двух прямых общая точка может быть только одна (если они непараллельны).

Две пересекающиеся прямые образуют 4 угла. Обозначим их как  (см. рис. 8).

Рис. 8. Нумерация углов, образованных пересечением двух прямых

Если поворачивать одну прямую вокруг точки пересечения, то углы меняются (см. рис. 9). Но легко заметить, что углы  и , а также  и  равны, независимо от положения второй прямой.

Рис. 9. Углы меняются при повороте прямой вокруг точки пересечения

Пары противоположных углов, которые образуются при пересечении прямых, называются вертикальными. Пары углов  и  или  и , образующих вместе развернутый угол, называют смежными.

Итак, мы видим два свойства:

1. сумма смежных углов равна , т. к. два смежных угла всегда вместе образуют развернутый угол, градусная мера которого равна ;
2. вертикальные углы равны (мы это заметили, но, как мы договаривались, очевидность не является доказательством – требуется доказать это утверждение).

Теорема.

Вертикальные углы равны.

Доказательство.

Итак, смежные углы  и  вместе составляют развернутый угол, значит, их сумма равна  (см. рис. 10).

Рис. 10. Смежные углы  и  составляют развернутый угол, равный

Углы  и  также являются смежными и составляют развернутый угол, значит, их сумма также равна  (см. рис. 11).

Рис. 11. Смежные углы  и  составляют развернутый угол, равный

Получаем:

Вычтем из одного уравнения второе, получим:

Откуда:

Можно было рассуждать и по-другому: к углам  и  добавили один и тот же угол  и получили одинаковые суммы, . Значит, сами углы были равны друг другу.

Теорема доказана.

Острые, прямые и тупые углы

Посмотрим на смежные углы. На всех представленных рисунках один из них меньше другого (см. рис. 12).

Рис. 12. Углы при пересекающихся прямых

Но всегда ли это так? Начнем вращать прямую, увеличивая меньший угол и уменьшая больший. В определенный момент углы с двух сторон от прямой, которую мы вращаем, станут одинаковыми. Полученные углы называют прямыми, а прямые называют перпендикулярными (см. рис. 13).

Рис. 13. Перпендикулярные прямые образуют прямые углы

Почему прямые называют перпендикулярными?

Когда каменщики в Древнем Риме строили стены, то, конечно, хотели сделать их устойчивыми и прочными. Но если стену сделать такой – она обвалится вперед, если такой – назад (см. рис. 14).

Рис. 14. Положения стены, при которых она обвалится

Нужно сделать так, чтобы она стояла прямо (отсюда прямые углы), т. е. чтобы углы слева и справа от нее были равны (см. рис. 15).

Рис. 15. Стена стоит прямо – углы слева и справа от нее равны

Как это можно сделать без угольника, циркуля, линейки прямо на улице? Для этого использовали отвес (см. рис. 16).

Рис. 16. Отвес

А линию и стену назвали, соответственно, отвесной. От лат. perpendicular – «отвес», отсюда и название прямых – перпендикулярные.

Поскольку углы  и  при пересечении перпендикулярных прямых равны, а также являются смежными, т. е. в сумме составляют развернутый угол, то прямой угол равен половине развернутого угла, или, если говорить о градусной мере, то:

Во всех остальных случаях прямая стоит косо и углы по обе стороны от нее косые – один острый (меньше прямого), другой тупой (больше прямого) (рис. 17).

Рис. 17. Углы  и  – острые, а  и  – тупые

Острым, соответственно, будет угол от  до  градусов (не включая), а тупым – от  до  градусов (также не включая).

Угол между прямыми

Вернемся еще раз к смежным непрямым углам. Понятно, что один из них – острый, второй – тупой. И понятно, что любой из них однозначно задает угол, под которым пересекаются прямые, т. е., зная любой из четырех углов, можно восстановить значения трех остальных, используя свойства вертикальных и смежных углов (см. рис. 18).

Рис. 18. Зная один из углов, при помощи свойств вертикальных и смежных углов можно восстановить значения трех остальных

Но, чтобы не было путаницы, договорились называть углом между прямыми именно острый угол, который образуется при их пересечении. Например, если при пересечении прямых получаются смежные углы  и , то говорят, что угол между прямыми равен .

Рис. 19. Угол между пересекающимися прямыми равен

Угол между перпендикулярными прямыми равен , а между параллельными считается равным .

Перпендикуляр и наклонная

Итак, перпендикулярность – это особый, предельный случай пересечения двух прямых.

Обычно предельные случаи оказываются очень важными базовыми и им уделяют много внимания. Подробнее об этом ниже.

Предельные случаи

С предельными случаями мы сталкиваемся в разных ситуациях. Например, предельным случаем прямоугольника является квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Другой пример. У каждого числа есть противоположное. У числа  – число , у числа  – число . Обычно число и ему противоположное – разные числа. И есть один предельный случай, когда число совпадает со своим противоположным, или можно сказать, у него нет противоположного. Это, конечно, число . Мы понимаем, что ноль очень важное число в математике.

Так и перпендикулярность, как предельный случай пересечения, часто встречается в геометрических задачах.

Понятие перпендикуляра связано с ответом на вопрос о кратчайшем расстоянии от точки до прямой.

Вы плаваете, устали и собираетесь плыть назад к берегу. Конечно, вам хочется плыть по кратчайшему пути. Кратчайшим путем будет перпендикуляр, проведенный от точки вашего нахождения до берега (см. рис. 20).

Рис. 20. Кратчайший путь – перпендикуляр, проведенный от точки вашего нахождения до берега

Если же вы находитесь на берегу (будем считать его прямой линией) и на вас движется волна, то убегать от нее нужно по линии, перпендикулярной фронту волны (см. рис. 21).

Рис. 21. При нахождении на берегу от волны нужно убегать по линии, перпендикулярной фронту волны

Действительно, если за 10 секунд вы пробежите 50 метров вот так, то окажетесь ближе к волне, чем, если бы бежали так (см. рис. 22).

Рис. 22. Если бежать по первой линии, то вы окажетесь ближе к волне, чем, если бежать по второй

Рассмотрим точку, которая не лежит на прямой. Проведем через нее перпендикулярную прямую. Отрезок  называется перпендикуляром. Будем говорить, что мы опустили перпендикуляр из точки  на прямую  (рис. 23).

Рис. 23. Перпендикуляр , опущенный из точки  на прямую

Длиной перпендикуляра будем называть расстояние от точки  до прямой .

Любой отрезок, соединяющий точку  с другой точкой на прямой (не ), называется наклонной. Например,  – наклонная (см. рис. 24).

Рис. 24. Наклонная

Рассуждения про кратчайшее расстояние до берега или от волны теперь можно сформулировать так: перпендикуляр всегда короче наклонной, проведенной из той же точки (см. рис. 25).

Рис. 25. Наклонная  длиннее перпендикуляра

Факт очевидный, но строго доказать мы его пока не можем, нам не хватает инструментов. Но скоро мы это сделаем.

Признак параллельности прямых

Две прямые на плоскости, взятые случайным образом, будут пересекаться, причем не под прямым углом. Иначе говоря: если вы бросите две спицы на стол и продлите их до прямых, то полученные прямые не будут параллельными или перпендикулярными. Вероятность этого события можно считать равной 0 – как выпадения монеты на ребро.

Это два предельных случая расположения прямых. Связаны ли они друг с другом? Если все сосны в лесу растут вертикально (перпендикулярно земле), то они параллельны друг другу.

Это наблюдение можно сформулировать в виде признака параллельности прямых: если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны друг другу (см. рис. 26). Факт очевидный, но строго докажем его чуть позже:

Рис. 26. Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны друг другу

Взаимное расположение трех прямых на плоскости

Что можно сказать про три прямые, какие для них возможны варианты взаимного расположения?

Поскольку любые две прямые могут либо быть параллельными, либо пересекаться, то для трех прямых возможны различные комбинации этих случаев.

1. Все три прямые параллельны друг другу (см. рис. 27).

Рис. 27. Три параллельные прямые

2. Две прямые параллельны, третья прямая их пересекает (см. рис. 28).

Рис. 28. Прямая пересекает две другие параллельные прямые

3. Все три прямые пересекаются, причем в одной точке (см. рис. 29).

Рис. 29. Три прямые пересекаются в одной точке

4. Все три прямые пересекаются друг с другом попарно (см. рис. 30).

Рис. 30. Три прямые пересекаются друг с другом попарно

Поговорим о каждом из этих случаев подробнее.

1. Все три прямые параллельны друг другу.

Проведем прямую , затем – прямую  параллельно  и прямую  параллельно . Мы догадываемся, что  и  параллельны друг другу (см. рис. 31). Такое свойство называется транзитивностью:

Рис. 31. Если провести прямые  и , параллельные прямой , то они также будут параллельными

Вспомните другие известные нам примеры транзитивности:

1.  ;
2.  ;
3.  яблоко весит больше груши, а груша – больше сливы, значит, яблоко весит больше сливы (см. рис. 32).

Рис. 32. Пример транзитивности

Рассмотрим доказательство признака параллельности. Оно основывается на пятом постулате Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Доказательство.

Итак, . Докажем, что . Предположим, что это не так (используем метод от противного). Они непараллельны, значит, они пересекаются в некоторой точке  (см. рис. 33).

Рис. 33. Прямые  и  пересекаются в точке

Эта точка не лежит на прямой , т. к. прямые  не имеют общих точек с прямой  в силу параллельности. Значит, через точку , не лежащую на прямой , проходят две прямые, параллельные . Это противоречит пятому постулату Евклида. Таким образом, .

Доказано.

1. Окончательная формулировка признака параллельности: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.
2. Все три прямые могут пересекаться в одной точке, образовывать пучок. Это предельный случай, но пока он нам не очень интересен.
3. Две прямые параллельны, третья прямая их пересекает.

Рассмотрим острые углы  и  (см. рис. 34). Такие углы называются соответственными. Мы догадываемся, что они равны.

Рис. 34. Соответственные углы

В самом деле, если прямую  сдвигать вниз параллельно самой себе, то, когда прямая  совпадет с прямой , совпадет с  (рис. 35).

Рис. 35. Когда при сдвиге прямой  вниз параллельно самой себе, прямая  совпадет с прямой , то совпадет с

Такое рассуждение не является строгим доказательством (докажем мы его позже), но оно дает нам понимание, что параллельные прямые – это по сути две одинаковые прямые.

Аналогично мы видим еще  пары соответственных углов:  и ,  и ,  и . Они тоже равны между собой.

Поскольку мы доказали, что вертикальные углы равны, то можем записать такие цепочки равенств:

Это совсем не удивительно. Две пересекающиеся прямые дают два разных угла (две пары углов). Причем эти углы являются смежными, т. е. вместе составляют развернутый угол и их сумма равна . Когда мы добавляем параллельную прямую, ничего не меняется, новые (по величине) углы не возникают (посмотрите наше предыдущее рассуждение о равенстве соответствующих углов).

Получаем четыре равных угла:  и еще четыре равных угла: . Сумма двух любых разных углов из этих двух наборов равна .

Для удобства углам, которые получаются при пересечении двух прямых третьей прямой, дали отдельные названия.

Уже говорили  и  – это соответственные углы (есть еще три пары). Те углы, что лежат между прямыми  и , называют внутренними, те, что вне их, – внешними.

Например,  – внутренний угол, а  – внешний (см. рис. 36).

Рис. 36. Угол  называется внутренним, а угол  – внешним

Если два угла лежат по одну сторону от прямой , то их называют односторонними, если по разную, то накрест лежащими.

Давайте потренируемся:

 и  – соответственные углы;

 и  – внутренние односторонние углы;

 и  – внутренние накрест лежащие углы;

 и  – внешние накрест лежащие углы.

И тут, в силу большого количества комбинаций, можно придумать много теорем.

Например: если  и  параллельны, а  – секущая, то внутренние накрест лежащие углы равны. Или: если  и  параллельны, а  – секущая, то внутренние односторонние углы равны в сумме . Самостоятельно потренируйтесь в формулировке подобного рода теорем. Некоторые мы докажем строго чуть позже.

Конечно, запоминать все эти теоремы не нужно. Достаточно помнить три важных факта:

1. вертикальные углы равны;
2. сумма смежных углов равна ;
3. соответственные углы равны.

Любое другое соотношение можно вывести, пользуясь этими тремя свойствами. Обратите внимание, что, если нам известен любой из восьми углов, все остальные мы тоже можем найти.

4. Все три прямые пересекаются друг с другом попарно

Если бросить три прямые на плоскость, то как они расположатся? Когда мы бросаем монету, мы не ждем, что она упадет на ребро. Точно так же мы не ожидаем от наших прямых, что какие-то две, а то и все три окажутся параллельными и пересекутся все в одной точке. Понятно, что они пересекутся попарно и образуют треугольник (см. рис. 37). Это важная фигура, о которой мы будем подробно говорить на следующих уроках.

Рис. 37. Если три прямые пересекаются друг с другом попарно, то они образуют треугольник

Заключение

1. Мы рассмотрели возможные варианты взаимного расположения двух и трех прямых на плоскости. И подробно остановились на некоторых предельных случаях такого расположения.
2. Для двух прямых мы рассмотрели случай параллельности (прямые не пересекаются) и случай пересечения. Для пересекающихся прямых доказали две теоремы: вертикальные углы равны и сумма смежных углов равна развернутому углу, т. е. .
3. Отдельно остановились на еще одном предельном случае пересечения прямых, когда образуются равные смежные углы, – перпендикулярных прямых. И поговорили о важном свойстве перпендикуляра – кратчайшем расстоянии от точки до прямой.
4. Для трех прямых мы сформулировали два признака параллельности прямых (параллельность третьей – его мы доказали и перпендикулярность третьей – пока строго не доказывали), рассмотрели один из предельных случаев – две прямые параллельны, а тре?