Какими свойствами обладают диагонали прямоугольника
Этот урок посвящен теме «Свойства диагоналей прямоугольника». Вы сможете узнать, что представляют собой такие геометрические фигуры, как прямоугольники. Затем учитель расскажет о том, какие свойства имеют диагонали прямоугольника.
Введение: четырехугольники, элементы четырехугольников
Рассмотрите геометрические фигуры на рисунке 1. Чем они похожи?
Рис. 1. Геометрические фигуры
Все фигуры имеют по четыре стороны (рис. 2).
Рис. 2. Стороны фигур
У всех фигур по четыре вершины (рис. 3).
Рис. 3. Вершины фигур
Каждая из фигур имеет по четыре угла (рис. 4).
Рис. 4. Углы фигур
Такие фигуры называют многоугольниками или четырехугольниками.
Прямоугольники
Разделим теперь все фигуры на две группы. В одну группу можно выделить четырехугольники, у которых все углы прямые (рис. 5). Такие четырехугольники называются прямоугольными четырехугольниками, или прямоугольниками.
Рис. 5. Прямоугольные четырехугольники
Рассмотрим прямоугольник (рис. 6).
Рис. 6. Прямоугольник
У него все углы прямые. Убедиться, что все углы действительно прямые, поможет инструмент – прямоугольный треугольник (рис. 7).
Рис. 7. Прямоугольный треугольник
Приложим прямой угол прямоугольного треугольника на чертеже так, чтобы обе стороны и вершины углов совпали (рис. 8).
Рис. 8. Проверка угла прямоугольным треугольником
Мы видим точное совпадение на рисунке 8, значит, этот угол прямой. Проверим таким же образом каждый угол (рис. 9, 10, 11).
Противоположные стороны прямоугольника равны (рис. 12). и – противоположные стороны.
Рис. 12. Противоположные стороны и
и – тоже противоположные стороны, и они равны (рис. 13).
Рис. 13. Противоположные стороны и
Диагонали прямоугольников и их свойства
Отрезки и (рис. 14) называются диагоналями прямоугольника .
Рис. 14. Диагонали прямоугольника
Сравним по длине диагонали прямоугольника , в этом нам поможет инструмент циркуль (рис. 15).
Рис. 15. Инструмент циркуль
Поставим ножку циркуля на точку , а вторую ножку циркуля поставим на точку (рис. 16).
Рис. 16. Измерение стороны циркулем
Не изменяя расстояния между ножками циркуля, перенесем ножки на отрезок (рис. 17).
Рис. 17. Измерение стороны циркулем
Мы видим, что одна ножка циркуля совпала с точкой , а вторая – с точкой . Значит, диагонали и равны.
Точка пересечения диагоналей прямоугольника
Точка – это точка пересечения диагоналей и (рис. 18).
Рис. 18. Точка пересечения диагоналей прямоугольника
Теперь сравним отрезки, которые получились при пересечении диагоналей, это отрезки , , и . Снова воспользуемся циркулем. Поставим ножку циркуля на точку , а вторую ножку циркуля поставим на точку (рис. 19). Не сдвигая ножку циркуля с точки и не изменяя расстояния между ножками, перенесем циркуль на отрезок . Мы видим, что вторая ножка циркуля совпала с точкой (рис. 20). Значит, отрезки и равны.
Рис. 19. Измерение циркулем отрезка | Рис.20. Измерение циркулем отрезка |
Сравним таким же образом отрезки и . Перенесем циркуль на отрезок , не сдвигая одну ножку циркуля с точки и не изменяя расстояния между ножками циркуля. На рисунке 21 мы видим, что ножки циркуля точно совпали с точками и .
Рис. 21. Измерение циркулем отрезка
Теперь также перенесем циркуль на отрезок . И снова видим точное совпадение с точками и (рис. 22).
Рис. 22. Измерение циркулем отрезка
Мы видим, что отрезки, которые получаются при пересечении диагоналей прямоугольника, равны.
Заключение
Попробуйте сами начертить любой прямоугольник и проверить правильность двух выводов. Первый вывод: диагонали прямоугольника равны. Второй вывод: точка пересечения диагоналей делит их на равные отрезки.
1. Сколько диагоналей у прямоугольника?
Список литературы
- Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Учебник в 3 ч. – М.: 2013. – 96 с. + 128 с. +96 с.
- Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч./М.И. Моро, М.А. Бантова – М.: Просвещение, 2010.
- Математика. 4 класс. Учебник в 2 ч. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. – 2009. – 128 с., 144 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Myshared.ru (Источник).
- Docme.ru (Источник).
- Myshared.ru (Источник).
Домашнее задание
Дайте ответы на вопросы:
- Верно ли утверждение, что все четырехугольники являются прямоугольниками?
- Какие вы знаете элементы прямоугольников?
- Что такое диагональ?
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.
Сегодня мы расскажем об одной из основных геометрических фигур – ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ.
Название это весьма говорящее, и в нем скрыто официальное определение.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.
Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.
Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».
Прямоугольник — это…
Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы (что это?) и трапеции (что это?).
У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.
То есть выглядит это так:
Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма.
Судите сами:
У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду. И к тому же они равны, что является условием номер два.
У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.
Ну, и логично предположить, что квадрат (как и сам прямоугольник) является частным случаем параллелограмма.
Признаки прямоугольника
Признаки геометрической фигуры – это совокупность отличий, по которым ее можно выделить среди других.
В случае с прямоугольником их всего три:
- Если один из углов параллелограмма прямой, то данный параллелограмм является прямоугольником.
- Если три угла четырехугольника являются прямыми, то перед нами опять же прямоугольник. При этом нет необходимости доказывать, что четырехугольник является параллелограммом. Это промежуточное звено становится верно само по себе.
- Если диагонали параллелограмма равны между собой, то фигура точно является прямоугольником.
Диагонали прямоугольника
Как мы уже упомянули выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие его противоположные углы) равны между собой.
Доказать это можно с помощью известной теоремы Пифагора. Она гласит, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».
В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. И теорема Пифагора выглядит следующим образом:
Свойства прямоугольника
К свойствам прямоугольника относятся следующие утверждения:
- Прямоугольник является параллелограммом, а значит имеет все присущие ему свойства.
- У прямоугольника равны противоположные стороны.
- У прямоугольника противоположные стороны параллельны.
- У прямоугольников все прилегающие друг к другу стороны пересекаются под прямыми углами. А в сумме они дают 360 градусов.
- У прямоугольников обе диагонали равны между собой.
- Диагональ прямоугольника делит фигуру ровно пополам, и в результате получаются два одинаковых прямоугольных треугольника.
- Диагонали прямоугольника пересекаются в его геометрическом центре. А их точка пересечения делит каждую диагональ на два равных отрезка. Более того, все четыре отрезка равны между собой.
- У прямоугольника точка пересечения диагоналей является еще и центром описанной вокруг окружности. Причем длина диагонали одновременна является диаметром (что это такое?) этой окружности.
Периметр и площадь
Для того чтобы определить периметр прямоугольника, надо просто сложить длины всех его четырех сторон.
Но с учетом того, что попарно они равны, то конечная формула может выглядеть более просто:
Площадь прямоугольника вычисляется также весьма просто. Надо лишь перемножить две его стороны:
К слову, это не единственная формула для вычисления площади. Площадь также можно получить, имея значение периметра фигуры или длину его диагонали. Но эти формулы гораздо сложнее.
Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До новых встреч на страницах нашего блога.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Подборки по теме
- Вопросы и ответы
- Использую для заработка
- Полезные онлайн-сервисы
- Описание полезных программ
Использую для заработка
- ВоркЗилла — удаленная работа для всех
- Анкетка — платят за прохождение тестов
- Etxt — платят за написание текстов
- Кьюкоммент — биржа комментариев
- Поиск лучшего курса обмена
- 60сек — выгодный обмен криптовалют
- Толока — заработок для всех в Яндексе
- Бинанс — надёжная биржа криптовалют
- ВкТаргет — заработок в соцсетях (ВК, ОК, FB и др.)
0 голосов
1 просмотр
Какими свойствами обладают диагонали прямоугольника?начертите прямоугольник АВСD со сторонами 5см и 4 см.проведите диагонали прямоугольника обозначте точку пересечения диагоналий буквой О проведите необходимые измерения и вычеслите периметр одного из тупоугольных треугольников
- диагонали
- прямоугольника
- проведите
- обладают
- начертите
- прямоугольник
- 5 — 9 классы
- математика
спросил
15 Апр, 18
от
Светлана1341_zn
(12 баллов)
в категории Математика
|
1 просмотр
Loading…
1 Ответ
0 голосов
Проводим диагонали и делаем выводы:
1) Диагонали равны
2) Точка пересечения О делит их пополам.
Сразу прицепил рисунок-чертеж к задаче.
Самое сложное в ней — произвести необходимые измерения.
Измеряем линейкой и получаем 64 мм.
Проверяем по теореме Пифагора и получаем
AC² = AD² + CD² = 16+25= 41
АС = √41 ~ 6.4 см = 64 мм.
ответил
15 Апр, 18
от
xxxeol_zn
БОГ
(476k баллов)
Опять в спешке — НЕ ПРАВИЛЬНО 16+25=41 и корень 6,4, значит и ответ 64 мм. ВТНОВАТ
оставил комментарий
15 Апр, 18
от
xxxeol_zn
БОГ
(476k баллов)
Ответ уже исправлен.
оставил комментарий
15 Апр, 18
от
xxxeol_zn
БОГ
(476k баллов)
Похожие задачи
- Какие функциональные группы характерны для всех аминокислоты? какими свойствами обладают…
- Почему жиры обладают гидрофобными свойствами ?
- Какими сходными и отличительными свойствами обладают следующие вещества а) поваренная…
- Помогите пожалуйста умоляюю срочнооо .какими свойствами обладают эти дроби???
- Какими структурными свойствами обладают присоединительные предложения?
- Какими свойствами обладают металлы и как их люди используют?
- 1.Чем объясняется существование постоянных магнитов? 2. Какими свойствами обладают…
- Какими защитными свойствами обладают ПРУ? 1)-… 2)-… 3)-… ……….
- Какими защитными свойствами обладают щели?
- Какими свойствами обладают углы и стророны прямоугольника?
- Какими свойствами обладают соединения, которые содержат бром со степенью окисления -1
- Какими свойствами обладают галогены со с/о= -1,как изменяются эти свойства по группе?…
- Почему воздушные массы обладают разными свойствами
- Какими свойствами обладают все элементы приведенного массива позиционной сисетмы…
- Какими свойствами обладают покровные ткани живых организмов? 1 много межклеточного…
- Какими свойствами обладают наиболее распространенные АХОВ- амиак и хлор?
- Какими свойствами обладают минералы
- Какими свойствами обладают вещества с атомной кристалической решеткой
- Какими свойствами обладают вещества в различных агрегатных состояниях
- Вспомните, какими еще физическими свойствами обладают вещества, кроме как цвет,…
- Какие из чисел обладают такими свойствами: оно нечетное, все его цифры различны, а число…
- Какими свойствами обладают наречие
- СРОЧНООО какими основными свойствами обладают электромагнитные волны ?
- Закончи фразу: 1. Мышцы обладают свойствами __________________ и _________________,…
- Какими физическими свойствами обладают кислород и озон???
Здравствуйте! На сайте Otvet-Master.ru собраны ответы и решения на все виды школьных задач и университетских заданий. Воспользуйтесь поиском решений на сайте или задайте свой вопрос онлайн и абсолютно бесплатно.
Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).
Прямоугольник (понятие, определение)
Свойства прямоугольника
Признаки прямоугольника
Формулы прямоугольника
Прямоугольник (понятие, определение):
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны между собой и все четыре угла равны между собой и каждый из них составляет 90 градусов.
Рис. 1. Прямоугольник
В свою очередь четырёхугольник (греч. τετραγωνον) – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.
Свойства прямоугольника:
1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.
Рис. 2. Прямоугольник
AB || CD, BC || AD
2. Противоположные стороны прямоугольника равны.
Рис. 3. Прямоугольник
AB = CD, BC = AD
3. Стороны прямоугольника являются его высотами.
4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.
Рис. 4. Прямоугольник
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
5. Каждый угол прямоугольника прямой и равен 90 градусам. Сумма всех углов прямоугольника составляет 360 градусов.
Рис. 5. Прямоугольник
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°,
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника равны.
Рис. 6. Прямоугольник
AC = BD
7. Каждая диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.
Рис. 7. Прямоугольник
△ABD = △BCD, △ABC = △ACD
8. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (что вытекает из теоремы Пифагора).
Рис. 8. Прямоугольник
AC2 = AD2+ CD2
9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
Рис. 9. Прямоугольник
AO = BO = CO = DO = АС / 2 = BD / 2
10. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.
Рис. 10. Прямоугольник
АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника
11. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и является центром описанной окружности.
12. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если все его стороны равны, т.е. он является квадратом.
Рис. 11. Квадрат
AВ = ВC = AD = CD
Признаки прямоугольника:
– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;
– если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то он (параллелограмм) является прямоугольником;
– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
Формулы прямоугольника:
Пусть a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, d – диагональ и диаметр описанной окружности прямоугольника, R – радиус описанной окружности прямоугольника, P – периметр прямоугольника, S – площадь прямоугольника.
Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):
,
,
,
.
Формула диагонали прямоугольника:
,
d = 2R.
Формулы периметра прямоугольника:
P = 2a + 2b,
P = 2(a + b).
Формулы площади прямоугольника:
S = a · b.
Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:
.
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта
Коэффициент востребованности
1 303