Какими свойствами обладает точка пересечения медиан треугольника
Вы можете спросить, зачем доказывать одну теорему тремя способами. Я бы ответила, что это самоочевидная вещь. Мой любимый образ: составление карты реальности. В типичных ситуациях человек чаще всего действует на автоматизмах, что хорошо, потому что помогает не думать о простых вещах, например, как ложку держать. На этом же механизме основаны все навыки, которыми человек может овладеть. Но, привыкая реагировать определенным образом на внешние раздражители, мы часто упускаем возможности. Поэтому полезно бывает пересобирать карту реальности, чтобы видеть иные решения проблемы.
И начать тренировать этот навык можно с геометрических задач. Благо данная наука позволяет находить десятки способов для решения каждой задачи, двигаясь от одних фактов к другим различными путями.
Сегодня посмотрим на теорему о медианах треугольника, которые, как всем известно, пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обращаю ваше внимание, что в данной теореме требуется доказать два факта: 1) медианы пересекаются; 2) точкой пересечения делятся в заданном отношении. Перейдем к нашим доказательствам.
Начнем с доказательства, основанного на понятии средней линии и параллелограмма. В этом доказательстве, впрочем и во многих других, есть один интересный момент. Утверждается, что две медианы треугольника пересекаются и это очевидно. На мой взгляд, самыми интересными вещами для доказательства являются именно очевидные вещи. Так как же доказать, что две медианы треугольника пересекаются? Например, через полуплоскости. Каждая медиана лежит на прямой, которая делит плоскость на две полуплоскости. Так как вершина треугольника и основание медианы лежать в разных полуплоскостях, то обязательно будет точка пересечения медианы с прямой содержащей другую медиану.
Итак, мы убедились, что две любые медианы треугольника пересекаются, теперь докажем, что точкой пересечения они делятся в отношении 2:1.
Аналогичные рассуждения можно провести для двух других пар медиан. А так как точка, делящая отрезок в заданном отношении единственная, то все медианы проходят через одну точку. Коротко, понятно, по делу. Единственное, что требуется это дополнительное построение.
Рассмотрим следующее доказательство — векторный способ. Будем использовать разложение векторов по базису. Напомним, что на плоскости любые два неколлинеарных вектора можно взять в качестве базиса, тогда любой другой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов.
Алгебраичненько получилось. И рассмотрим третий способ — физический. Будем использовать понятие центра масс. Я заранее прошу прощения у всех физиков, которые увидят этот текст. Есть математическое определения центра масс, но в данном случае, оно нам не очень интересно, потому что задача опять сведется к векторам. Мы будем понимать под центром масс точку, за которую можно подвесить систему и она будет в равновесии. Также нам понадобятся несколько свойств:
1) Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек имеет центр масс и при том единственный.
2) Центр масс двух точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки и его положение определяется архимедовым правилом: m1d1 = m2d2, где m1, m2 — массы точек, d1, d2 — соответствующие плечи.
3) Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, взять несколько точек и перенести их массу в их центр масс, то положение центра массы всей системы не изменится.
Вот и вся нужная теория, теперь перейдем к решению задачи. Наш треугольник представляет собой систему трех материальных точек А, В, С, которые имеют одинаковую массу. Для простоты возьмем массу равной 1.
По первому свойству, в данной системе существует единственный центр масс, обозначим его буквой O. Согласно второму свойств центр масс точек А и С находится в точек В1. По свойству три мы можем перенести массы точек А и С в точку В1. Тогда O будет центром массы для системы двух точек В и В1, а следовательно будет лежать на медиане треугольника и по второму свойству мы можем точно определить, где он будет находится. 2ОВ1 = 1ОВ => OB : OB1 = 2 : 1. Проведя такие же рассуждения для двух других медиан, мы установим, что центр масс лежит на каждой медиане, а значит они пересекаются в одной точке и делятся ей в заданном отношении. Мило, не правда ли?
Я горжусь вами, если вы дочитали до этого момента, надеюсь нашли что-то полезное для себя. Всем успехов в постижении этого многообразного мира.
Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике[1].
Центроид традиционно обозначается латинской буквой . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).
Свойства[править | править код]
- Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
- Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
- Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
- Если — центроид треугольника то для любой точки верно равенство
. - Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
- Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
- Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
- При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
- Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
- Пусть — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника , называется окружностью Парри треугольника .
- Три чевианы, проведённые через произвольную точку внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка совпадает с центроидом[2].
- Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:
.[3]
и
,
где — площадь треугольника.
История[править | править код]
Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.
Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике[править | править код]
- Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.
Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины
- Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности[5].
- У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади Ga, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин Gv и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле[6]
См. также[править | править код]
- Барицентр
- Центр тяжести
- Центр масс
- Ортоцентр
- Инцентр
- Замечательные точки треугольника
- Геометрия треугольника
Примечания[править | править код]
- ↑ Е. Смирнова. Планиметрия: виды задач и методы их решений. Элективный курс для учащихся 9—11 классов. — Litres, 2017-09-05. — С. 165. — 417 с.
- ↑ Зетель, 1962, с. 12.
- ↑ Altshiller-Court (1925, pp. 70–71)
- ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
- ↑ Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
- ↑ Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral, <https://people.bath.ac.uk/masgcs/Article141.pdf>
Литература[править | править код]
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
- Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
- Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
- Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble
Урок 1
Медианы треугольника. Точка пересечения медиан.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство:
Точка пересечения медиан треугольника является центром тяжести этого треугольника.
Задача 1 Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 4, 6 и 8. Найти длины медиан треугольника.
Решение. Пусть в треугольнике АВС AM, BE и CD — медианы, К – точка их пересечения, KС=4, KА=6 и КВ=8.
Так как , то есть на отрезок КА приходится 2 части, а на отрезок КМ – одна часть, то вся медиана АМ состоит из трех равных частей и
Получаем .
Аналогично,
,
Ответ: 6, 9 и 12
Задача 2 Медианы AM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 9 . Вычислить длины сторон АВ и ВС.
Решение. Пусть медианы АМ и СК треугольника АВС пересекаются в точке Р. Тогда
,
поэтому и
, .
Кроме того
, .
Вычислим по теореме Пифагора длины отрезков AK и СМ, получаем
, .
Теперь вычислим длины сторон АВ и ВС:
АВ=2АК=10, ВС=2СМ=.
Ответ: 10;.
Тест для самоконтроля.
1. Медиана треугольника делит пополам (выбрать один из вариантов ответов)
1) угол треугольника
2) сторону треугольника
3) две стороны треугольника
2. В каком отношении точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан треугольника (выбрать правильные варианты ответов).
1) 2:1 считая от основания треугольника
2) 1:2 считая от вершины треугольника
3) 2:1 считая от вершины треугольника
4) 1:2 считая от основания треугольника
5) на две равные части
3. Если в треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника, то какую часть медианы АМ составляет отрезок АР? (выбрать один из вариантов ответов)
1) 1/2
2) 1/3
3) 2/3
4) 1/4
4. В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть медианы АМ составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)
1) 1/4
2) 1/3
3) 2/3
4) 1/2
5. В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть отрезка АР составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)
1) 1/3
2) 2/3
3) 1/2
4) 1/4
Посмотреть правильные ответы.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 6 см, 8 см и 12 см. Найдите длины медиан треугольника.
Посмотреть решение.
2. Медианы ВM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 15 и 36 . Найдите длины сторон АВ и АС.
Посмотреть решение.
3. Медианы треугольника равны 6, 9 и 12. На каком расстоянии от вершин находится точка пересечения медиан треугольника?
Посмотреть решение.
4. Медианы треугольника равны 9, 12 и 18. Найдите расстояния от середин сторон треугольника до центра тяжести данного треугольника.
Посмотреть решение.
5. Центр тяжести треугольника отстоит от середин его сторон на расстояния. Равные 5, 6 и 7. Найдите медианы данного треугольника.
Посмотреть решение.
6. Точка пересечения медиан треугольника удалена от середин его сторон на расстояния, равные 2, 3 и 4. На каких расстояниях от вершин треугольника находится эта точка?
Посмотреть решение.
если в лом учить — хотябы в гугле посмотри!
В произвольном треугольнике ABC отрезок BD — медиана
Тема о медианах и высотах треугольника является, как правило, одной из наиболее интересных и увлекательных в курсе геометрии. Общепринятое определение медианы треугольника гласит, что под медианой понимают отрезок или прямую, которая соединяет одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны треугольника. Проще говоря, медиану треугольника можно получить, если измерить одну из сторон треугольника, найти точку, которая является серединой этой стороны и соединить эту точку с противолежащей вершиной треугольника. Исходя из того, что каждый треугольник имеет только три стороны и, соответственно, три вершины, можно сделать вывод, что максимальное количество медиан, которое можно провести в одном треугольнике равняется трём.
Свойства медианы треугольника
Медиана любого треугольника обладает несколькими основными свойствами, которые достаточно длительное время назад были доказаны в геометрии.
Во-первых, все медианы одного треугольника пересекаются только в одной его точке и делятся в этой точке в установленном соотношении два к одному, считая от вершины треугольника. То есть, если провести в треугольнике три медианы, они пересекутся в одной точке и 2/3 длины каждой медианы будут расположены между вершиной треугольника и точкой пересечения медиан, а 1/3 — между точкой пересечения медиан и серединой противоположной стороны треугольника.
Во-вторых, если в одном треугольнике провести три медианы, то они разделят данный треугольник на шесть меньших треугольников, которые будут иметь равную площадь.
В-третьих, чем больше сторона треугольника, к центру которой проведена медиана, тем меньше сама медиана треугольника. Самая длинная сторона треугольника всегда имеет самую короткую медиану.
Дополнительным свойством обладает медиана, проведённая в прямоугольном треугольнике. Это свойство заключается в правиле, гласящем, что если вокруг прямоугольного треугольника описать окружность, то медиана, проведённая из вершины прямого угла к середине гипотенузы прямоугольного треугольника, является радиусом этой окружности (т. е. расстоянием от центра окружности до любой её точки) .
Уравнение длины медианы треугольника
В геометрии формула медианы треугольника выведена из теоремы Стюарта и представляет собой квадратный корень из отношения квадратов суммы сторон, образующих вершину треугольника минус квадрат стороны, к середине которой проведена медиана треугольника к четырём. Проще говоря, для вычисления длины медианы треугольника необходимо возвести в квадрат длину каждой его стороны, затем создать дробь, в числителе которой вычислить сумму квадратов двух сторон треугольника, образующих угол, из которого проведена медиана минус квадрат третьей стороны. В знаменателе дроби будет число 4, а из всей дроби нужно извлечь квадратный корень, чтобы получить длину медианы треугольника.
Точка пересечения медиан треугольника
Выше было описано свойство медиан треугольника, которые пересекаются всегда в одной точке. Указанная точка называется центроидом треугольника. Помимо деления каждой из медиан в соотношении 2:1 центроид треугольника одновременно является центром описанной вокруг этого треугольника окружности. Другие геометрические фигуры также имеют свои центроиды.
Координаты точки пересечения медиан треугольника
Для нахождения координат точки пересечения медиан треугольника используется свойство центроида, который делит каждую медиану в соотношении 2:1.