Какими свойствами обладает средняя арифметическая величина

Средняя арифметическая величина обладает многими математическими свойствами, имеющими важное значение при ее расчёте. Знание этих свойств помогает контролировать правильность и точность расчёта средней варианты, способствует упрощению процесса расчёта среднего значения признака.

Первое свойство. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных вариант от среднего значения равна нулю. Так, если индивидуальные отклонения обозначить через ; …..; Сумма всех индивидуальных отклонений, например, в ранжированном ряду будет: Поскольку

Первое свойство теоретически доказывается и по отношению к средней арифметической взвешенной. В этом случае сумма взвешенных положительных отклонений от среднего значения признака равняется сумме взвешенных отрицательных отклонений, а общая сумма всех отклонений равна нулю, т.е. .

Первое свойство используется обычно для проверки правильности расчёта средней арифметической величины. В результате округления средней сумма отклонений не всегда равна нулю, но чем она ближе к нулю, тем средняя варианта рассчитана точнее.

Второе свойство. Величина средней не изменится, если частоты (частости) или веса при каждой варианте признака увеличить или уменьшить в одинаковое число раз.

Действительно, если то, например умножив все частоты на постоянную величину α, получим ту же величину средней:

.

Из второго свойства средней арифметической величины вытекают следующие важнейшие следствия:

· если частоты при всех вариантах равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней, т.е. при равнозначности частот в вариационном ряду можно вычислить вместо взвешенной величины простую.

· при расчёте средней арифметической величины в качестве частот можно использовать частости, т.е. их удельные веса (доли) в общем итоге. Замену абсолютных частот частостями можно рассматривать как умножение их на некоторый коэффициент.

Третье свойство. Если все индивидуальные варианты вариационного ряда увеличить или уменьшить на постоянное число, то средняя величина увеличится или уменьшится на это же число. Обычно в качестве постоянного числа выбирается варианта, расположенная в середине вариационного ряда, что позволяет значительно упростить нахождение средней. Расчёт средней арифметической величины с применением этого свойства принято называть методом моментов. Метод моментов можно записать в следующем виде:

Четвёртое свойство. Произведение средней величины на накопленную сумму частот равняется сумме произведения каждой варианты на ее частоту, т.е.

Это свойство вытекает из формулы средней арифметической взвешенной величины, т.е. если

Применение основных свойств средней арифметической величины покажем на конкретном примере. Допустим, необходимо рассчитать среднею урожайность по группе зерновых и зернобобовых культур в сельскохозяйственной организации. Посевные площади, урожайность культур, а так же приемы применения второго и третьего свойств средней арифметической величины приведены в табл. 6.4.

Т а б л и ц а 6.4. Применение важнейших свойств при расчёте средней

Средняя величина – обобщающая характеристика однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.

Определить среднюю можно через исходное соотношение средней или ее логическую формулу:

.

Для изучения и анализа социально-экономических явлений применяются различные средние величины: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, кубическая, а также структурные средние – мода, медиана, квартили, децили.

Средние могут рассчитываться в двух вариантах: взвешенные и невзвешенные.

При расчете взвешенных средних величин веса, могут быть представлены как абсолютными величинами, так и относительными (в % или долях единицы).

Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид:

. (1)

По данной формуле вычисляются средние величины первичных (объемных) признаков, если известны индивидуальные значения признака. Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения, или группировку, то расчет проводят по средней арифметической взвешенной

. (2)

В качестве весов здесь выступают численность единиц совокупности в группе.

Пример. Имеются данные о средней заработной плате сотрудников двух предприятий за январь.

Таблица 1

Вычислить среднюю заработную плату сотрудников по двум предприятиям.

Решение.

Определим исходные соотношения средней (ИСС) для показателя «средняя заработная плата».

ИСС = .

Фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность работников. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:

= руб.,

где xi – i –тый вариант осредняемого признака;

fi – вес i –ого варианта.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств знака и совокупности.

Таблица. 5.2

Можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. В таком случае первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст — 65 лет, тогда последний интервал — 50—65 лет.

Средний возраст рабочих, рассчитанный по формуле (2) с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил: лет.

Расчет средних вторичных (относительных) признаков. Сумма таких показателей сама по себе реальной величиной какого-либо признака в совокупности не является.

Пример. Рассчитать среднюю долю потребительских товаров в общем выпуске промышленной продукции по совокупности предприятий (табл. 5.3). В этом случае весом должен являться общий объем всей продукции предприятия.

Таблица 3

Объем и структура промышленной продукции

Тогда средняя доля товаров в продукции четырех предприятий равна:

Свойства средней арифметической величины

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Средняя арифметическая (простая) используется в тех случаях, когда данные не сгруппированы.

Средняя арифметическая (взвешенная). При расчете отдельные значения признака могут встречаться несколько раз. Расчет производится по сгруппированным данным или вариационным рядам.

Свойства средней арифметической:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

2. Сумма отклонений индивидуального значения признака от средней равно 0.

3. Если все осредняемые варианты увеличить или уменьшить на постоянное число А, то значение средней также увеличится или уменьшится на число А.

4. Если все варианты значений признака увеличить или уменьшить в А раз, то значение средней увеличится или уменьшится соответственно в А раз.

5. Если все частоты уменьшить или увеличить в А раз, то средняя не изменится.

6. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С.

Средняя гармоническая, средняя квадратическая и средняя геометрическая величины.

1. Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Если в смысловой формуле (  не известен знаменатель, то в расчетах используется средняя гармоническая. Средняя гармоническая простая:

Средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда статистическая информация не содержит отдельных частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение:

2. Средняя квадратическая применяется тогда, когда вместо отдельных значений признака представлены квадраты исходных величин.

3. Средняя геометрическая применяется в случаях определения средней по значениям, имеющим большой разброс, либо в случаях определения средней по относительным показателям.

Структурные средние величины.

Характеристиками структуры совокупности являются мода и медиана.

1. Мода (М0) – величина признака, наиболее часто встречающегося в совокупности, т е имеющая наибольшую численность в ряду распределения.

А) В дискретном ряду мода определяется визуально.

Б) В интервальном ряду визуально можно определить интервал, в котором находится мода (модальный интервал).

,

где хМо– нижняя граница модального интервала;

i Мо – величина модального интервала;

f Мо – частота модального интервала;

f Мо-1 – частота, предшествующая модальному интервалу;

f Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

2. Медиана (Ме) – значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда, т е делящее ряд распределения на две равные части.

А) В дискретном ряду определяется номер медианы по формуле:

Номер медианы показывает то значение показателя, которое является медианой.

Б) В интервальном ряду медиана рассчитывается по формуле:

где хМе– нижняя граница медианного интервала;

i Ме – величина медианного интервала;

f Ме – частота медианного интервала;

SМе-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

å fi /2 – полусумма частот ряда.

Показатели вариации.

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются: размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значением признака.

Среднее линейное отклонение – это средний модуль отклонений значений признака от средней величины.

Дисперсия – средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины.

 простая взвешенная

Среднее квадратическое отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии.

Эти четыре показателя позволяют получить абсолютное значение вариации, т е оценивают вариацию в единицах измерения исследуемой совокупности.

Коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении, относительно среднего уровня.

Если коэффициент рассматриваемой совокупности не превышает 33%, то ее можно считать однородной по рассматриваемому признаку.

Показатели вариации используются для:

1) анализа изменчивости изучаемого признака

2) оценки степени воздействия одного признака на вариацию другого

При проведении такого анализа совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых характеризуется двумя признаками – факторным и результативным.

Средняя, являясь характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на итоговый, так называемый определяющий, показатель, связанный со всеми единицами этой совокупности. Например, при расчете средних затрат на единицу продукции таким показателем является объем затрат на всю продукцию; при вычислении средней заработной платы определяющий показатель – это фонд заработной платы; при определении средней выработки одного рабочего таким показателем является объем продукции, произведенной всеми рабочими.

При замене индивидуальных значений признака их средней величиной определяющий показатель должен сохранять свое значение. Если при замене индивидуальных значений признака необходимо сохранить без изменения его общий объем, то применяют среднюю арифметическую; чтобы неизменной оставалась итоговая величина, обратная индивидуальным значениям признака, используют гармоническую среднюю. Если нужно, чтобы без изменений оставалась сумма квадратов исходных величин, то применяют среднюю квадратическую величину. Для сохранения неизменным произведения исходных значений признака рассчитывают среднюю геометрическую.

При расчете средней арифметической определяющий показатель можно представить алгебраически в виде суммы слагаемых: . Учитывая, что определяющий показатель должен оставаться без изменения при замене всех его исходных значений их средней величиной, запишем следующее равенство:

Средняя величина определяется по формуле

где х – индивидуальные значения признака; п – число единиц совокупности.

Приведенная формула есть формула средней арифметической простой (невзвешенной). Для расчета ее применяют в том случае, если индивидуальные значения признака не повторяются или встречаются одинаковое число раз, т.е. имеют одинаковый вес. Например, для определения среднего объема товарооборота в расчете на одну торговую организацию региона необходимо общий объем товарооборота торговых организаций региона разделить на число этих организаций.

Однако в исходных данных, особенно при использовании совокупностей большого объема, одни и те же значения признака повторяются. В этом случае данные представляются в сгруппированном виде: для каждого значения усредняемого признака сообщается частота tuо повторения, т.е. предварительно составляется ряд распределения. Допустим, варьирующим признаком является срок функционирования банка, который соответствует периоду времени, прошедшему с момента регистрации в центральном банке. Условные данные приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Продолжительность функционирования коммерческих банков

Для вычисления средней продолжительности функционирования банка по данным, приведенным в табл. 3.1, можно использовать простую среднюю арифметическую. Следовательно, средняя величина составит 10 лет (70 : 7).

По этим же данным предварительно можно составить ряд, показывающий распределение банков по продолжительности периода деятельности, а затем определить величину средней (табл. 3.2). В совокупностях, в которых одни и те же значения признака многократно повторяются, проводят группировку данных, объем совокупности определяют не путем суммирования отдельных значений признака, а путем перемножения (взвешивания) его вариантов на число единиц, соответствующих каждому варианту, т.е. на их частоты:

Поскольку должно выполняться равенство

средняя определяется по формуле средней взвешенной

Таблица 3.2

Группировка коммерческих банков по продолжительности периода деятельности

Согласно этой формуле в нашем примере (см. табл. 3.2) средний срок деятельности банков составит

В отдельных случаях веса могут быть представлены в виде относительных величин структуры (в процентах или долях единицы). Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид

где – доля каждой группы в общем числе единиц совокупности (частость).

Если частоты выражены в долях (коэффициентах), то и формула средней арифметической упрощается: /

Так, в приведенном выше примере количество банков с разным сроком службы соответственно составляет 14,3% (0,143); 57,1% (0,571); 28,6% (0,286) их общего числа. Средний срок деятельности банка составит

В тех случаях когда исходная информация представлена в виде интервального ряда распределения, в качестве вариантов усредняемого признака (х) принимают середины интервалов, вычисляемые по каждой группе, как полусуммы нижних и верхних границ интервалов. Рассмотрим условный пример (табл. 3.3).

Вычислим значение среднего объема активов:

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые могут быть использованы для упрощения ее вычисления и других целей.

Таблица 3.3

Распределение кредитных организаций по объему активов

В статистическом анализе применяют следующие основные свойства средней арифметической.

1. Сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю:

2. Сумма квадратов отклонений значений признака от средней меньше суммы квадратов отклонений от любой произвольной величины А:

3. Если от каждого значения признака отнять или к каждому его значению прибавить одно какое-либо число А, то новая средняя соответственно уменьшится или увеличится на то же самое число:

4. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариантов на частоты:

5. Если каждое значение признака разделить или умножить на одно какое-либо число А, то новая средняя соответственно уменьшится или увеличится во столько же раз:

6. Если значения признака веса разделить или умножить на одно и то же число, то величина средней не изменится:

С помощью средних обобщают не только абсолютные, но и относительные величины. Отличия в расчетах в этом случае отражают особенности построения средних, которое может быть выполнено на основе значений как первичных, так и вторичных признаков.

Порядок расчета и форма средней зависят от взаимосвязи изучаемых признаков и от того, какими данными мы располагаем.

Средние первичных признаков определяются по формуле простой средней путем деления итогового подсчета по характеризуемому признаку на перечневый подсчет, т.е. числитель такого отношения представляет собой общую сумму значений усредняемого признака у всех единиц совокупности, а знаменатель – общее число единиц изучаемой совокупности.

Базой для расчета средних значений вторичного признака является исходное соотношение первичных признаков, определяющих логическую формулу усредняемого вторичного признака. Далее вычисляется частное от деления итоговых подсчетов по этим первичным признакам. В случае когда один из итоговых показателей неизвестен, расчет средней производят на основе исходных данных о значении усредняемого вторичного признака каждой отдельной единицы совокупности и связанного с ним признака – веса. Таким образом, средняя вторичного признака имеет вид средней взвешенной.

Если известны значения знаменателя исходного соотношения, но не известны значения числителя, то среднюю вычисляют по формуле средней арифметической. В противном случае среднюю рассчитывают по формуле средней гармонической. Для каждого показателя, используемого в экономическом анализе, можно составить только одно исходное соотношение для расчета средней (ИСС).

Если, например, требуется рассчитать средний размер вклада в банке, то исходное соотношение будет следующим:

Если же необходимо определить среднюю ставку процента по кредитам, выданным на один и тот же срок, то потребуется следующее исходное соотношение:

Для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников:

Числитель исходного соотношения средней отражает ее определяющий показатель. Рассмотрим пример на основе данных о работе двух организаций (табл. 3.4).

Таблица 3.4

Данные о работе организаций

Требуется определить средние значения всех представленных в таблице признаков.

В этом примере единица совокупности – одно предприятие, поэтому среди представленных в таблице признаков первичными являются плановый и фактический объемы выпускаемой продукции. Следовательно, для расчета средней величины каждого из этих признаков нужно применить формулу простой средней:

где – число предприятий.

Следующий признак в таблице – процент выполнения плана, который представляет собой относительную величину, рассчитанную по формуле

Среднее значение процента выполнения плана по совокупности предприятий можно представить в виде отношения обобщенных значений тех же признаков, каждое из которых охватывает всю изучаемую совокупность единиц:

Поскольку единицей совокупности, как уже отмечалось, в нашем примере является одно предприятие, выработка одного рабочего – это вторичный признак. Отсюда для расчета ее среднего значения нужно применить формулу взвешенной средней. Исходными для такого расчета будет следующее соотношение:

где – численность рабочих предприятия.

В соответствии с рассмотренной выше методикой определения средней величины вторичного признака можно записать:

Для определения средней выработки одного рабочего необходимо предварительно вычислить численность рабочих, занятых на каждом предприятии. В соответствии с исходными данными это можно сделать по формуле

Проведя необходимую подстановку, получаем следующее выражение искомой средней, которое соответствует формуле средней гармонической взвешенной:

Подставив в формулу числовые значения, находим