Какими свойствами обладает матрица
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матрица
(
A=left(begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {dots} & {a_{1 n}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {ldots} & {a_{2 n}} \ {ldots} & {ldots} & {ldots} & {ldots} \ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {dots} & {a_{m n}}end{array}right)
) представляет собой прямоугольную таблицу чисел, состоящую из (
mathrm{m}
) строк и (
mathrm{n}
) столбцов.
Он имеет размер (
m times n
) и обозначается (
A_{m times n}
) .
Элементы матрицы (
A
) обозначаются буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой находится элемент, а второй — номер столбца.
Две матрицы (
A
) и (
B
) называются равными, если они имеют одинаковый размер и соответствующие им элементы равны, т.е.
(
A_{m times n}=B_{k times p} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}{m=k} \ {n=p} \ {a_{i j}=b_{i j}, i=overline{1, m}, j=overline{1, n}}end{array}right.
)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если (
m=n
), то матрица называется квадратной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы равны нулю, кроме тех, которые расположены на главной диагонали.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Единичные матрицы являются диагональной матрицей, в которой все элементы на главной диагонали равны 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.
Сумма двух матриц (
A
) и (
B
) того же размера (
m times n
) является матрицей (
C
) того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матрицы, т. е. Если (
A_{m times n}=left(a_{i j}right)
) и (
B_{m times n}=left(b_{i j}right)
),
то
(
C_{m times n}=A_{m times n}+B_{m times n}=left(a_{i j}+b_{i j}right)
)
где (
i=overline{1, m}, quad j=overline{1, n}
)
Произведением матрицы (
A_{m times n}=left(a_{i j}right)
) числом (
k in R
) является матрица того же размера (
B_{m times n}=left(b_{i j}right)
)в ,каждый элемент которой получается путем умножения соответствующего элемента матрицы A на число k, т.е.
(
b_{i j}=k cdot a_{i j}
)
где (
i=overline{1, m}
), (
j=overline{1, n}
)
Свойства линейных матричных операций
1. (
A+B=B+A
) — коммутативность (взаимозаменяемый закон) сложения;
2. (
A+(B+C)=(A+B)+C
) — ассоциативность (объединение закона) сложения;
3. для любой матрицы (
A
) существует единственная нулевая матрица (
theta
) такая, что (
A+theta=A
) ;
4. для любой матрицы (
A
) существует единственная матрица (
(-A)=-1 cdot A
) , называемая противоположной, такая, что (
A+(-A)=theta
) где (
theta
) — нулевая матрица;
5.(
1 cdot A=A
)
6.(
alpha cdot(beta A)=(alpha beta) cdot A
)
7.(
(alpha+beta) cdot A=alpha A+beta A
)
8.(
alpha cdot(A+B)=alpha A+alpha B
)
ПРИМЕР
Для матриц (
Delta
) и (
B
) найдите (
2 A+3 B
).
(
A=left(begin{array}{cc}{1} & {2} \ {-1} & {7}end{array}right), quad B=left(begin{array}{cc}{0} & {4} \ {3} & {-2}end{array}right)
)
Найти матрицы (
2 A
) и (
3 mathrm{B}
):
(
2 A=2 cdotleft(begin{array}{cc}{1} & {2} \ {-1} & {7}end{array}right)=left(begin{array}{cc}{2} & {4} \ {-2} & {14}end{array}right)
)
(
3 B=3 cdotleft(begin{array}{cc}{0} & {4} \ {3} & {-2}end{array}right)=left(begin{array}{cc}{0} & {12} \ {9} & {-6}end{array}right)
)
Затем мы найдем их сумму
(
2 A+3 B=left(begin{array}{cc}{2} & {4} \ {-2} & {14}end{array}right)+left(begin{array}{cc}{0} & {12} \ {9} & {-6}end{array}right)=left(begin{array}{cc}{2} & {16} \ {7} & {8}end{array}right)
)
(
2 A+3 B=left(begin{array}{ll}{2} & {16} \ {7} & {8}end{array}right)
)
Произведение матрицы (
A
) размера (
m times n
) и матрицы (
mathrm{B}
) размера (
n times k
) называется матрицей (
C=A B
) размера (
m times k
) , элемент (
c_{i j}
) в i-й строке и j-столбце равен к сумме произведений соответствующих элементов -ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы (
B
):
(
c_{i j}=a_{i 1} cdot b_{1 j}+a_{i 2} cdot b_{2 j}+ldots+a_{i n} cdot b_{n k}=sum_{p=1}^{n} a_{i p} b_{p k}
)
Комментарий. Для матриц (
A
) и (
B
) произведение определено, если число столбцов матрицы (
A
) равно числу строк матрицы (
B
).
Свойства операции умножения матрицы
(
A,B,C
) — матрицы, (
alpha, beta in R
)
1.(
A cdot(B cdot C)=(A cdot B) cdot C
) — ассоциативность умножения;
2.(
alpha cdot(A cdot B)=(alpha A) B
)
3.(
(A+B) cdot C=A cdot C+B cdot C
)
4.(
A cdot(B+C)=A cdot B+A cdot C
)
Если матрица (
A
) имеет размер (
m times n
) , то равенство (
E_{m} A=A E_{n}=A
) справедливо только в том случае, если (
E_{m}, E_{n}
) является единичной матрицей m-го и n-го порядка.
ПРИМЕР 2
Найти работу с матрицей
(
A=left(begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {0} & {4}end{array}right), quad B=left(begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-1} \ {0} & {2} & {-3}end{array}right)
)
Матрица A имеет размеры 2 x 2, а матрица B имеет размеры 2 x 3, то есть число столбцов первой матрицы совпадает с числом столбцов второй матрицы, что означает, что их можно умножить. В результате умножения получаем матрицу C с размерами 2 x 3:
(
A_{2 times 2} B_{2 times 3}=C_{2 times 3}
)
(
C_{2 times 3}=left(begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {0} & {4}end{array}right) cdotleft(begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-1} \ {0} & {2} & {-3}end{array}right)= left(begin{array}{ccc}{-1 cdot 1+2 cdot 0} & {-1 cdot 2+2 cdot 2} & {-1 cdot(-1)+2 cdot(-3)} \ {0 cdot 1+4 cdot 0} & {0 cdot 2+4 cdot 2} & {0 cdot(-1)+4 cdot(-3)}end{array}right) =left(begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {-5} \ {0} & {8} & {-12}end{array}right)
)
(
C=left(begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {-5} \ {0} & {8} & {-12}end{array}right)
)
Матрица (
A^{t}
) размера (
n times m
) называется транспонированной в матрицу (
A
) размера (
m times n
) , если элемент (
a_{j i}
)матрицы (
A
) вместо (
(i, j)
) , или, в противном случае, матрица, полученная из этой замены каждого из ее строки с столбцом с тем же номером. Так что если
(
A=left(begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {dots} & {a_{1 n}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {dots} & {a_{2 n}} \ {ldots} & {dots} & {dots} & {ldots} \ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {dots} & {a_{m n}}end{array}right)
)
тот
(
A^{t}=left(begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{21}} & {dots} & {a_{m 1}} \ {a_{12}} & {a_{22}} & {dots} & {a_{m 2}} \ {dots} & {dots} & {cdots} & {dots} \ {a_{1 n}} & {a_{2 n}} & {dots} & {a_{m n}}end{array}right)
)
Свойства переноса матрицы
(
A, B
)- матрицы, (
alpha in R
)
1.(
left(A^{t}right)^{t}=A
)
2.(
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}
)
3.(
(A B)^{t}=B^{t} A^{t}
)
4. (
(alpha A)^{t}=alpha A^{t}
)
Матрицы: (A), (B), (C) | Присоединенная матрица: ({C^*}) |
Определение матрицы
Матрицей размером (m times n) называется прямоугольная таблица элементов ({a_{ij}}), принадлежащих
некоторому множеству (как правило, это числа или функции), состоящая из (m) строк и (n) столбцов.(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & ldots & {{a_{1n}}}\
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & ldots & {{a_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & ldots & {{a_{mn}}}
end{array}} right))Квадратная матрица (n)-го порядка имеет (n) строк и (n) столбцов.
Квадратная матрица (left( {{a_{ij}}} right)) называется симметричной (или симметрической),
если ({{a_{ij}}} = {{a_{ji}}}), т.е. элементы матрицы расположены симметрично относительно главной диагонали.Квадратная матрица (left( {{a_{ij}}} right)) называется кососимметричной (или антисимметричной),
если ({{a_{ij}}} = -{{a_{ji}}}).Квадратная матрица называется диагональной,
если все ее элементы вне главной диагонали равны нулю.Диагональная матрица называется единичной, если все элементы на ее
главной диагонали равны (1). (Все остальные элементы при этом равны (0).)Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой матрицей.
Равенство матриц
Две матрицы (A) и (B) равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер (m times n) и их соответствующие элементы равны.Сложение и вычитание матриц
Две матрицы (A) и (B) можно складывать (или вычитать) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер
(m times n). Если(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & ldots & {{a_{1n}}}\
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & ldots & {{a_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & ldots & {{a_{mn}}}
end{array}} right)),(B = left( {{b_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{11}}} & {{b_{12}}} & ldots & {{b_{1n}}}\
{{b_{21}}} & {{b_{22}}} & ldots & {{b_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{b_{m1}}} & {{b_{m2}}} & ldots & {{b_{mn}}}
end{array}} right),)то сумма этих матриц равна
(A + B = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}} + {b_{11}}}&{{a_{12}} + {b_{12}}}& ldots &{{a_{1n}} + {b_{1n}}}\
{{a_{21}} + {b_{21}}}&{{a_{22}} + {b_{22}}}& ldots &{{a_{2n}} + {b_{2n}}}\
vdots & vdots &{}& vdots \
{{a_{m1}} + {b_{m1}}}&{{a_{m2}} + {b_{m2}}}& ldots &{{a_{mn}} + {b_{mn}}}
end{array}} right).)Умножение матрицы на число
Пусть даны постоянное число (k) и матрица (A = left( {{a_{ij}}} right)). Тогда(kA = left( {{ka_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{ka_{11}}} & {{ka_{12}}} & ldots & {{ka_{1n}}}\
{{ka_{21}}} & {{ka_{22}}} & ldots & {{ka_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{ka_{m1}}} & {{ka_{m2}}} & ldots & {{ka_{mn}}}
end{array}} right).)Умножение матриц
Пусть даны две матрицы (A) и (B). Произведение матриц (AB)
существует тогда и только тогда, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй. Если(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}} & {{a_{12}}} & ldots & {{a_{1n}}}\
{{a_{21}}} & {{a_{22}}} & ldots & {{a_{2n}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & ldots & {{a_{mn}}}
end{array}} right)),(B = left( {{b_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{11}}} & {{b_{12}}} & ldots & {{b_{1k}}}\
{{b_{21}}} & {{b_{22}}} & ldots & {{b_{2k}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{b_{n1}}} & {{b_{n2}}} & ldots & {{b_{nk}}}
end{array}} right),)то произведение (AB) представляется в виде матрицы
(AB = C = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{c_{11}}} & {{c_{12}}} & ldots & {{c_{1k}}}\
{{c_{21}}} & {{c_{22}}} & ldots & {{c_{2k}}}\
vdots & vdots & {} & vdots \
{{c_{m1}}} & {{c_{m2}}} & ldots & {{c_{mk}}}
end{array}} right)),где элементы матрицы C равны
({c_{ij}} = {a_{i1}}{b_{1j}} + {a_{i2}}{b_{2j}} + ldots + {a_{in}}{b_{nj}} = sumlimits_{lambda = 1}^n {{a_{ilambda }}{b_{lambda j}}} ),
(left( {i = 1,2, ldots ,m,;j = 1,2, ldots ,k} right))
Так, например, если
(A = left( {{a_{ij}}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{31}}}
end{array}} right),;;B = left( {{b_i}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1}}\
{{b_2}}\
{{b_3}}
end{array}} right),)
то произведение (AB) равно(AB = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{31}}}
end{array}} right) cdot left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1}}\
{{b_2}}\
{{b_3}}
end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{c_{11}}}\
{{c_{21}}}
end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}{b_1} + {a_{12}}{b_2} + {a_{13}}{b_3}}\
{{a_{21}}{b_1} + {a_{22}}{b_2} + {a_{23}}{b_3}}
end{array}} right).)Транспонированная матрица
Если строки и столбцы в матрице (A) поменять местами, то новая матрица будет называться
транспонированной. Транспонированная матрица обозначается
как (A^T).Матрица A называется ортогональной, если
(A{A^T} = I),
где (I) − единичная матрица.Если произведение матриц (AB) определено, то
({left( {AB} right)^T} = {B^T}{A^T}).Присоединенная матрица
Если (A) является квадратной матрицей порядка (n), то соответствующая ей присоединенная матрица,
обозначаемая как (C^*), представляет собой матрицу, составленную из
алгебраических дополнений ({A_{ij}}) к элементам транспонированной матрицы (A^T).След матрицы
Если (A) − квадратная матрица порядка (n), то ее след,
обозначаемый как (text{tr }A), равен сумме элементов, расположенных на главной диагонали:
(text{tr }A = {a_{11}} + {a_{22}} + {a_{33}} + ldots + {a_{nn}}.)Обратная матрица
Обратная матрица определяется как матрица (A^{-1}), такая, что в результате умножения исходной матрицы (A)
на (A^{-1}) получается единичная матрица (I):
(A{A^{ — 1}} = I).
Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц (определитель которых не равен нулю).
Если (A) − квадратная невырожденная матрица порядка (n), то обратная матрица
(A^{-1}) находится по формуле:
({A^{ — 1}} = largefrac{{{C^*}}}{{det A}}normalsize),
где (C^*) − присоединенная матрица, а (det A) − определитель матрицы (A).Если произведение матриц (AB) определено, то
({left( {AB} right)^{ — 1}} = {B^{ — 1}}{A^{ — 1}}).Собственные векторы и собственные значения матрицы
Если (A) является квадратной матрицей, то ее собственные векторы (X)
удовлетворяют матричному уравнению
(AX = lambda X),
а собственные значения (lambda) определяются характеристическим уравнением
(left| {A — lambda I} right| = 0).
Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.
Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше…
Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.
Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.
Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.
Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…
Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.
Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?
Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…
Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.
В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.
Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать.
Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».