Какими свойствами обладает касательная к окружности

§ 20. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности

Теорема 20.1

Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство

Если хорда является диаметром, то теорема очевидна.

На рисунке 287 изображена окружность с центром O, M — точка пересечения диаметра CD и хорды AB, CD ⊥ AB. Надо доказать, что AM = MB.

Проведём радиусы OA и OB. В равнобедренном треугольнике AOB (OA = OB) отрезок OM — высота, а значит, и медиана, т. е. AM = MB.

Теорема 20.2

Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли верным это утверждение, если хорда является диаметром.

На рисунке 288 показаны все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности. На рисунке 288, а они не имеют общих точек, на рисунке 288, б — имеют две общие точки, на рисунке 288, в — одну.

Определение

Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.

Касательная к окружности имеет только одну общую точку с кругом, ограниченным этой окружностью. На рисунке 288, в прямая a — касательная к кругу с центром в точке O, A — точка касания.

Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч) касается окружности. Например, на рисунке 289 изображён отрезок AB, который касается окружности в точке С.

Теорема 20.3

(свойство касательной)

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство

На рисунке 290 изображена окружность с центром O, A — точка касания прямой a и окружности. Надо доказать, что OA ⊥ a.

Предположим, что это не так, т. е. отрезок OA — наклонная к прямой a. Тогда из точки O опустим перпендикуляр OM на прямую a (рис. 291). Поскольку точка A — единственная общая точка прямой a и круга с центром O, то точка M не принадлежит этому кругу. Отсюда OM =  MB + OB, где точка B — точка пересечения окружности и перпендикуляра OM. Отрезки OA и OB равны как радиусы окружности. Таким образом, OM > OA. Получили противоречие: перпендикуляр OM больше наклонной OA. Следовательно, OA ⊥ a.

Теорема 20.4

(признак касательной к окружности)

Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Доказательство

На рисунке 290 изображена окружность с центром в точке O, отрезок OA — её радиус, точка A принадлежит прямой a, OA ⊥ a. Докажем, что прямая a — касательная к окружности.

Пусть прямая a не является касательной, а имеет ещё одну общую точку B с окружностью (рис. 292). Тогда ∆AOB — равнобедренный (OA = OB как радиусы). Отсюда ∠OBA = ∠OAB = 90°. Получаем противоречие: в треугольнике AOB есть два прямых угла. Следовательно, прямая a является касательной к окружности.

Следствие

Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Докажите это следствие самостоятельно.

Задача. Докажите, что если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.

Решение. На рисунке 293 изображена окружность с центром O. Прямые AB и AC — касательные, точки B и C — точки касания. Надо доказать, что AB = AC.

Проведём радиусы OB и OC в точки касания. По свойству касательной OB ⊥ AB и OC ⊥ AC. В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC.

1. Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?
2. Чему равен угол между хордой, отличной от диаметра, и диаметром, делящим эту хорду пополам?
3. Опишите все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности.
4. Какую прямую называют касательной к окружности?
5. Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности?
6. Сформулируйте признак касательной к окружности.
7. Каким свойством обладают касательные, проведённые к окружности через одну точку?

Практические задания

507.Начертите окружность с центром O, проведите хорду AB. Пользуясь угольником, разделите эту хорду пополам.

508.Начертите окружность с центром O, проведите хорду CD. Пользуясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный хорде CD.

509.Начертите окружность, отметьте на ней точки A и B. Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках A и B.

510.Проведите прямую a и отметьте на ней точку M. Пользуясь угольником, линейкой и циркулем, проведите окружность радиуса 3 см, которая касается прямой a в точке M. Сколько таких окружностей можно провести?

Упражнения

511.На рисунке 294 точка O — центр окружности, диаметр CD перпендикулярен хорде AB. Докажите, что ∠AOD = ∠BOD.

512.Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

513.Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

514.Верно ли, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?

515.Прямая CD касается окружности с центром O в точке A, отрезок AB — хорда окружности, ∠BAD = 35° (рис. 295). Найдите ∠AOB.

516.Прямая CD касается окружности с центром O в точке A, отрезок AB — хорда окружности, ∠AOB = 80° (см. рис. 295). Найдите ∠BAC.

517.Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая a удалена от её центра на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. В каком случае прямая a является касательной к окружности?

518.В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°. Докажите, что:

1)прямая BC является касательной к окружности с центром A, проходящей через точку C;

2)прямая AB не является касательной к окружности с центром C, проходящей через точку A.

519.Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

520.В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB, перпендикулярную ему. Докажите, что ∠AOB = 120°.

521.Найдите угол между радиусами OA и OB окружности, если расстояние от центра O окружности до хорды AB в 2 раза меньше: 1) длины хорды AB; 2) радиуса окружности.

522.В окружности провели диаметр AB и хорды AC и CD так, что AC = 12 см, ∠BAC = 30°, AB ⊥ CD. Найдите длину хорды CD.

523.Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB, A и B — точки касания, ∠OAB = 20°. Найдите ∠AMB.

524.Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке C. Найдите ∠ACB.

525.Через точку C окружности с центром O провели касательную к этой окружности, AB — диаметр окружности. Из точки A на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.

526.Прямая AC касается окружности с центром O в точке A (рис. 296). Докажите, что угол BAC в 2 раза меньше угла AOB.

527.Отрезки AB и BC — соответственно хорда и диаметр окружности, ∠ABC = 30°. Через точку A провели касательную к окружности, пересекающую прямую BC в точке D. Докажите, что ∆ABD — равнобедренный.

528.Известно, что диаметр AB делит хорду CD пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что CD — также диаметр.

529.Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой в данной точке.

530.Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.

531.Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой.

532.Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B, пересекаются в точке K, ∠AKB = 120°. Докажите, что AK + BK = OK.

533.Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке M и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков BC и BM равна половине периметра треугольника ABC.

534.Через точку C проведены касательные AC и BC к окружности, A и B — точки касания (рис. 297). На окружности взяли произвольную точку M, лежащую в одной полуплоскости с точкой C относительно прямой AB, и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые AC и BC в точках D и E соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не зависит от выбора точки M.

Упражнения для повторения

535.Докажите, что середина M отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку M и концы которого принадлежат этим прямым.

536.Отрезки AB и CD лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку M выбрали так, что треугольник AMB — равнобедренный с основанием AB. Докажите, что ∆CMD также является равнобедренным с основанием CD.

537.На стороне MK треугольника MPK отметили точки E и F так, что точка E лежит между точками M и F, ME = EP, PF = FK. Найдите угол M, если ∠EPF = 92°, ∠K = 26°.

538.В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BM, из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр MK, ∠ABM = ∠KMC. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

539.Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке 298. Какую фигуру надо поставить следующей?

Ïðÿìàÿ (MN), èìåþùàÿ ñ îêðóæíîñòüþ òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó (A), íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè.

Îáùàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå òî÷êîé êàñàíèÿ.

Âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ êàñàòåëüíîé, è ïðèòîì ïðîâåäåííîé ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó îêðóæíîñòè, êàê òî÷êó êàñàíèÿ, äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.

Òåîðåìà.

Åñëè ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ðàäèóñó â åãî êîíöå, ëåæàùåì íà îêðóæíîñòè, òî ýòà ïðÿìàÿ — êàñàòåëüíàÿ.

Ïóñòü O — öåíòð íåêîòîðîãî êðóãà è OA êàêîé-íèáóäü åãî ðàäèóñ. ×åðåç åãî êîíåö A ïðîâåäåì MN ⊥ OA.Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìàÿ MN — êàñàòåëüíàÿ, ò.å. ÷òî ýòà ïðÿìàÿ èìååò ñ îêðóæíîñòüþ òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó A.

Äîïóñòèì ïðîòèâíîå: ïóñòü MN èìååò ñ îêðóæíîñòüþ åùå äðóãóþ îáùóþ òî÷êó, íàïðèìåð B. Òîãäà ïðÿìàÿ OB áûëà áû ðàäèóñîì è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíÿëàñü áû OA.

Íî ýòîãî áûòü íå ìîæåò, òàê êàê, åñëè OA — ïåðïåíäèêóëÿð, òî OB äîëæíà áûòü íàêëîííîé ê MN, à íàêëîííàÿ áîëüøå ïåðïåíäèêóëÿðà.

Îáðàòíàÿ òåîðåìà.

Åñëè ïðÿìàÿ êàñàòåëüíàÿ ê îêðóæíîñòè, òî ðàäèóñ, ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàñàíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðåí ê íåé.

Ñëåäñòâèå.

×åðåç âñÿêóþ äàííóþ íà îêðóæíîñòè òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ ê ýòîé îêðóæíîñòè è ïðèòîì òîëüêî îäíó, òàê êàê ÷åðåç ýòó òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè ïåðïåíäèêóëÿð, è ïðèòîì òîëüêî îäèí, ê ðàäèóñó, ïðîâåäåííîìó â íåå.

Òåîðåìà.

Êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíàÿ õîðäå, äåëèò â òî÷êå êàñàíèÿ äóãó, ñòÿãèâàåìóþ õîðäîé, ïîïîëàì.

Ïóñòü ïðÿìàÿ AB êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè â òî÷êå M è ïàðàëëåëüíà õîðäå ÑD. Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ∪CM= ∪MD.

Ïðîâåäÿ ÷åðåç òî÷êó êàñàíèÿ äèàìåòð ME, ïîëó÷àåì: EM ⊥ AB è ñëåäîâàòåëüíî, EM ⊥ ÑD. Ïîýòîìó ÑM=MD.

Çàäà÷à.

×åðåç äàííóþ òî÷êó ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ ê äàííîé îêðóæíîñòè.

Åñëè äàííàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ íà îêðóæíîñòè, òî ïðîâîäÿò ÷åðåç íåå ðàäèóñ è ÷åðåç êîíåö ðàäèóñà ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïðÿìóþ. Ýòà ïðÿìàÿ áóäåò èñêîìîé êàñàòåëüíîé.

Ðàññìîòðèì òîò ñëó÷àé, êîãäà òî÷êà äàíà âíå êðóãà.

Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè ê îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì O êàñàòåëüíóþ ÷åðåç òî÷êó A. Äëÿ ýòîãî èç òî÷êè A, êàê èç öåíòðà, îïèñûâàåì äóãó ðàäèóñîì AO, à èç òî÷êè O, êàê öåíòðà, ïåðåñåêàåì ýòó äóãó â òî÷êàõ B è Ñ ðàñòâîðîì öèðêóëÿ, ðàâíûì äèàìåòðó äàííîãî êðóãà.

Ïðîâåäÿ çàòåì õîðäû OB è OÑ, ñîåäèíèì òî÷êó A ñ òî÷êàìè D è E, â êîòîðûõ ýòè õîðäû ïåðåñåêàþòñÿ ñ äàííîé îêðóæíîñòüþ. Ïðÿìûå AD è AE — êàñàòåëüíûå ê îêðóæíîñòè O. Äåéñòâèòåëüíî, èç ïîñòðîåíèÿ âèäíî, ÷òî òðåóãîëüíèêè AOB è AOÑ ðàâíîáåäðåííûå (AO = AB =AÑ) ñ îñíîâàíèÿìè OB è OÑ, ðàâíûìè äèàìåòðó êðóãà O.

Òàê êàê OD è OE — ðàäèóñû, òî D — ñåðåäèíà OB, à E — ñåðåäèíà OÑ, çíà÷èò AD è AE — ìåäèàíû, ïðîâåäåííûå ê îñíîâàíèÿì ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ, è ïîòîìó ïåðïåíäèêóëÿðíû ê ýòèì îñíîâàíèÿì. Åñëè æå ïðÿìûå DA è EA ïåðïåíäèêóëÿðíû ê ðàäèóñàì OD è OE, òî îíè — êàñàòåëüíûå.

Ñëåäñòâèå.

Äâå êàñàòåëüíûå, ïðîâåäåííûå èç îäíîé òî÷êè ê îêðóæíîñòè, ðàâíû è îáðàçóþò ðàâíûå óãëû ñ ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé ýòó òî÷êó ñ öåíòðîì.

Òàê AD=AE è ∠OAD = ∠OAE ïîòîìó, ÷òî ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè AOD è AOE, èìåþùèå îáùóþ ãèïîòåíóçó AO è ðàâíûå êàòåòû OD è OE (êàê ðàäèóñû), ðàâíû. Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ïîä ñëîâîì “êàñàòåëüíàÿ” ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñîáñòâåííî “îòðåçîê êàñàòåëüíîé” îò äàííîé òî÷êè äî òî÷êè êàñàíèÿ.

Относительное положение прямой и окружности

Прямая относительно окружности может находиться в следующих трех положениях:

1. Расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса. В этом случае все точки прямой лежат вне круга.
2. Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. В этом случае прямая имеет точки, лежащие внутри круга и так как прямая бесконечна в обе стороны, то она пересекается сокружностью в 2 точках.
3. Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Прямая — касательная.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.

Теорема. Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая — касательная.

Пусть O (рис) — центр некоторого круга и OA какой-нибудь его радиус. Через его конец A проведем MN ^ OA.

Требуется доказать, что прямая MN — касательная, т.е. что эта прямая имеет с окружностью только одну общую точку A.

Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B.

Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.

Но этого быть не может, так как, если OA -перпендикуляр, то OB должна быть наклонной к MN, а наклонная больше перпендикуляра.

Обратная теорема. Если прямая касательна к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.

Пусть MN — касательная к окружности, A — точка касания и O — центр этой окружности.

Требуется доказать, что OA^MN.

Допустим противное, т.е. предположим, что перпендикуляром, опущенным из O на MN, будет не OA , а какая-нибудь другая прямая, например, OB.

Возьмем BС = AB и проведем OС.

Тогда OA и OС будут наклонные, одинаково удаленные от перпендикуляра OB, и следовательно, OС = OA.

Из этого следует, что окружность, учитывая наше предположение, будет иметь с прямой MN две общие точки: A  и  С , т.е. MN будет не касательная, а секущая, что противоречит условию.

Следствие. Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.

Теорема. Касательная, параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Пусть прямая AB (рис.) касается окружности в точке M и параллельна хорде СD.

Требуется доказать, что ÈCM = ÈMD.

Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EM ^ AB, и следовательно, EM ^ СВ.

Поэтому СM=MD.

Задача. Через данную точку провести касательную к данной окружности.

Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.

Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.

Пусть требуется (рис.) провести к окружности с центром O касательную через точку A.

Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС, соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью.

Прямые AD и AE — касательные к окружности O.

Действительно, из построения видно, что тр-ки AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС, равными диаметру круга O.

Так как OD и OE — радиусы, то D — середина OB, а E — середина OС, значит AD и AE — медианы, проведенные к основаниям равнобедренных тр-ков, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE, то они — касательные.

Следствие. Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.

Так AD=AE и ÐOAD = ÐOAE (рис.), потому что прямоугольные тр-ки AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны.

Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.

Задача. Провести касательную к данной окружности O параллельно данной прямой AB (рис.).

Опускаем на AB из центра O перпендикуляр OС и через точку D, в которой этот перпендикуляр пересекается с окружностью, проводим EF || AB.

Искомая касательная будет EF.

Действительно, так как OС ^ AB и EF || AB, то EF ^ OD, а прямая, перпендикулярная к радиусу в его конце, лежащем на окружности — касательная.

Задача. К двум окружностям O и O1 провести общую касательную (рис.).

Анализ. Предположим, что задача решена.

Пусть AB будет общая касательная, A и B — точки касания.

Очевидно, что если мы найдем одну из этих точек, например, A, то затем легко найдем и другую.

Проведем радиусы OA и O1B. Эти радиусы, будучи перпендикулярны к общей касательной, параллельны между собой.

Поэтому, если из O1 проведем O1С || BA, то тр-к OСO1 будет прямоугольный при вершине С.

Вследствие этого, если опишем из O, как центра, радиусом OС окружность, то она будет касаться прямой O1С в точке С.

Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA – СA= OA — O1B, т.е. он равен разности радиусов данных окружностей.

Построение. Из центра O описываем окружность радиусом, равным разности данных радиусов.

Из O1 проводим к этой окружности касательную O1С (способом, указанным в предыдущей задаче).

Через точку касания С проводим радиус OС и продолжаем его до встречи с данной окружностью в точке A. Наконец из A проводим AB параллельно СO1.

Совершенно таким же способом мы можем построить другую общую касательную A1B1 (рис.). Прямые AB и A1B1 называют внешними общими касательными.

Можно еще провести две внутренние касательные следующим образом:

Анализ. Предположим, что задача решена (рис.). Пусть AB — искомая касательная.

Проведем радиусы OA и O1B в точки касания A и B. Так как эти радиусы оба перпендикулярны к общей касательной, то они параллельны между собой.

Поэтому, если из O1 проведем O1С || BA и продолжим OA до точки С, то OС будет перпендикуляр к O1С.

Вследствие этого окружность, описанная радиусом OС из точки O, как центра, будет касаться прямой O1С в точке С.

Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA+AС = OA+O1B, т.е. он равен сумме радиусов данных окружностей.

Построение. Из O как центра, описываем окружность радиусом, равным сумме данных радиусов.

Из O1 проводим к этой окружности касательную O1С.

Точку касания С соединяем с O.

Наконец через точку A, в которой OС пересекается с данной окружностью, проводим AB = O1С.

Подобным же способом можем построить другую внутреннюю касательную A1B1.

Общее определение касательной

Пусть к окружности с центром (рис.) проведены через точку A касательная AT и какая-нибудь секущая AM.

Станем вращать эту секущую вокруг точки A так, чтобы другая точка пересечения B все ближе и ближе придвигалась к A.

Тогда перпендикуляр OD, опущенный из центра на секущую, будет все больше и больше приближаться к радиусу OA, и угол AOD может стать меньше всякого малого угла.

Угол MAT, образованный секущей и касательной, равен углу AOD (вследствие перпендикулярности их сторон).

Поэтому при неограниченном приближении точки B к A угол MAT также может стать как угодно мал.

Это выражают иными словами так:

касательная есть предельное положение, к которому стремится секущая, проведенная через точку касания, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается к точке касания.

Это свойство принимают за определение касательной, когда речь идет о какой угодно кривой.

Так, касательной к кривой AB (рис.) называется предельное положение MT, к которому стремится секущая MN, когда точка пересечения P неограниченно приближается к M.

Заметим,что определяемая таким образом касательная может иметь с кривой более одной общей точки (как это видно на рис).