Какими свойствами не обладает вектор

Предварительные сведения

Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.

Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Обозначение: Двумя буквами: $overline{AB}$ — (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

Обозначение: $overline{a}↑↑overline{b}$

Обозначение: $overline{a}↑↓overline{d}$

Обозначение: $|overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.

Свойства сложения векторов

Введем свойства сложения для трех векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$:

1. Коммутативность сложения векторов:

   $overline{α}+overline{β}=overline{β}+overline{α}$

2. Ассоциативность трех векторов по сложению:

   $(overline{α}+overline{β})+overline{γ}=overline{α}+(overline{β}+overline{γ})$

3. Сложение с нулевым вектором:

   $overline{α}+overline{0}=overline{α}$

4. Сложение противоположных векторов

   $overline{α}+(overline{-α})=overline{0}$

Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Свойства умножения вектора на число

Введем свойства умножения для двух векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и чисел $a$ и $b$.

1. $a(overline{α}+overline{β})=aoverline{α}+aoverline{β}$
2. $overline{α}(a+b)=overline{α}a+overline{α}b$
3. $(ab)overline{α}=a(boverline{α})=b(aoverline{α})$
4. $1cdot overline{α}=overline{α}$

Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Пример задачи

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектор представляет собой направленный сегмент, который обозначается (
A B
) (начиная с точки (
A
), заканчивается в точке (
B
)) или (
overline{a}
)

Если концы вектора задаются по их координатам в пространстве (
A=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
), (
B=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
) , то координаты вектора

(
A B=left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}right)
)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модуль (длина) вектора (
overline{c}=left(c_{1}, c_{2}, c_{3}right)
) представляет собой число, равное расстоянию от начала до конца вектора, оно вычисляется по формуле:

(
overline{c}=sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}
)

Вектор называется одиночным, если его длина равна единице. Вектор называется нулевым, если его длина равна нулю.

Векторы (
overline{a}
) и
(
overline{b}
) называются коллинеарными, если они либо лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Суммой векторов (
overline{a}
) и (
overline{b}
) (конец вектора (
overline{a}
) совпадает с началом (
overline{b}
) называется вектор (
overline{c}
) , начало которого совпадает с началом вектора (
overline{a}
), конец – с концом вектора (
b
).Графически это выглядит так, как показано на рисунке (правило треугольника)

Операция сложения векторов обладает такими свойствами
1.(
overline{a}+overline{b}=overline{b}+overline{a}
)

(
(overline{a}+overline{b})+overline{c}=a+(overline{b}+overline{c})
)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разностью векторов (
overline{a}
) и (
b
) называется такой вектор (
overline{c}
) , который в сумме с вектором (
overline{b}
) дает вектор (
overline{a}
).

Если векторы (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
) и (
overline{b}=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
) заданы своими координатами, то сумма/разность этих векторов

(
overline{a} pm overline{b}=left(a_{1} pm b_{1}, a_{2} pm b_{2}, a_{3} pm b_{3}right)
)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Произведением вектора (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
) на число (
alpha
) называется вектор (
alpha cdot overline{a}=left(alpha a_{1}, alpha a_{2}, alpha a_{3}right)
) , который параллелен вектору (
overline{a}
) , сонаправлен (
overline{a}
) , если (
alpha>0
) , и противоположно направлен, если (
alphaОПРЕДЕЛЕНИЕ

Скалярным произведением векторов (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
) и (
overline{b}=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
) называется число (
(overline{a}, overline{b})
), равное сумме произведений соответствующих координат:

(
(overline{a}, overline{b})=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}
)

Также скалярное произведение векторов можно вычислить как произведение модулей векторов на косинус угла между ними:

(
(overline{a}, overline{b})=|overline{a}||overline{b}| cos (overline{a}, overline{b})
)

Свойства скалярного произведения

1.(
(overline{a}, overline{b})=(overline{b}, overline{a})
)

2.(
(overline{a}, overline{b}+overline{c})=(overline{a}, overline{b})+(overline{a}, overline{c})
)

3.(
(lambda overline{a}, overline{b})=(overline{a}, lambda overline{b})=lambda(overline{a}, overline{b})
)

4.(
(overline{a}, overline{a}) geq 0
)

5.(
(overline{a}, overline{a})=|overline{a}|^{2}
)

6.(
(overline{a}, overline{b})=0 Leftrightarrow overline{a} perp overline{b}
)

Векторным произведением векторов (
a
) и (
overline{b}
) называется вектор (
overline{c}=overline{a} times overline{b}
) (или (
overline{c}=[overline{a}, b]
) )такой, что:

1) вектор (
overline{c}
) ортогонален векторам (
overline{a}
) и (
overline{b}
) :

(
overline{c} perp overline{a}, overline{c} perp overline{b}
)

2) векторы (
overline{a}
), (
overline{b}
) и (
overline{c}
) образуют правую тройку;

3) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах (
overline{a}
) и (
overline{b}
) :

(
|overline{c}|=|overline{a}| cdot|overline{b}| cdot sin (overline{a}, overline{b})
)

Если векторы (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
) и (
overline{b}=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
) заданы своими координатами, то векторное произведение находится по формуле:

(
[overline{a}, overline{b}]=left|begin{array}{ccc}{overline{i}} & {overline{j}} & {k} \ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}}end{array}right|
)

Свойства векторного произведения

1.(
[overline{a}, overline{b}]=-[overline{b}, overline{a}]
)

2.(
[overline{a}, overline{b}+overline{c}]=[overline{a}, overline{b}]+[overline{a}, overline{c}]
)

3.(
[lambda overline{a}, overline{b}]=[overline{a}, lambda overline{b}]=lambda[overline{a}, overline{b}]
)

4.(
[overline{a}, overline{b}]=overline{0}
) если векторы (
a
) и (
overline{b}
)коллинеарные

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Смешанным произведением (
overline{a}
), (
overline{b}
) и (
overline{c}
) векторов называется скалярное произведение вектора (
overline{a}
) на векторное произведение векторов (
overline{b}
) и (
overline{c}
) :

(
(overline{a}, overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{b} times overline{c})
)

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение равно нулю, если векторы (
overline{a}
), (
overline{b}
) и (
overline{c}
) – компланарны

2. Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов (
overline{a}
), (
overline{b}
) и (
vec{C}
) равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах

3. Смешанное произведение векторов (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
), (
overline{b}=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
), (
overline{a}=left(a_{1}, a_{2}, a_{3}right)
), (
overline{b}=left(b_{1}, b_{2}, b_{3}right)
) и (
overline{c}=left(c_{1}, c_{2}, c_{3}right)
) , заданных своими координатами, равно значению определителя, составленного из координат этих векторов:

(
(overline{a}, overline{b}, overline{c})=left|begin{array}{lll}{a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}} \ {c_{1}} & {c_{2}} & {c_{3}}end{array}right|
)

4. Если тройка векторов (
overline{a}
), (
overline{b}
) и (
overline{c}
) правая, то смешанное произведение (
(overline{a}, b, overline{c})>0
) , если левая, то (
(overline{a}, overline{b}, overline{c})5.(
(lambda overline{a}, overline{b}, overline{c})=(overline{a}, lambda overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{b}, lambda overline{c})=lambda(overline{a}, overline{b}, overline{c})
)

6.(
(overline{a}+d, overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{b}, overline{c})+(d, overline{b}, overline{c})
)

(
(overline{a}, overline{b}, overline{c})+(overline{b}, overline{c}, overline{a},)+(overline{c}, overline{a}, overline{b})=0
)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1