Какими силами обусловлены упругие свойства тел
Изменение размеров и формы тел под
действием приложенных сил называется деформацией.
Если после прекращения действия сил, вызвавших деформацию, тело принимает
первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Упругие деформации происходят в том
случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый,
определенный для каждого конкретного тела предел. При превышении этого предела
тело получает остаточные (пластические) деформации, т.е. такие
деформации, которые сохраняются и после прекращения действия силы. Все
возможные виды упругих деформаций твердого тела могут быть сведены к двум
основным: растяжению-сжатию и сдвигу.
Диаграмма деформации.
Качественное поведение функциональной связи между относительной деформацией ε и напряжением σ представлено графически на рис. 16. При малых деформациях
(прямая линия 0-П) наблюдается область пропорциональной упругой деформации.
Здесь выполняется закон Гука. В области П-У деформация – также упругая, но
закон Гука не справедлив. Начиная с точки У, вплоть до точки Т наблюдается
область остаточных неупругих деформаций. Интервалу Т-Р соответствует область
текучести, когда приложение незначительного усилия приводит к повышенной
необратимой деформации. Вблизи точки Р текучесть прекращается, и для дальнейшего
деформирования тела требуется приложение повышенного усилия. Однако это
дополнительное усилие приводит к разрушению тела. Ниже перечислены названия
особых точек и областей деформации:
П – предельная точка пропорциональной деформации,
У – предел упругости,
0-У – область упругих деформаций,
Т – предел текучести,
У-Т – область остаточных деформаций,
Т-Р – область текучести,
Р – предел прочности, точка разрыва.
Рис. 16
Продольное
растяжение-сжатие (рис. 17 и 18). Если
к концам однородного стержня постоянного сечения приложить направленные вдоль
его оси силы F1 и F2, действие которых равномерно
распределено по всему сечению, причем F1
= – F2, то
первоначальная длина стержня l
получит положительное (при растяжении), либо
отрицательное (при сжатии) приращение Δl = l
– l
и станет равной l.
При этом каждый произвольно выбранный элемент длины стержня δl получает приращение Δ(δl), пропорциональное его
длине, так что для всех элементов стержня отношение Δ(δl)/δl оказывается одним итем же. Естественно поэтому в
качестве величины, характеризующей деформацию стержня, взять относительное
изменение его длины: ε = Δl/l0.
Относительное удлинение ε является безразмерной
величиной. В случае растяжения оно положительно, а в случае сжатия отрицательно.
Закон
Гука для стержней из однородного материала–
относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе,
приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:
ε = a∙F
/ S = a∙s.
Коэффициент пропорциональности aназывается
коэффициентом упругости (упругой податливости). Он зависит только
от свойств материала стержня. Величина s, равная отношению силы F к величине поверхности S, на которую сила действует, называется напряжением F / S = s. Если сила направлена по
нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена
по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется
тангенциальным (или касательным). (Нормальное напряжение принято обозначать
символом s,
тангенциальное – τ). Итак, относительное удлинение оказывается пропорциональным
нормальному напряжению, и коэффициент упругости aчисленно
равен относительному удлинению при напряжении, равном единице.
Наряду с коэффициентом упругости aдля
характеристики упругих свойств материала пользуются обратной ему величиной Е = 1/ɑ,
которая называется модулем Юнга.
Заменяя ɑчерез Е в формуле ε= ɑ∙s, получим другую форму
закона Гука:
= (1/Е) ∙s.
Рис. 17 Рис.
18 Рис. 19
Следовательно, модуль Юнга равен
нормальному напряжению, при котором относительное удлинение равно единице (т.
е. приращение длины Δl равно первоначальной
длине l0,если бы столь большие
упругие деформации были доступны). На самом деле, при значительно меньших
напряжениях происходит разрыв стержня, а предел упругости достигается еще
раньше.
С учетом формул s = F / S и = Δl /
l0 из
закона Гука
= s
/Е следует
формула упругой силы:
F
= (Е∙S / l0)×Δl = k∙Δl,
где k– постоянный для данного
стержня коэффициент, который для пружин называется жесткостью пружины.
Изменение длины стержня при деформации
сопровождается изменением 
относительным поперечным
расширением или сжатием:
ε‘ = Δ d /
d.
Обычно ε
и ε‘ имеют противоположные знаки: при
растяжении ε положительно, a ε‘
отрицательно, при сжатии
отрицательно, a ‘положительно.
Опыт дает, что в области упругих деформаций ε‘
пропорционален ε :
ε‘ = – μ.∙ε,
где μ–
коэффициент поперечного сжатия или коэффициент
Пуассона (положительный коэффициент, зависящий только от свойств
материала).
Деформация
сдвига (рис. 19). Возьмем однородное тело, имеющее
форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням
силы 
и 
(
= – ),
направленные параллельно этим граням. Если действие сил будет равномерно
распределено по всей поверхности соответствующей грани S, то в любом сечении, параллельном этим
граням, возникнет тангенциальное напряжение τ = F
/ S.
Под действием напряжения тело деформируется так, что одна грань смещается
относительно другой грани на некоторое расстояние а. Если тело мысленно
разбить на элементарные горизонтальные слои, то каждый слой окажется сдвинутым
относительно соседних с ним слоев.
При деформации сдвига любая прямая,
первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый
угол j.
Следовательно, отношение сдвига δа двух произвольно взятых
слоев к расстоянию между этими слоями δb будет одинаково для
любой пары слоев. Это отношение естественно
взять в качестве характеристики деформации
сдвига : 
.
Величина gназывается относительным сдвигом. В силу малости угла
j можно
положить tg j
≈ j.
Следовательно, относительный сдвиг gоказывается
равным углу сдвига j
(выраженному в радианах). Опыт показывает, что для малых деформаций
относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:
Коэффициент G зависит
только от свойств материала и называется модулем
сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол
сдвига оказался бы равным 45° (tg j = 1), если бы при столь больших
деформациях не был превзойден предел упругости.
Кручение
круглого стержня (рис. 20). Если круглый стержень закрепить одним концом
неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент (момент пары сил) 
,
имеющий
направление вдольоси стержня, то
стержень получит такую деформацию, при которой одно основание повернется по
отношению к другому на некоторый угол j.
Деформация кручения – это пример
неоднородного сдвига. Действительно, если мысленно разбить стержень на
элементарные слои, перпендикулярные к его оси, то
закручивание приведет к сдвигу
каждого из таких слоев по риотношению к соседним
слоям. Правда, этот сдвиг Рис. 20
будет неоднороден: участок слоя ΔS получает по отношению к аналогичному участку смежного слоя
тем большее смещение, чем дальше он отстоит от оси стержня. Угол
закручивания стержня определяется следующим
выражением: Рис. 48
,
где l –
длина стержня,
R – радиус его сечения, G – модуль
сдвига, М –
вращательный момент (момент сил).
Энергия
упругой деформации. Упруго деформированное
тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в начальное
состояние, может, подобно сжатой или растянутой пружине, совершить работу над
внешними телами, т.е. обладает некоторым запасом энергии. Поскольку эта энергия
обусловлена взаимным расположением элементов тела, она представляет собой
потенциальную энергию WП.
Запас энергии деформированного тела равен работе, которая совершается внешними
силами при деформации WП
= A. Вычислим энергию упруго
растянутого стержня. При растяжении на стержень необходимо действовать силой,
модуль которой определяется выражением F
= k∙Δl. Работа этой силы равна: 
, где буквой х
обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации
изменяется от 0 до Δl. Сила F, соответствующая
удлинению х,
согласно формуле F
= (Е∙S / l0)×Δl = k∙Δl, равна
F
= k∙x = (Е∙S / l0)× x.
Следовательно,
Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на l0,
заменяя затем отношение Δl /
l0 относительным
удлинением e
= Δl
/ l
и учитывая, наконец, что произведение S∙l равно объему стержня V, получим:
.
Введем в рассмотрение плотность энергии w, которую определим как отношение
энергии ΔW
к тому объему ΔV,
в котором она заключена. Поскольку в нашем случае стержень однороден и деформация
является равномерной, т. е. одинаковой в разных точках стержня, энергия
распределена в стержне также равномерно с постоянной плотностью. Поэтому можно
считать, что выражение
определяет плотность энергии упругой деформации при
растяжении (или при сжатии). Аналогичным образом можно получить, что
плотность энергии упругой деформации при сдвиге равна:
.
В области пропорциональной деформации справедливы
также эквивалентные формулы:
и 
.
Макеты страниц
ГЛАВА VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТЕЛ
§ 40. Упругие свойства тел
Любое тело под действием сил, которые уравновешиваются вокруг его центра массы, испытывает более или менее значительную деформацию.
Деформацией называют смещение частиц тела относительно друг друга, а также изменение среднего расстояния между частицами тела. Чтобы судить о деформации, мысленно разделяют твердое тело на отдельные «волокна», или «слои». Иногда для наблюдения деформации на поверхности тела рисуют сетку и обнаруживают деформацию тела по тем изменениям, которые попутно испытывает эта нарисованная на поверхности тела сетка.
Важнейшими деформациями являются: всестороннее сжатие и всестороннее растяжение; продольное сжатие и продольное растяжение; сдвиг; кручение; поперечный и продольный изгибы. Все эти деформации, равно как и любые другие, можно свести всего к двум основным деформациям — продольному растяжению и сжатию, осуществленным одновременно по разным направлениям. Как мы увидим ниже, изгиб сводится к растяжению волокон выпуклой поверхности стержня и сжатию волокон вогнутой. Сдвиг сводится к одновременному сжатию и растяжению в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Если по устранении внешних сил деформация исчезает, то тело называют упругим; если же остается заметная «остаточная» деформация, тело называют пластичным. Степень упругости измеряют отношением работы, которая может быть произведена телом при постепенном устранении деформирующих сил, к работе, затраченной на деформацию тела.
Под упругостью в широком смысле слова подразумевают вообще присущее телам стремление восстанавливать временно измененный внешними силами объем или временно утраченную форму. Различают объемную упругость и упругость формы. Объемная упругость является универсальным свойством всех тел, включая жидкости и газы, хотя газы тем и отличаются от жидкостей, что их объемная упругость односторонняя: они противодействуют сжатию, но не
противодействуют расширению. Упругость формы присуща твердым телам. Тело пластично, если его упругость формы выражена слабо.
Одно и то же тело в зависимости от внешних условий — температуры и давления — может быть упругим или же пластичным. Такие тела, как сталь, резина, дерево, при обычных условиях упруги. Свинец, сырая глина, воск пластичны. Но под давлением в несколько тысяч атмосфер или при высокой температуре сталь становится такой же пластичной, как свинец; свинец же, замороженный в жидком воздухе, приобретает все свойства упругого материала.
Можно ли рассматривать явления упругости как чисто механическую форму движения? Смещение материальных частиц тела играет, конечно, самую существенную роль при деформации тела. Но исчерпываются ли явления, определяющие упругие свойства тел, механическим смещением частиц? Нет, упругость представляет собой сложное сочетание разнообразных явлений, из которых некоторые никак не могут быть отнесены к механической форме движения. Упругость газов всецело происходит вследствие теплового движения молекул газа. В твердых телах силы, возникающие при деформации и стремящиеся вернуть смещенные частицы тела в их положения равновесия, имеют электрическое происхождение. Молекулярные силы, имеющие электрическую природу, заметно влияют на упругость сжатых газов. Вместе с тем тепловое движение оказывает решающее влияние на упругость твердых тел. Таким образом, упругие свойства тел определяются взаимосвязью механических, электрических и тепловых явлений.
При исследовании, схематизируя явления упругости и следуя Гуку, рассматривают упругость как связь между деформацией и напряжением. При этом отвлекаются от молекулярного строения тел и природы упругих сил, от влияния теплового движения и т. д. Это упрощенное понимание упругости и закон Гука, устанавливающий, что небольшие деформации пропорциональны напряжению, приняты за основу в математической теории упругости. Математическая теория упругости является фундаментом для громадного количества инженерных расчетов. Применение этой теории к проблемам техники вызвало развитие учения о сопротивлении материалов, учения о вибрациях в машинах и сооружениях и других дисциплин. На математической теории упругости основано учение о звуке. Кроме того, понятия и теоремы математической теории упругости исторически сыграли большую роль в разработке оптики и учения об электричестве.
В кристаллофизике явления упругости трактуются как результат электрических взаимодействий частиц, расположенных в узлах кристаллической решетки (§§ 124 и 130). Применение законов электрического взаимодействия частиц в кристаллах позволило рассчитать силы упругости и выявить их зависимость от строения кристалла и электрополярных свойств частиц.
Электрическая теория сил, связующих частицы в кристалле, существенно продвинула вперед наше понимание явлений упругости. Эта теория вскрыла связь между упругостью твердых тел и кристаллообразующими процессами. А это, в свою очередь, по мере развития теоретической кристаллохимии (§ 125), привело к раскрытию зависимости механических свойств от химического строения тел.
Однако картина строго упорядоченного расположения частиц в пространстве по узлам кристаллической решетки и их электрического взаимодействия еще не является полной. Естественно, что оказалось необходимым учесть влияние теплового движения частиц. На этой основе получила свое развитие термодинамическая теория упругости твердых тел.
Сопоставление упомянутых теорий с опытами показало, что в действительности явления упругости еще более сложны, а именно: обнаружилось, что механические свойства тел в высокой мере зависят от мозаической структуры тел, т. е. от того строения, которое получается, когда вместо правильной кристаллической решетки вследствие ее глубоких повреждений образуется сочетание плотно расположенных, различно ориентированных микроскопических кристалликов. Было доказано, что механические свойства кристалла в высокой мере зависят от тех неупругих (пластических, необратимых) деформаций, которым когда-либо ранее подвергался кристалл.
Благодаря инерции частиц тела, пришедших в движение при деформации тела, из столкновения двух противоположных тенденций — податливости и сопротивления — порождаются упругие колебания. Они многообразны (колебания растяжения и сжатия, прогиба, кручения и т. п.).
Механические колебания, вызывающие периодические уплотнения или сдвиги среды, порождают в среде распространение волн упругих колебаний среды. В воздухе упругие колебания, имеющие характер чередующихся уплотнений и разрежений, проявляются как звук, а при больших частотах — как ультразвук. При внезапных больших уплотнениях воздуха картина качественно изменяется: воздух передает ударное возмущение, которое распространяется со скоростью, значительно превышающей скорость звука.
В твердых телах картина распространения упругих колебаний сложнее, чем в газах. Звуковые явления здесь связаны не только с волнами уплотнения, но и с волнами сдвига.
Затухание упругих колебаний в среде вследствие внутреннего трения приводит к преобразованию энергии деформации в энергию молекулярно-теплового движения. Процессы, в которых затрачивается работа на деформацию и на трение, составляют главное русло преобразования механического движения в молекулярно-тепловое.
Упругость — свойство восстанавливать форму тела после прекращения воздействия других тел или полей.
Деформация — изменение формы и размеров твердых тел под действием внешних сил. Деформации могут быть упругими и пластичными.
Упругая деформация — деформация, при которой после прекращения действия внешних сил тело восстанавливает прежние размеры и форму.
Пластическая (остаточная) деформация — деформация, которая не исчезает в теле после прекращения действия внешних сил.
Все виды возможных деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к двум одновременно происходящим деформациям — растяжению (или сжатию) и сдвигу.
Относительная деформация — мера деформации, равная отношению абсолютной деформации Ах к первоначальному значению величины х, характеризующей размеры и форму тела.
Если к концам стержня (рис. 3.14) с площадью поперечного сечения S приложены направленные вдоль его оси внешние силы Fj и Р2 (Fj = F2 = F), то длина стержня I получит положительное (при растягивании) или отрицательное (при сжатии) приращение Al, принятое называть абсолютным удлинением. Изменение длины стержня сопровождается изменением диаметра d стержня, причем при растяжении Al > О, Ad 0, при сжатии — Al 0.
Рис. 3.14
Относительное удлинение (сжатие) — это отношение абсолютного удлинения А? к начальной длине I тела:
Сила упругости Fynp — сила, возникающая при деформации тела и направленная в сторону, противоположную перемещению частиц при деформации.
Напряжение а — физическая величина, равная по модулю силе упругости, действующей на единицу площади поперечного сечения тела:
Закон Гука: в пределах упругой деформации напряжение прямо пропорционально относительной деформации:
где Е — модуль Юнга (модуль Юнга равен напряжению, когда относительное удлинение равно единице, т. е. при е = 1 получаем ст = Е).
Закон Гука справедлив только для упругих деформаций, исчезающих после прекращения действия сил.
Закон Гука можно представить в виде:
Сопоставив данное выражение с формулой закона Гука F = = -кх, где к — жесткость тела, получим:
В зависимости от условий внешнего воздействия различают несколько видов деформации. В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.
Деформация (растяжения) сжатия возникает (рис. 3.15, а), если к концам стержня длиной I и площадью поперечного сечения S прикладываются направленные вдоль его оси силы F] и F2 (Fj = F2 = F), в результате чего длина стержня меняется на величину Д/.
Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок и приложить к нему силу F (рис. 3.15,6), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига определяется из формулы:
где Д/ — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; у — расстояние между слоями (при малых углах имеет место tgy ~ у).
Деформация изгиба характеризуется искривлением оси или срединной поверхности деформируемого тела (балка, стержень) под действием внешних сил (рис. 3.15, в).
Если на середину прямого упругого стержня, свободно наложенного на твердые опорные призмы, действует сила F (рис. 3.15, в), то стержень изгибается. При таком изгибе верхние слои сжимаются, нижние — растягиваются, а некоторый
Рис. 3.15
средний слой, который называют нейтральным, сохраняет длину и только претерпевает искривление.
Деформация кручения характеризуется взаимным поворотом поперечных сечений стержня под влиянием пар сил, действующих в плоскости этих сечений (рис. 3.15, г).
Предел прочности материала стпред — предельное напряжение, при котором тело начинает разрушаться.
Запас прочности — скалярная величина, равная отношению предельного напряжения апред к допустимому стдоп:
Связь между напряжением ст и деформацией в представляют в виде диаграмм напряжений (рис. 3.16).
Рис. 3.1 б