Какими из следующих свойств обладают биномиальные коэффициенты

Соседние файлы в папке GOSY

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В математике биномиальные коэффициенты â€” это коэффициенты в разложении бинома Ньютона по степеням x. Коэффициент при обозначается или и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «число сочетаний из n по k», читается как «це из n по k»):

для натуральных степеней .

Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных действительных чисел . В случае произвольного действительного числа биномиальные коэффициенты определяются как коэффициенты разложения выражения в бесконечный степенной ряд:

Для неотрицательных целых a все коэффициенты с индексами k>a в этом ряду являются нулевыми (т.е. ), и поэтому данное разложение представляет собой конечную сумму (1).

В комбинаторике биномиальный коэффициент для неотрицательных целых чисел n и k интерпретируется как количество сочетаний из n по k, то есть количество всех подмножеств (выборок) размера k в n-элементном множестве.

Биномиальные коэффициенты часто возникают в задачах комбинаторики и теории вероятностей. Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты.

Явные формулы[ | код]

Вычисляя коэффициенты в разложении в степенной ряд, мы получим явные формулы для биномиальных коэффициентов .

Для всех действительных чисел n и целых чисел k:

где  Ð¾Ð±Ð¾Ð·Ð½Ð°Ñ‡Ð°ÐµÑ‚ факториал числа k.

Для неотрицательных целых n и k также справедливы формулы:

Для целых отрицательных показателей степени коэффициенты разложения равны

Треугольник Паскаля[ | код]

Тождество

позволяет расположить биномиальные коэффициенты для неотрицательных целых чисел n, k в виде треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух вышестоящих:

Треугольная таблица, предложенная Паскалем в «Трактате об арифметическом треугольнике» (1654), отличается от выписанной здесь поворотом на 45°. Таблицы для изображения биномиальных коэффициентов были известны и ранее (Тарталье, О. Хайяму и др.).

Строки в треугольнике Паскаля, делённые на (сумма всех чисел в строке), в пределе стремятся к функции нормального распределения.

Визуализация биномиального коэффициента до 4 степени [1]

Свойства[ | код]

Производящие функции[ | код]

Для фиксированного значения n производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов является:

Для фиксированного значения k производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов является:

Двумерной производящей функцией биномиальных коэффициентов для целых является:

Делимость[ | код]

Из теоремы Люка следует, что:

Основные тождества[ | код]

Бином Ньютона и следствия[ | код]

или, в более общем виде,

Свёртка Вандермонда и следствия[ | код]

Получается вычислением коэффициента при в тождестве . Сумма берётся по всем целым , для которых слагаемое отлично от нуля. Для произвольных действительных , число ненулевых слагаемых в сумме будет конечно.

Другие тождества[ | код]

Матричные соотношения[ | код]

Если взять квадратную матрицу, отсчитав N элементов по катетам треугольника Паскаля и повернув матрицу на любой из четырёх углов, то детерминант этих четырёх матриц равен ±1 при любом N, причём детерминант матрицы с вершиной треугольника в верхнем левом углу равен 1.

В матрице числа на диагонали i + j = const повторяют числа строк треугольника Паскаля (i, j = 0,1,…). Её можно разложить в произведение двух строго диагональных матриц: нижнетреугольной и получаемой из неё транспонированием. А именно:

где . Обратная матрица к U имеет вид:

Таким образом, можно разложить обратную матрицу к в произведение двух строго диагональных матриц: первая матрица — верхнетреугольная, а вторая получается из первой путём транспонирования, что позволяет дать явное выражение для обратных элементов:

, где i, j , m, n = 0..p.

Элементы обратной матрицы меняются при изменении её размера и, в отличие от матрицы , недостаточно приписать новую строку и столбец. Столбец j матрицы есть многочлен степени j по аргументу i, следовательно, первые p столбцов образуют полный базис в пространстве векторов длины p+1, чьи координаты могут быть интерполированы многочленом равной или меньшей степени p-1. Нижняя строка матрицы ортогональна любому такому вектору.

при , где многочлен степени a.

Если произвольный вектор длины можно интерполировать многочленом степени , то скалярное произведение со строками (нумерация с 0) матрицы равно нулю.
Используя тождество выше и равенство единицы скалярного произведения нижней строки матрицы на последний столбец матрицы , получаем:

Для показателя большего p можно задать рекуррентную формулу:

где многочлен

Для доказательства сперва доказывается тождество:

Если требуется найти формулу не для всех показателей степени, то

Старший коэффициент равен 1, потребуется a-1 значений, чтобы найти другие коэффициенты:

для

Асимптотика и оценки[ | код]

Непосредственно из формулы Стирлинга следует, что для верно .

Целозначные полиномы[ | код]

Нетрудно видеть, что биномиальные коэффициенты являются целозначными полиномами от , т.е. принимают целые значения при целых значениях . Более того, они образуют базис целозначных полиномов, в котором все целозначные полиномы выражаются как линейные комбинации с целыми коэффициентами.[1]

В то же время стандартный базис не позволяет выразить все целочисленные полиномы, используя только целые коэффициенты, так как уже имеет дробные коэффициенты при степенях .

Этот результат обобщается на полиномы многих переменных. А именно, если полином степени имеет вещественные коэффициенты и принимает целые значения при целых значениях переменных, то

где — полином с целыми коэффициентами.[2]

Алгоритмы вычисления[ | код]

Биномиальные коэффициенты могут быть вычислены с помощью формулы , если на каждом шаге хранить значения при . Этот алгоритм особенно эффективен, если нужно получить все значения при фиксированном . Алгоритм требует памяти ( при вычислении всей таблицы биномиальных коэффициентов) и времени (в предположении, что каждое число занимает единицу памяти и операции с числами выполняются за единицу времени).

При фиксированном значении k биномиальные коэффициенты могут быть вычислены по рекуррентной формуле с начальным значением . Для вычисления значения этот метод требует памяти и времени.

Если требуется вычислить коэффициенты при фиксированном значении можно воспользоваться формулой при начальном задании . При каждом шаге итерации числитель уменьшается на (начальное значение ), а знаменатель соответственно увеличивается на (начальное значение ). Для вычисления значения этот метод требует памяти и времени.

См. также[ | код]

• Биномиальное распределение
• Бином Ньютона
• История комбинаторики
• Композиция (теория чисел)
• Разбиение числа
• Треугольник Паскаля
• Треугольное число
• Теорема Люка

Примечания[ | код]

Литература[ | код]

• Биномиальные коэффициенты // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). â€” СПб., 1890—1907.
• Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. â€” 1970. â€” № 6. â€” С. 17—25.
• Кузьмин О. В. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. â€” 2000. â€” Т. 6, № 5. â€” С. 101—109.
• Ландо С. К. Теневое исчисление // VIII летняя школа «Современная математика». â€” Дубна, 2008.
• Винберг Э. Б. Удивительные арифметические свойства биномиальных коэффициентов // Математическое просвещение. â€” 2008. â€” Вып. 12. â€” С. 33–42.
• Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник. Конкретная математика. Математические основы информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. â€” 2-е. â€” М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний; «Вильямс», 1998 — 2009. â€” 703, 784 Ñ. â€” ISBN 95-94774-560-7, 78-5-8459-1588-7.