Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения импульса
В предыдущих разделах рассмотрены три фундаментальных закона природы: закон сохранения импульса, момента импульса и энергии. Следует
понимать, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета.
В самом деле, при выводе этих законов мы пользовались вторым и третьим законами Ньютона, а они применимы только в инерциальных
системах. Напомним также, что импульс и момент импульса сохраняются в том случае, если система замкнутая (сумма всех внешних сил и
всех моментов сил равна нулю). Для сохранения же энергии тела условия замкнутости недостаточно – тело должно быть еще и адиабатически
изолированным (т.е. не участвовать в теплообмене).
Во всей истории развития физики законы сохранения оказались чуть ли не единственными законами, сохранившими свое значение при
замене одних теорий другими. Эти законы тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.
равнозначность всех моментов времени (симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени). Равнозначность следует понимать в
том смысле, что замена момента времени t1 на момент времени t2, без изменения значений
координат и скорости частиц, не изменяет механические свойства системы. Это означает то, что после указанной замены, координаты
и скорости частиц имеют в любой момент времени t2 + t такие же значения, какие имели
до замены, в момент времени t1 + t.
одинаковость свойств пространства во всех точках (симметрия по отношению к сдвигу начала координат). Одинаковость следует понимать
в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое, без изменения взаимного расположения
и скоростей частиц, не изменяет механические свойства системы.
одинаковость свойств пространства по всем направлениям (симметрия по отношению к повороту осей координат). Одинаковость следует
понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на её механических свойствах.
Между законами типа основного уравнения динамики и законами сохранения имеется принципиальная разница. Законы динамики дают нам
представление о детальном ходе процесса. Так, если задана сила, действующая на материальную точку и начальные условия, то можно
найти закон движения, траекторию, величину и направление скорости в любой момент времени и т. п. Законы же сохранения не дают
нам прямых указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены и потому в
природе не происходят.
Таким образом, законы сохранения проявляются как принципы запрета: любое явление, при котором не выполняется хотя бы один из
законов сохранения, запрещено, и в природе такие явления никогда не наблюдаются. Всякое явление, при котором не нарушается ни
один из законов сохранения, в принципе может происходить.
Рассмотрим следующий пример. Может ли покоящееся тело за счет внутренней энергии начать двигаться? Этот процесс не противоречит
закону сохранения энергии. Нужно лишь, чтобы возникающая кинетическая энергия точно равнялась убыли внутренней энергии.
На самом деле такой процесс никогда не происходит, ибо он противоречит закону сохранения импульса. Раз тело покоилось, то его
импульс был равен нулю. А если оно станет двигаться, то его импульс сам собой увеличится, что невозможно. Поэтому внутренняя
энергия тела не может превратиться в кинетическую, если тело не распадётся на части.
Если же допустить возможность распада этого тела на части, то запрет, налагаемый законом сохранения импульса, снимается. При этом
возникшие осколки могут двигаться так, чтобы их центр масс оставался в покое, – а только этого и требует закон сохранения импульса.
Итак, для того чтобы внутренняя энергия покоящегося тела могла превратиться в кинетическую, это тело должно распасться на части.
Если же есть еще один какой-либо закон, запрещающий распад этого тела на части, то его внутренняя энергия и масса покоя будут
постоянными величинами.
Фундаментальность законов сохранения заключается в их универсальности. Они справедливы при изучении любых физических
процессов (механических, тепловых, электромагнитных и др.). Они одинаково применимы в релятивистском и нерелятивистском движении,
в микромире, где справедливы квантовые представления, и в макромире, с его классическими представлениями.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 2 ноября 2017;
проверки требуют 17 правок.
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) — закон, утверждающий, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю[1].
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил.
Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородностью пространства[2].
Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом[3].
Вывод в механике Ньютона[править | править код]
Согласно второму закону Ньютона, для системы из N частиц выполняется соотношение
где — импульс системы:
— импульс материальной точки, а — равнодействующая всех сил, приложенных к частицам системы:
Здесь — сила (или сумма сил, если таковых несколько), действующая на n-ю частицу со стороны m-ой, а — равнодействующая всех внешних сил, приложенных к k-й частице.
Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть . Поэтому вторая сумма в правой части выражения для будет равна нулю, внутренние силы исключаются, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:
Для системы из N частиц, в которой сумма всех внешних сил равна нулю:
и тем более для системы, на частицы которой не действуют внешние силы
( для всех k от 1 до N), имеем
Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
(постоянный вектор).
То есть суммарный импульс системы из N частиц является постоянной величиной. При N = 1 получаем выражение для случая одной частицы. Таким образом, следует вывод[1]:
Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем.
Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, он справедлив и в тех случаях, когда сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю. То есть отсутствие внешних сил, действующих на систему, достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.
Если проекция суммы внешних сил на какое-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.
Связь с однородностью пространства[править | править код]
Согласно теореме Нётер каждому закону сохранения ставится в соответствие некая симметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.
Вывод из закона сохранения энергии[править | править код]
Рассмотрим систему нескольких соударяющихся упругим образом (без превращения части механической энергии в другие формы) частиц с массами и скоростями до столкновений и после столкновений. Закон сохранения энергии имеет вид
Перейдём в систему отсчёта, равномерно и прямолинейно движущуюся со скоростью . Скорости частиц с точки зрения этой системы отсчёта будут до столкновений и после столкновений. Закон сохранения энергии с точки зрения этой системы имеет вид
или
Следовательно , откуда следует . Поскольку скорость произвольна, то последнее равенство будет справедливым только в случае выполнения закона сохранения импульса
[4]
Вывод из формализма Лагранжа[править | править код]
Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела зависящую от обобщённых координат обобщённых скоростей и времени . Здесь точка над обозначает дифференцирование по времени, Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда для каждой -той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: где В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:
,
где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: С учётом того, что вектор — произвольный, последнее требование выполняется при:
Воспользуемся уравнением Лагранжа
Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:
.
Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:
Для релятивистской свободной частицы лагранжиан имеет несколько другую форму: что приводит к релятивистскому определению импульса
В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.
Закон сохранения импульса в квантовой механике[править | править код]
Закон сохранения импульса в изолированных системах выполняется и в квантовой механике[5][6]. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс, как и в классической механике, равен , а когда проявляются волновые свойства частиц, их импульс равен , где — длина волны[7]. В квантовой механике закон сохранения импульса является следствием симметрии относительно сдвигов по координатам[8].
Закон сохранения импульса в теории относительности[править | править код]
Закон сохранения импульса выполняется и в теории относительности. Отличие от классической механики состоит лишь в том, что в теории относительности зависимость импульса от
скорости имеет вид
[9][6]
В общей теории относительности, аналогично ситуации с законом сохранения энергии, при переходе к искривлённому пространству-времени закон сохранения импульса, выражаемый пространственными компонентами соотношения для тензора энергии-импульса
где точка с запятой выражает ковариантную производную, приводит лишь к локально сохраняющимся величинам. Это связано с отсутствием глобальной однородности пространства в пространстве-времени общего вида.
Можно придумать такие определения импульса гравитационного поля, что глобальный закон сохранения импульса будет выполняться при движении во времени системы тел и полей, но все такие определения содержат элемент произвола, так как вводимый импульс гравитационного поля не может быть тензорной величиной при произвольных преобразованиях координат.
См. также[править | править код]
- Закон сохранения момента импульса
- Теорема о движении центра масс системы
- Теорема об изменении количества движения системы
Ссылки[править | править код]
- Опыт с шарами по демонстрации закона сохранения импульса (видео)
Литература[править | править код]
- Кузнецов Б. Г. Принципы классической физики. — М.: АН СССР, 1958. — 321 с.
- Фейнман Р. Ф. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 440 с. — ISBN 5-354-00699-6.
- Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 670 с.
- Готт В. С. Философские вопросы современной физики. — М.: Высшая школа, 1972. — 416 с.
- Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 367 с.
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 282. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
- ↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — 4-е изд., испр. — М.: «Наука», 1988. — Т. I. Механика. — С. 26. — 215 с. — ISBN 5-02-013850-9.
- ↑ Готт, 1972, с. 222.
- ↑ Кузнецов, 1958, с. 135.
- ↑ Перкинс Д.[en] Введение в физику высоких энергий. — М., Мир, 1975. — c. 94
- ↑ 1 2 Широков, 1972, с. 276.
- ↑ Фейнман, 2004, с. 194.
- ↑ Ферми, 1968, с. 183.
- ↑ Фейнман, 2004, с. 193.
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента импульса Lz не зависит от положения точки 0 на оси z.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной точки относительно оси z равен
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его точек:
Учитывая связь между линейной и угловой скоростями (), получим следующее выражение для момента импульса тела относительно неподвижной оси:
(4.12)
т.е. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцировав выражение (4.12) по времени, получим:
(4.13)
Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.
Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:
— если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Действительно, если , то , откуда
(4.14)
Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:
— если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если Mz=0, то , откуда
(4.15)
Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.
Справедливость закона сохранения момента импульса относительно неподвижной оси вращения можно продемонстрировать на опыте со скамьей Жуковского. Скамьей Жуковского называется горизонтальная площадка, свободно вращающаяся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси ОО1. Человек, стоящий или сидящий на скамье, держит в вытянутых руках гимнастические гантели и приводится во вращение вместе со скамьей вокруг оси ОО1 с угловой скоростью . Приближая гантели к себе, человек уменьшает момент инерции системы, а так как момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость ее вращения возрастает.
Тогда по закону сохранения момента импульса относительно оси ОО1 можно записать:
(4.16)
где — момент инерции человека и скамьи; и — моменты инерции гантелей в первом и втором положениях; m – масса одной гантели; r1, r2 – расстояния от гантелей до оси ОО1.
Изменение момента инерции системы связано с изменением ее кинетической энергии:
Используя выражение для , полученное из (4.16)
,
после преобразований получим:
Это изменение кинетической энергии системы численно равно работе, совершенной человеком при перемещении гантелей.
В табл. 4.2 сопоставлены основные физические величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение.
Таблица 4.2
Краткие выводы:
— Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.
— Момент инерции тела относительно оси вращения – это физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
— Момент инерции тела Jz относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:
— При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:
— Из сравнения формул и следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.
— Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии и определяется выражением где Mz – момент сил относительно оси вращения z.
— Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид:
где Lz – момент импульса твердого тела относительно оси z.
— В замкнутой механической системе момент внешних сил относительно неподвижной оси Mz=0 и , откуда Lz=const – закон сохранения момента импульса. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.
Вопросы для самоконтроля и повторения
1. Что называется моментом инерции тела? Какова роль момента инерции во вращательном движении?
2. Сформулируйте теорему Штейнера. От чего зависит момент инерции тела?
3. Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?
4. Что такое момент импульса твердого тела? Как определяется направление момента импульса?
5. Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Как определяется работа при вращении тела?
6. Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
7. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он выполняется?
8. Сопоставьте основные величины и уравнения динамики поступательного и вращательного движений.
Примеры решения задач
Задача 1. Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии по закону , где В=2 рад/с2, С=-0,5 рад/с3. Определить момент сил относительно оси вращения для момента времени t=3 c.
Дано: R=0,1 м; m=5 кг; рад; В=2 рад/с2; С=-0,5 рад/с3; t=3 c.
Найти: Mz.
Решение
Согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
, где — момент инерции шара;
Для t=3 c
Ответ: Mz=-0,1 Н·м.
Задача 2. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 20 см, момент инерции которого 0,15 кг·м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом составляла 2,3 м (рис. ).
Определить:
а) время опускания груза до пола;
б) силу натяжения нити;
в) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.
Дано: R=0,2 м; Jz=0,15 кг·м2; m=0,5 кг; h=2,3 м.
Найти: t, T, Eк.
Решение
По закону сохранения энергии
откуда
Время опускания груза до пола:
.
Уравнение динамики вращательного движения вала откуда сила натяжения нити
тогда .
Кинетическая энергия груза в момент удара о пол:
Ответ: t=2 с; Т=4,31 Н; Ек=1,32 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
1. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.
2. Полый тонкостенный цилиндр массой 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену 1,4 м/с, после удара 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.
3. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию через 4 с после начала действия силы.
4. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: а) момент сил торможения; б) момент инерции вентилятора.
5. К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения 2 Н·м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с2.
6. С наклонной плоскости, составляющей угол 300 с горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см.
7. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением 2 м/с2. Определить: а) момент инерции вала; б) массу вала.
8. Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0,8 м вращается с частотой 18 об/мин. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5 кг·м2 до 1 кг·м2.
9. Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 об/мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа.
10. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.