Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника

Содержание:

Свойства равнобедренного треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника.
Формулы равнобедренного треугольника:
- формулы длины стороны;
- формулы длины равных сторон;
- формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

Дан Δ ABC.
Из точки В проведем высоту BD.
Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
АВ = ВС — боковые стороны равны.
Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

Вывод:

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Доказательство от противного.

Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике два угла равны.
Сумма углов треугольника 180°.
Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

b = 2a sin( beta /2)= a sqrt { 2-2 cos beta }
b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

a=frac { b } { 2 sin(beta /2) } = frac { b } { sqrt { 2-2 cos beta } }
a=frac { b } { 2 cosalpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

L — высота=биссектриса=медиана
b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

L = a sina
L = frac { b } { 2 } *tgalpha
L = a sqrt { (1 + cos beta)/2 } =a cos (beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

L = sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=frac { 1 } { 2 } *bh

Смотри также:

Теорема о сумме углов треугольника
Формулы площади поверхности, основания, сечения призмы
Площадь поверхности куба, формулы и примеры
Основные формулы по математике
Справочные материалы ЕГЭ от ФИПИ по математике

Источник

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Равнобедренный треугольник (понятие)

Свойства равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника

Формулы равнобедренного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник (понятие):

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_1

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).

Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Различают следующие виды равнобедренных треугольников:

– остроугольный – все углы острые;

– прямоугольный – угол при вершине прямой, а при основании углы острые;

– тупоугольный – угол при вершине тупой, а при основании углы острые;

– равносторонний (или правильный) – все стороны равны и все углы равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_2

Рис. 2. Равнобедренный треугольник

∠ BАC = ∠ BСA

2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_3

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АН1 = СН2 – высота, АМ1 = СМ2 – медиана, АL1 = СL2 – биссектриса, проведённые из углов при основании

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_4

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок

4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_5

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

Признаки равнобедренного треугольника:

– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Формулы равнобедренного треугольника:

Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_6

Рис. 6. Равнобедренный треугольник

Формулы длины основания (b):

Формулы длины равных сторон (а):

Формулы углов:

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_7

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника .

Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_8

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника ,

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника .

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

карта сайта

Коэффициент востребованности
2 565

Источник

Разработка урока геометрии по теме:

«Свойства равнобедренного треугольника»

Предмет: геометрия

Класс: 7 класс

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления знаний

Используемое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор

Цели урока: формирование умения решать задачи с использованием изученных свойств равнобедренного треугольника.

Задачи:

образовательная: используя определения и теоремы, ознакомить со свойствами равнобедренного треугольника и научить применять их при решении задач.

развивающая: развитие математической речи учащихся, их памяти, внимания, наблюдательности, умения сравнивать, обобщать, обоснованно делать выводы; развивать умение преодолевать трудности при решении задач.

воспитательная: воспитание навыков контроля и самоконтроля, аккуратности, внимательности, позитивного отношения к обучению, умения работать в коллективе.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Повторение основных понятий

На данном этапе урока повторяем изученные ранее понятия: “медиана”, “биссектриса”, “высота” треугольника, используя тест. Повторение ведётся посредством фронтального опроса учащихся.

Задание 1

Вопрос:

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется …

Задание 2

Вопрос:

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение, называется …

Задание 3

Вопрос:

В треугольнике АВС отрезок ВD делит угол АВС на два равных угла. Как называется отрезок ВD?

Изображение:

Задание 4

Вопрос:

В треугольнике провели две медианы. Сколько всего треугольников изображено на рисунке?

Изображение:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) Четыре

2) Шесть

3) Восемь

4) Двенадцать

Задание 5

Вопрос:

В треугольнике АВС отрезок AD является медианой. Чему равна длина стороны ВС, если длина отрезка BD равна 3 см?

Изображение:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 9 см

2) 6 см

3) 5 см

4) 3 см

Задание 6

Вопрос:

Чему равна градусная мера угла ВАС, если АD – биссектриса треугольника АВС, а угол ВАD равен 35°?

Изображение:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 35°

2) 90°

3) 70°

4) 45°

Задание 7

Вопрос:

Может ли точка пересечения высот лежать вне треугольника?

Выберите один из 2 вариантов ответа:

1) Может

2) Не может

Задание 8

Вопрос:

Сколько высот имеет любой треугольник?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) Четыре

2) Одну

3) Две

4) Три

Задание 9

Вопрос:

Отрезок ВD – медиана треугольника АВС, отрезок ВЕ – медиана треугольника DBC. Чему равна длина отрезка ЕС, если отрезок АС равен 20 см?

Изображение:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 15 см

2) 10 см

3) 5 см

4) 4 см

Задание 10

Вопрос:

Чему равна градусная мера угла АDB, если отрезок BD – высота треугольника АВС?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 30°

2) 60°

3) 90°

4) 120°

Ответы:

1) Верный ответ: «медианой».

2) Верный ответ: «высотой».

3) Верный ответ: «Биссектрисой треугольника».

4) Верный ответ: 3;

5) Верный ответ: 2;

6) Верный ответ: 3;

7) Верный ответ: 1;

8) Верный ответ: 4;

9) Верный ответ: 3;

10) Верный ответ: 3;

Итог: Молодцы ребята. Вы хорошо применяете определения и формулировки свойств геометрических фигур при решении задач.

Итак, мы с вами повторили теоретический материал прошлых уроков, который нам понадобится при изучении новой темы «Свойства равнобедренного треугольника».

III. Объяснение нового материала

Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал ещё в глубокой древности.

Мы сегодня на уроке выясним, какой треугольник называется равнобедренным, и какими свойствами он обладает.

1. Вводится понятие равнобедренного треугольника и его элементов.

Вспомните из курса математики, какой треугольник называется равнобедренным?

– Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника.

– Назовите угол, лежащий напротив основания треугольника, назовите углы при основании равнобедренного треугольника. Изобразите данный треугольник к себе в тетрадь.

2. Рассматриваем свойство об углах равнобедренного треугольника.

У вас на столах лежит модель равнобедренного треугольника (зелёного цвета). Согните треугольник так, чтобы, совместились боковые стороны. (У учителя своя большая модель равнобедренного треугольника, на которой он показывает те же действия, которые выполняют ученики). Как вы думаете, каким свойством равнобедренный треугольник.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Работа с формулировкой теоремы: разбираем, что дано, что доказать. Рассматриваем доказательство теоремы 1. Проведём биссектрису из вершины А треугольника к основанию ВС. Предлагаю учащимся продолжить доказательство самостоятельно.

Теорема.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Дано: Δ АВС — ………………

Доказать: …………

В C

Доказательство.

Проведем биссектрису АF.
Рассмотрим ……… и ………..:

……. = …….. (т.к. Δ АВС — ………………);
……. = ………( т.к. АF — …………..Δ АВС ); ………….. = …………..
……….. — …………….. (по двум сторонам и углу между ними)

Тогда ……… = ………..

3. Свойство биссектрисы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, можно предложить учащимся получить самостоятельно (это зависит от уровня подготовки класса), проведя практическую работу по группам:

— Вернемся, к модели треугольника. Проведите линию, по которой вы сгибали треугольник. Как называется эта линия? (Биссектриса.)

— Как проведена на данной модели биссектриса? (Из вершины треугольника к его основанию.)

— Каким свойством обладает эта биссектриса? Она является медианой и высотой.

— Сколько биссектрис можно провести в треугольнике? (три) Продолжите работать с моделью треугольника, проведите (согните) ещё две биссектрисы. Проверьте, обладают ли теми же свойствами данные биссектрисы равнобедренного треугольника, то есть являются ли данные биссектрисы высотой и медианой?

— Вывод, в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

6. Записываем свойство в виде теоремы 2.

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

A Дано:

ΔАВС — ………………

AF — ……………… Δ АВС

B F С Доказать: AF -………….. Δ АВС, AF -………….. Δ АВF

Доказательство.

Рассмотрим ……… и ………..:

……. = …….. (т.к. ΔАВС — ………………);
……. = ………( т.к. AF — …………..Δ АВС ); ………….…………..
……….. — ……………..

(по двум сторонам и углу между ними)

Тогда ……… = ………., AF — ……………….. Δ АВС.

Тогда ……. = ……., а т.к. …… и …… — смежные, ……. = ……. = ….о, т.е. AF……, значит, AF — ……………….. Δ АВС.

Разновидностью равнобедренного треугольника является равносторонний треугольник.

А что характерно для равностороннего треугольника? (все стороны равны).

Что вы можете сказать об углах равностороннего треугольника?

Возьмите модель равностороннего треугольника (синего цвета). Проверьте, обладают ли биссектрисы равностороннего треугольника, такими же свойствами? К

IV. Закрепление пройденного

Устное решение задач

Какие из данных треугольников являются равнобедренными, почему?

C:UsersUserDesktopммм.png

C:UsersUserAppDataLocalMicrosoftWindowsTemporary Internet FilesContent.Wordччч.png

Треугольник АВС – равнобедренный, ∠МАВ = 100, найдите ∠А и ∠С в треугольнике АВС

C:UsersUserAppDataLocalMicrosoftWindowsTemporary Internet FilesContent.Wordууу.png

Треугольник АВС – равнобедренный, АС – основание, ВD – биссектриса, ∠СВD = 37, АС = 25 см. Найдите ∠В, ∠ВDС и DC.

C:UsersUserDesktopссмм.png

Решение задачи № ___ из учебника на доске и в тетрадях.
Самостоятельное решение № ___ с последующей проверкой

C:UsersUserDesktoprrr.png

Дано: АВ=ВС, ∠1=130. Найдите ∠2

Решение:

Углы ∠ 1 и ∠АСВ – смежные, т.е. ∠1 + ∠АСВ=180 , значит

∠АСВ = 180 — 130= 50АВС – равнобедренный,

значит ∠ВАС = ∠АСВ=50 (углы при основании равнобедренного треугольника)

∠2 = ∠ВАС = 50( как вертикальные)

Ответ: ∠ 2= 50

V. Итоги урока

1. Фронтальный опрос:

Какой треугольник называется равнобедренным?
Какой треугольник называется равносторонним?
Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?
Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника?
Каким свойством обладает биссектриса равнобедренного треугольника?
Любая ли биссектриса обладает этим свойством? Какая?
Любая ли биссектриса равностороннего треугольника обладает этим свойством?

Домашнее задание: ________________

Источник

Главная
Вопросы & Ответы
Вопрос 6587634

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника Гость:

9 лет назад

5
1

Лучший ответ:

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника

Гость:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

10 Ноября в 20:12

Ваш ответ (не менее 20 символов):
Ваше имя (не менее 2 символов):

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника

Лучшее из галереи:

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника

Другие вопросы:

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника Гость:

Какие миграции влияют на численность населения страны Какие миграции влияют на численность населения страны

9 лет назад

Смотреть ответ

8
1

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника Гость:

Проставьте в кружках номера городов от самого западного к самому восточному 1 Екатеринбург 2 Ижевск Проставьте в кружках номера городов от самого западного к самому восточному
1 Екатеринбург
2 Ижевск
3 Курган
4 Оренбург
5 Уфа
6 Челябинск

9 лет назад

Смотреть ответ

10
1

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника Гость:

Наименьшая плотность населения в России наблюдается в Наименьшая плотность населения в России наблюдается в

9 лет назад

Смотреть ответ

17
1

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника Гость:

Наибольшая плотность населения в России наблюдается в Наибольшая плотность населения в России наблюдается в

9 лет назад

Смотреть ответ

11
1

Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника Гость:

Средняя плотность населения в России составляет Средняя плотность населения в России составляет

9 лет назад

Смотреть ответ

6
1

Источник