Каким свойством обладают противоположные грани параллелепипеда

Параллелепи́пед др.-греч. παραλληλ-επίπεδον[1] от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — четырёхугольная призма, основанием которой служит параллелограмм, или, что равносильно, многогранник, у которого шесть граней, каждая из которых — параллелограмм.

Типы параллелепипеда[править | править код]

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
• Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
• Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
• Ромбоэдр — параллелепипед, грани которого являются равными ромбами.
• Куб — параллелепипед, грани которого являются квадратами.

Основные элементы[править | править код]

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства[править | править код]

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы[править | править код]

Прямой параллелепипед[править | править код]

Площадь боковой поверхности
Sб=Ро*h, где Ро — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности
Sп=Sб+2Sо, где Sо — площадь основания

Объём
V=Sо*h

Прямоугольный параллелепипед[править | править код]

Площадь боковой поверхности
Sб=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности
Sп=2(ab+bc+ac)

Объём
V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб[править | править код]

Площадь поверхности:

Объём: , где — ребро куба.

Произвольный параллелепипед[править | править код]

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения[2]:215.

В математическом анализе[править | править код]

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида

Сечение параллелепипеда плоскостью[править | править код]

В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и шестиугольником.

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Прямоугольный параллелепипед

Определение

Многогранником будем называть замкнутую поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторую часть пространства.

Отрезки, являющиеся сторонами этих многоугольников, называются ребрами многогранника, а сами многоугольники – гранями. Вершины многоугольников называются вершинами многогранника.

Будем рассматривать только выпуклые многогранники (это такой многогранник, который находится по одну сторону от каждой плоскости, содержащей его грань).

Многоугольники, из которых составлен многогранник, образуют его поверхность. Часть пространства, которую ограничивает данный многогранник, называется его внутренностью.

Определение: призма

Рассмотрим два равных многоугольника (A_1A_2A_3…A_n) и (B_1B_2B_3…B_n), находящихся в параллельных плоскостях так, что отрезки (A_1B_1, A_2B_2, …, A_nB_n) параллельны. Многогранник, образованный многоугольниками (A_1A_2A_3…A_n) и (B_1B_2B_3…B_n), а также параллелограммами (A_1B_1B_2A_2, A_2B_2B_3A_3, …), называется ((n)-угольной) призмой.

Многоугольники (A_1A_2A_3…A_n) и (B_1B_2B_3…B_n) называются основаниями призмы, параллелограммы (A_1B_1B_2A_2, A_2B_2B_3A_3,
…) – боковыми гранями, отрезки (A_1B_1, A_2B_2, …, A_nB_n) – боковыми ребрами.
Таким образом, боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.

Высота призмы – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (рис. 1), в противном случае – прямой. У прямой призмы боковые ребра являются высотами, а боковые грани – равными прямоугольниками.

Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.
 

Определение: понятие объема

Единица измерения объема – единичный куб (куб размерами (1times1times1) ед(^3), где ед — некоторая единица измерения).

Можно сказать, что объем многогранника – это величина пространства, которую ограничивает этот многогранник. Иначе: это величина, числовое значение которой показывает, сколько раз единичный куб и его части вмещаются в данный многогранник.

Объем имеет те же свойства, что и площадь:

1. Объемы равных фигур равны.

2. Если многогранник составлен из нескольких непересекающихся многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.

3. Объем – величина неотрицательная.

4. Объем измеряется в см(^3) (кубические сантиметры), м(^3) (кубические метры) и т.д.

Теорема

1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Площадь боковой поверхности — сумма площадей боковых граней призмы.

2. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы: [V_{text{призмы}}=S_{text{осн}}cdot h]
 

Определение: параллелепипед

Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, не лежащие в одной грани (их (8): (AC_1,
A_1C, BD_1, B_1D) и т.д.).

Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.
Т.к. это прямой параллелепипед, то боковые грани представляют собой прямоугольники. Значит, вообще все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.

Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны (это следует из равенства треугольников (triangle ACC_1=triangle AA_1C=triangle
BDD_1=triangle BB_1D) и т.д.).

Замечание

Таким образом, параллелепипед обладает всеми свойствами призмы.

Теорема

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна [S_{text{боков.пов-ти прямоуг. пар-да}}=2(a+b)c]

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна [S_{text{полн.пов-ти прямоуг. пар-да}}=2(ab+ac+bc)]

Теорема

Доказательство

Т.к. у прямоугольного параллелепипеда боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами, то есть (h=AA_1=c) Т.к. в основании лежит прямоугольник, то (S_{text{осн}}=ABcdot AD=ab). Отсюда и следует данная формула.

Теорема

Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (где (a,b,c) — измерения параллелепипеда) [d^2=a^2+b^2+c^2]

Доказательство

Рассмотрим рис. 3. Т.к. в основании лежит прямоугольник, то (triangle ABD) – прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора (BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2).

Т.к. все боковые ребра перпендикулярны основаниям, то (BB_1perp
(ABC) Rightarrow BB_1) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, т.е. (BB_1perp BD). Значит, (triangle BB_1D) – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора (B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2), чтд.
 

Определение: куб

Таким образом, три измерения равны между собой: (a=b=c). Значит, верны следующие

Теоремы

1. Объем куба с ребром (a) равен (V_{text{куба}}=a^3).

2. Диагональ куба ищется по формуле (d=asqrt3).

3. Площадь полной поверхности куба (S_{text{полн.пов-ти
куба}}=6a^2).