Каким свойством обладает средняя линия треугольника трапеции

[{Large{text{Произвольная трапеция}}}]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

1) Сумма углов при боковой стороне равна (180^circ).

Доказательство

1) Т.к. (ADparallel BC), то углы (angle BAD) и (angle ABC) – односторонние при этих прямых и секущей (AB), следовательно, (angle
BAD
+angle ABC=180^circ).

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

Проведем через точку (M) прямую (MN’parallel AD) ((N’in CD)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. (MN’parallel ADparallel BC, AM=MB)) точка (N’) — середина отрезка (CD). Значит, точки (N) и (N’) совпадут.

2) Докажем формулу.

Тогда по теореме Фалеса (M’) и (N’) — середины отрезков (BB’) и (CC’) соответственно. Значит, (MM’) – средняя линия (triangle
ABB’), (NN’) — средняя линия (triangle DCC’). Поэтому: [MM’=dfrac12 AB’, quad NN’=dfrac12 DC’]

Т.к. (MNparallel ADparallel BC) и (BB’, CC’perp AD), то (B’M’N’C’) и (BM’N’C) – прямоугольники. По теореме Фалеса из (MNparallel AD) и (AM=MB) следует, что (B’M’=M’B). Значит, (B’M’N’C’) и (BM’N’C) – равные прямоугольники, следовательно, (M’N’=B’C’=BC).

Таким образом:

[MN=MM’+M’N’+N’N=dfrac12 AB’+B’C’+dfrac12 C’D=] [=dfrac12 left(AB’+B’C’+BC+C’Dright)=dfrac12left(AD+BCright)]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

Проведем прямую (PN) ((P) – точка пересечения продолжений боковых сторон, (N) – середина (BC)). Пусть она пересечет сторону (AD) в точке (M). Докажем, что (M) – середина (AD).

Рассмотрим (triangle BPN) и (triangle APM). Они подобны по двум углам ((angle APM) – общий, (angle PAM=angle PBN) как соответственные при (ADparallel BC) и (AB) секущей). Значит: [dfrac{BN}{AM}=dfrac{PN}{PM}]

Рассмотрим (triangle CPN) и (triangle DPM). Они подобны по двум углам ((angle DPM) – общий, (angle PDM=angle PCN) как соответственные при (ADparallel BC) и (CD) секущей). Значит: [dfrac{CN}{DM}=dfrac{PN}{PM}]

Отсюда (dfrac{BN}{AM}=dfrac{CN}{DM}). Но (BN=NC), следовательно, (AM=DM).

Пусть (N) – середина (BC), (O) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую (NO), она пересечет сторону (AD) в точке (M). Докажем, что (M) – середина (AD).

(triangle BNOsim triangle DMO) по двум углам ((angle OBN=angle
ODM) как накрест лежащие при (BCparallel AD) и (BD) секущей; (angle BON=angle DOM) как вертикальные). Значит: [dfrac{BN}{MD}=dfrac{ON}{OM}]

Аналогично (triangle CONsim triangle AOM). Значит: [dfrac{CN}{MA}=dfrac{ON}{OM}]

Отсюда (dfrac{BN}{MD}=dfrac{CN}{MA}). Но (BN=CN), следовательно, (AM=MD).

[{Large{text{Равнобедренная трапеция}}}]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольные треугольники (ABM) и (CDN). Так как у них равны гипотенузы и катет (BM) равен катету (CN), то эти треугольники равны, следовательно, (angle DAB = angle CDA).

2)

Т.к. (AB=CD, angle A=angle D, AD) – общая, то по первому признаку (triangle ABD=triangle ACD). Следовательно, (AC=BD).

3) Т.к. (triangle ABD=triangle ACD), то (angle BDA=angle CAD). Следовательно, треугольник (triangle AOD) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и (triangle BOC) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Достроим трапецию до треугольника (AED) как показано на рисунке. Так как (angle 1 = angle 2), то треугольник (AED) равнобедренный и (AE
= ED). Углы (1) и (3) равны как соответственные при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AB). Аналогично равны углы (2) и (4), но (angle 1 = angle 2), тогда (angle 3 = angle 1 = angle 2 =
angle 4), следовательно, треугольник (BEC) тоже равнобедренный и (BE = EC).

В итоге (AB = AE — BE = DE — CE = CD), то есть (AB = CD), что и требовалось доказать.

Т.к. (AC=BD), то (x+kx=y+ky Rightarrow x=y). Значит (triangle AOD) – равнобедренный и (angle OAD=angle ODA).

Таким образом, по первому признаку (triangle ABD=triangle ACD) ((AC=BD, angle OAD=angle ODA, AD) – общая). Значит, (AB=CD), чтд.

[{Large{text{Подобие треугольников}}}]

Определения

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
(стороны называются сходственными, если они лежат напротив равных углов).

Определение

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Теорема

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство

Рассмотрим треугольники (ABC) и (A_1B_1C_1) со сторонами (a,b,c) и (a_1, b_1, c_1) соответственно (см. рисунок выше).

Тогда (P_{ABC}=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=kcdot
P_{A_1B_1C_1})

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство

Так как (angle A = angle A_1), то (dfrac{S}{S_1} = dfrac{ABcdot
AC}{A_1B_1cdot A_1C_1}) (по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу).

Так как (dfrac{AB}{A_1B_1} = dfrac{AC}{A_1C_1} = k), то (dfrac{S}{S_1} = dfrac{AB}{A_1B_1}cdotdfrac{AC}{A_1C_1} = kcdot k = k^2), что и требовалось доказать.
 

[{Large{text{Признаки подобия треугольников}}}]

Теорема (первый признак подобия треугольников)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Так как (angle A = angle A_1) и (angle B = angle B_1), то (dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = dfrac{ABcdot AC}{A_1B_1cdot
A_1C_1}) и (dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = dfrac{ABcdot
BC}{A_1B_1cdot B_1C_1}).

Из этих равенств следует, что (dfrac{AC}{A_1C_1} =
dfrac{BC}{B_1C_1}).

Аналогично доказывается, что (dfrac{AC}{A_1C_1} =
dfrac{AB}{A_1B_1}) (используя равенства (angle B = angle B_1), (angle C = angle C_1)).

В итоге, стороны треугольника (ABC) пропорциональны сходственным сторонам треугольника (A_1B_1C_1), что и требовалось доказать.

Теорема (второй признак подобия треугольников)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Рассмотрим треугольник (ABC»), у которого (angle 1 = angle A’), (angle 2 = angle B’). Треугольники (ABC») и (A’B’C’) подобны по первому признаку подобия треугольников, тогда (dfrac{AB}{A’B’} =
dfrac{AC»}{A’C’}).

С другой стороны, по условию (dfrac{AB}{A’B’} = dfrac{AC}{A’C’}). Из последних двух равенств следует, что (AC = AC»).

Треугольники (ABC) и (ABC») равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, (angle B = angle 2 = angle B’).

Теорема (третий признак подобия треугольников)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что (angle BAC = angle A’).

Рассмотрим треугольник (ABC»), у которого (angle 1 = angle A’), (angle 2 = angle B’).

Треугольники (ABC») и (A’B’C’) подобны по первому признаку подобия треугольников, следовательно, (dfrac{AB}{A’B’} = dfrac{BC»}{B’C’}
= dfrac{C»A}{C’A’}).

Из последней цепочки равенств и условия (dfrac{AB}{A’B’} =
dfrac{AC}{A’C’} = dfrac{BC}{B’C’}) вытекает, что (BC = BC»), (CA
=
C»A).

[{Large{text{Теорема Фалеса}}}]

Теорема

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

Доказательство

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть (OA=AB=BC), (aparallel
bparallel c) и нужно доказать, что (OA_1=A_1B_1=B_1C_1).

Таким образом, по данной лемме (OA_1=A_1B_1). Докажем, что (A_1B_1=B_1C_1). Проведем через точку (B_1) прямую (dparallel OC), причем пусть (dcap a=D_1, dcap c=D_2). Тогда (ABB_1D_1, BCD_2B_1) — параллелограммы, следовательно, (D_1B_1=AB=BC=B_1D_2). Таким образом, (angle A_1B_1D_1=angle C_1B_1D_2) как вертикальные, (angle
A_1D_1B_1=angle C_1D_2B_1) как накрест лежащие, и, значит, по второму признаку (triangle A_1B_1D_1=triangle C_1B_1D_2
Rightarrow A_1B_1=B_1C_1).

Теорема Фалеса

Доказательство

Пусть параллельные прямые (pparallel qparallel rparallel s) разбили одну из прямых на отрезки (a, b, c, d). Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки (ka, kb, kc, kd) соответственно, где (k) – некоторое число, тот самый коэффициент пропорциональности отрезков.

[{Large{text{Средняя линия треугольника}}}]

Определение

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника.

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство

1) Параллельность средней линию основанию следует из доказанной выше леммы.

Через точку (N) проведем прямую параллельно (AB). Пусть эта прямая пересекла сторону (AC) в точке (K). Тогда (AMNK) — параллелограмм ((AMparallel NK, MNparallel AK) по предыдущему пункту). Значит, (MN=AK).

Т.к. (NKparallel AB) и (N) – середина (BC), то по теореме Фалеса (K) – середина (AC). Следовательно, (MN=AK=KC=dfrac12 AC).

Следствие

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному с коэффициентом (frac12).

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Часто в определение трапеции добавляют условие, что две другие стороны должны быть не параллельны[1]. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения[править | править код]

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения[править | править код]

Элементы трапеции[править | править код]

• Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Углом при основании трапеции называется ее внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

Виды трапеций[править | править код]

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой[4] или равнобочной[5] трапецией).
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

• Равнобедренная трапеция

• Прямоугольная трапеция

Свойства[править | править код]

Основной источник: [6]

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.[7]
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому длин оснований трапеции.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
• Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.
• Если отношение оснований равно , то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно .
• Высота трапеции определяется формулой:

где  — большее основание,  — меньшее основание, и  — боковые стороны.
Их можно выразить в явном виде:

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:

Если же известна высота , то

• Прямая Гаусса для трапеции совпадает с ее средней линией.

Равнобедренная трапеция[править | править код]

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

• прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
• высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
• углы при любом основании равны;
• сумма противоположных углов равна 180°;
• длины диагоналей равны;
• вокруг этой трапеции можно описать окружность;
• вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

• если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность[править | править код]

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
• Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
• Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:[источник не указан 1798 дней]

где  — боковая сторона,  — бо́льшее основание,  — меньшее основание,  — диагонали равнобедренной трапеции.

• Если , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

Площадь[править | править код]

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

или

• Средняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как[8]

• Площадь равнобедренной трапеции:

где  — боковая сторона,  — бо́льшее основание,  — меньшее основание,  — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной[9].

• Площадь равнобедренной трапеции через её стороны

История[править | править код]

Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).

Примечания[править | править код]