Каким из указанных свойств обладает множество n натуральных чисел

Введем понятие множества натуральных чисел. Начнем со следующего, используя число 1, названное единицей, построим некоторое подмножество множества следующим образом: обозначим сумму символом 2 и назовем его числом «два» ; обозначим сумму символом 3 и назовем его числом «три» ; аналогично определяем последовательно числа, называемые «четыре», «пять», и т.д. и обозначаемые символами и т.д.

Элементы множества

называются натуральными числами. Множество всех натуральных чисел обозначают через .

Обозначим через произвольно фиксированное натуральное число число называется числом, непосредственно следующим за числом , а само — непосредственно предшествующим числу .

Свойства натуральных чисел

Множество натуральных чисел обладает следующим свойством.

Если множество таково, что: ; ; следует, что , то

В самом деле, по условию 2) поэтому, согласно свойству 3) и и и т.д. Но любое натуральное число получается из 1 последовательным переходом от предыдущего натурального числа к последующему, поэтому , т.е. .

Итак, имеем и . По определению это означает, что .

Из свойства 2 следует так называемый принцип доказательства методом математической индукции.

Если имеется множество утверждений, каждому из которых соответствует натуральное число (его номер) и если доказано, что:

1) справедливо утверждение с номером 1;

2) из справедливости утверждения с произвольным номером следует справедливость утверждения с номером , то тем самым доказана справедливость всех рассматриваемых утверждений.

Операции натуральными числами

Операция сложения. Пусть — произвольное натуральное число. Если — какое-нибудь число из , то

Так, по индукции определяется операция, называемая сложением натуральных чисел. Например,

Операция умножения. Пусть — произвольное натуральное число. Если — какое-нибудь число из , то

Так, по индукции определяется операция, называемая умножением натуральных чисел. Например,

Для любых из и

В самом деле, при формула справедлива согласно аксиоме 2.5. Пусть равенство верно при . Покажем, что она справедлива при

$[(a_1 + a_2 +...+a_{k+1})b = [(a_1 +...+a_k) + a_{k+1}]b =]$

$[= (a_1 +...+a_k)b + a_{k+1}b = a_1b +...+ a_kb + a_{k+1}b.]$

В частности если , то

Множество целых чисел

Натуральные числа, им противоположные и нуль называются целыми числами.

Множество всех целых чисел обозначается через .

Множество рациональных чисел

Частные $frac{m}{n}$ , где называются рациональными числами (от лат. — отношение). Множество всех рациональных чисел обозначается через .

Множество иррациональных чисел

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными (от лат. — неразумный, от — отрицательная приставка к — число не являющееся рациональным. Множество всех иррациональных чисел обозначается через .

Таким образом,

Число , умноженное раз на себя, называется n-й степенью числа и обозначается через . Таким образом,

$[x^nstackrel{def}{=}underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{n};;;;;(1.5)]$

Число в степени называется основанием степени, а — показателем степени.

Для любых и полагают

$[x^0 stackrel{def}{=} 1, x^{-n} stackrel{def}{=}frac{1}{x^n} ;;;;;(1.6)]$

( не определяется).

Если то

$[x^m cdot x^n = x^{m+n}, {(x^n)}^m = x^{nm} ;;;;;(1.7)]$

для любого при и и для любого и при и .

$[x^mcdot x^n ={m} underbrace {xcdot x cdot ...cdot x}_{n} =underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{m+n} =x^{m+n}]$

$[x^mcdot x^n = x^0cdot x^n=1cdot x^n=x^n=x^{0+n}=x^{m+n};]$

$[x^mcdot x^n = x^mcdot x^0=x^mcdot 1=x^m=x^{m+0}=x^{m+n};]$

Пусть причем тогда

$[x^m cdot x^n = frac {1}{x^p} cdot x^n = frac {1}{x^p} cdot underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{p} underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{n-p } =]$

$[= {1}{x^p}cdot x^pcdot x^{n-p}=1cdot x^{n-p}=x^{n-p}=x^{n+m}.]$

Если же то в соответствии с 4.4

$[x^m cdot x^n = frac{1}{x^p} cdot x^n = frac{1}{x^n cdot x^{p-n}} cdot x^n = frac{1}{x^n} cdot frac{1}{x^{p-n}} cdot x^n = frac{1}{x^{p-n}} =]$

$[=frac{1}{x^{-m-n}} = x^{m+n}.]$

— аналогично)

Полагая и используя снова 4.4, получим:

$[x^m cdot x^n = frac{1}{x^p} cdot frac{1}{x^q} = frac{1}{x^p cdot x^q} = frac{1}{x^{p+q}} = frac{1}{x^{-m-n}} = x^{m+n}.]$

4.6. Если то

Действительно,

Навигация по записям

Оцените материал

Загрузка…

Источник

Рассматриваемая теория натуральных чисел является теорией порядковых натуральных чисел. Идея порядка заложена в отношении «непосредственно следовать за», которое, однако, затрагивает лишь соседние элементы. Сравнить два натуральных числа, не являющихся соседними, при помощи отношения «непосредственно следовать за» невозможно. Упорядочить множество натуральных чисел можно, задав на нем отношение «меньше».

Определение 5. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Свойства отношения «меньше»:

1. Для любого натурального числа а справедливо а < а ,.

2. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b, а < b.

3. Если а < b и b < с, то а < с.

4. Если а < b, то неверно, что b < а.

Свойство монотонности сложения

1) а < b a + c < b + c; 2) а > b a + c > b + c.

Свойство монотонности умножения

1) а < b ac < bc;

2) а > b ac > bc.

7. Свойство Архимеда: Для любых натуральных чисел а и b; существует такое натуральное число n, что пb> а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства:

1) Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а<п<а + 1. Это свойство называется свойством дискретностимножества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

2)Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число. Это свойство называется принципом наименьшего числа.

3) Если М— непустое подмножество множества натуральных чисел и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число. Это свойство называют принципом наибольшего числа.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 — это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

Вычитание и деление натуральных чисел

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.

Число а — bназывается разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b — вычитаемым.

Теорема 13. Разность натуральных чисел а — b существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство (существования). Пусть разность а — b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а — b, т.е. разность а — b существует.

Доказательство (единственности). Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b;: а – b = с₁ и а — b = с₂, причем с₁ ≠ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂:. Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂: и заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.▀

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила:

1) Дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

(а + b) — с = (a — с) + b.

2) Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

а — (b + с) = (а — b) — с

Для того чтобы вычесть из числа разность двух чисел, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое и из полученного числа вычесть уменьшаемое.

а — (b — с) = (а + с) — b

Деление

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Определение 7. Делениемнатуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а : b = с тогда и только тогда, когда b×с = а.

Число а:b называется частнымчисел а и b, число а — делимым, число b — делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда.

Теорема 14. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b ≤ а. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство (необходимого условия существования). Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа справедливо неравенство 1 ≤ с, то, умножив обе его части на натуральное число b, получим b ≤ bс. Но bс = а, следовательно, b ≤ а.

Доказательство единственности этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления:

1) правило деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

(а + b):с = а:с + b:с.

2) правило деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

(а — b):с = а: с — b:с.

3) Правило деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

(а × b):с = (а:с) × b.

В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 — это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48 : 16 = 3.

Рекомендуемые страницы:

Что такое множество?

Строго говоря, дать определение «множества» нельзя. С точки зрения науки логики такие определения в любом случае противоречивы. Подойдем с другой стороны и будем считать, что мы УЖЕ работаем с множеством произвольной природы, обозначим его X, которое состоит из элементов x (буквы не принципиальны).

x — элемент множества X

В данном случае нам неинтересна природа множеств, нам важен только вопрос включения/не включения отдельного элемента в это множество, т.е. максимально абстрактное представление. Попытаться определить, что такое множество можно следующим образом. Пусть X — известное нам множество, тогда мы можем определить множество Y, состоящее из таких элементов x, принадлежащих X, которые удовлетворяют некоторому свойству.

Да, получается, что мы не можем дать определение множеству, если до этого не согласимся, что имеем с ним дело в другом месте. Классический парадокс Мюнхгаузена.

Приведем простой пример. Я думаю не подвергается сомнению, что существуют натуральные числа: 1,2,3 и т.д., другими словами, имеется множество натуральных чисел (обозначают N). Выделим из него, например, четные числа, обозначим их N2, N4 и т.д.. Теперь мы можем утверждать, что множество четных чисел S (буква не принципиальна) состоит из чисел N2, N4 и т.д, удовлетворяющих свойству четности и принадлежащих N.

n mod 2 — операция, вычисляющая остаток от деления на 2. Например, 5 mod 2 = 1, 4 mod 2 = 0.

Таким образом, мы только что задали множество четных чисел, выделив его из множества натуральных чисел. В теории множеств говорят, что мы выделили подмножество (часть) S в множестве N. Обозначается вот так:

Читается так: S является подмножеством N, что эквивалентно тому, что для любого элемента s его принадлежность множеству S определяет принадлежность к множеству N (или принадлежность к множеству N следует из принадлежности к множеству S).

Знак включения между S и N строгий. Он означает, что множества N и S не равны. Действительно в нашем примере во множестве N есть еще и множество нечетных чисел. Нестрогий знак обозначается так:

Здесь мы определили. что множество S является подмножеством самого себя и содержит те же элементы. Такое свойство называется рефлексивностью.

Понятие пустого множества

На самом деле пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента — одно из самых важных понятий всей теории. Обозначается оно следующим образом:

Чем же примечательно пустое множество? Во-первых, это единственное множество которое является подмножествами любых множеств. Во-вторых, пустое множество является подмножеством себя, но не является своим элементом (вспомните определение). В-третьих, в топологии пустое множество одновременно является открытым и замкнутым (крючок на будущее, пока без пояснения).

Парочка небольших примеров на закрепление:

На этом закончим. В этой статье мы рассмотрели как определяется множество, что такое подмножество и пустое множество, каковы их свойства (но пока не все). Рассмотрели несколько примеров для понимания.

В следующем материале мы рассмотрим основные операции над множествами.

P.S. Отвечая на возможную критику из разряда: «зачем столько букв, написал бы, что есть множество, в нём есть элементы, пустое множество есть везде. Лучше бы сразу написал про операции, а не растягивал … и т.д». С изучением математики выработалось четкое понимание, что математика — не социология и не биология (не в обиду), здесь необходимы предельно простые понятия в самом начале изучения. Предельно простые настолько, что бытовое представление о них настолько явно, что, казалось бы, не требует отдельного объяснения. Особенно Вы поймете о чём я говорю, когда, закончив введение в теорию множеств, мы перейдем к изучения метрических пространств (конкретно как будто бытового определения «расстояния»), чтобы наконец-то подобраться к цели этого цикла статей — изучению топологии. Вот вводная статья, для тех, кто еще совсем не знаком с этой замечательной наукой.

************************************************************************

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

СЛЕДУЮЩАЯ ЧАСТЬ

**************************************************************************

О чем я еще пишу:

Теорема неслучайности: неравенство Чебышева

Про факториал

Как запомнить синус и косинус основных углов?

Правда интересные числа, «мамой клянусь»

Экзотические тригонометрические формулы, которые не дают в школе

Источник

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

· некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

· каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение;

· формулируются аксиомы – предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

· каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и терем.

При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся из аксиом путем доказательства.

Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования:

· непротиворечивость (система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения);

· независимость (система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом).

Множество, с заданным в нем отношением называется моделью данной системы аксиом, если в нем выполняются все аксиомы данной системы.

Построить систему аксиом для множества натуральных чисел можно многими способами. За основное понятие можно принять, например, сумму чисел или отношение порядка. В любом случае нужно задать систему аксиом, описывающие свойства основных понятий.

Дадим систему аксиом, приняв основное понятие операцию сложения.

Непустое множество N назовем множеством натуральных чисел, если в нем определена операция (a; b) → a + b, называемая сложением и обладающая свойствами:

1. сложение коммутативно, т.е. a + b = b + a.

2. сложение ассоциативно, т.е. (a + b) + c = a + (b + c).

3. для ,

4. в любом множестве А, являющемся подмножеством множества N, где А есть число а такое, что все хА, равны a + b, где bN.

Аксиом 1 – 4 достаточно, чтобы построить всю арифметику натуральных чисел. Но при таком построении уже нельзя опираться на свойства конечных множеств, не нашедших отражение в этих аксиомах.

Возьмем в качестве основного понятия отношение «непосредственно следовать за…», заданное на непустом множестве N. Тогда натуральным рядом чисел будет являться множество N, в котором определено отношение «непосредственно следовать за», а натуральными числами будут называться все элементы N, причем имеют место следующие аксиомы Пеано:

АКСИОМА 1.

Во множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.

АКСИОМА 2.

Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а, непосредственно следующий за а.

АКСИОМА 3.

Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

АКСОИМА 4.

Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а содержится в М.

Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 – 4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральные числами.

Если в качестве множества N выбрать некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 – 4, то получим различные интерпретации (модели) данной системы аксиом.

Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, …

Моделью аксиом Пеано может быть любое счетное множество.

Например, I, II, III, IIII, …

о оо ооо оооо, …

один два три четыре, …

Рассмотрим последовательность множеств, в которой множество {оо} есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается из предыдущего приписыванием еще одного кружка (рис.15).

Тогда N есть множество, состоящее из множеств описанного вида, и оно является моделью системы аксиом Пеано.

Действительно, во множестве N существует элемент {oo}, непосредственно не следующий ни за каким элементом данного множества, т.е. выполняется аксиома 1. Для каждого множества А рассматриваемой совокупности существует единственное множество, которое получается из А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 2. Для каждого множества А существует не более одного множества, из которого образуется множество А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 3. Если МN и известно, что множество А содержится в М, следует, что и множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве А, также содержится в М, то М = N, и значит выполняется аксиома 4.

В определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя.

Установим, какие из множеств, приведенных на рис. 16, являются моделью аксиом Пеано.

1 а b d a

…

a …

c e

b …

c e b

a) б) в)

…

5 6 7 8

г) Рис.16

Решение. На рисунке 16 а) изображено множество, в котором выполняются аксиомы 2 и 3. Действительно, для каждого элемента существует единственный, непосредственно следующий за ним, и существует единственный элемент, за которым он следует. Но в этом множестве не выполняется аксиома 1 (аксиома 4 не имеет смысла, т.к. в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим). Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.

На рисунке 16 б) показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не один, как требуется в аксиоме 2. Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.

На рис. 16 в) изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 4, но элемент с непосредственно следует сразу за двумя элементами.