Какие свойства у пределов
Хотя функция в нуле не определена, когда приближается к нулю, то её значение становится сколь угодно близко к 1 в окрестности нуля, иными словами — предел функции в нуле равен 1.
У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен .
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, являющихся образами точек такой последовательности элементов области определения функции, которая сходится к точке, в которой рассматривается предел. Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.
Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. Предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).
В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т. н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.
Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция в заданной точке сама стремится к бесконечности. Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».
Отсутствие предела функции в данной точке означает, что для любого заранее заданного значения области значений существует окрестность этого значения такая, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной в данной точке.
Определения[править | править код]
Рассмотрим функцию , определённую на некотором множестве , которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать). Существуют разные определения предела функции, сформулированные Гейне, Коши.
Предел функции по Гейне[править | править код]
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к [1].
Предел функции по Коши[править | править код]
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: [1].
Окрестностное определение предела по Коши[править | править код]
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой окрестности точки существует проколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.
Предел по базе множеств[править | править код]
Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).
Пусть — некоторая база подмножеств области определения. Тогда
Если — предельная точка множества , то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке . Эта база имеет специальное обозначение «» и читается «при , стремящемся к по множеству ». Если область определения функции совпадает с , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «» и читается «при , стремящемся к ».
При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:
Соответственно этому вводятся две базы:
Эквивалентность определений[править | править код]
Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.[1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение условий одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.
Вариации и обобщения[править | править код]
Односторонний предел[править | править код]
Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.
Предел вдоль фильтра[править | править код]
Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.
Пределы на бесконечности[править | править код]
Предел функции на бесконечности описывает поведение значений данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.
Предел на бесконечности по Гейне[править | править код]
- Пусть числовая функция задана на множестве , в котором найдётся сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка . В этом случае число называется пределом функции на бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности точек соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .
- Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности положительных точек соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .
- Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .
Предел на бесконечности по Коши[править | править код]
- Пусть числовая функция задана на множестве , в котором найдётся сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка . В этом случае число называется пределом функции на бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, превышающих по абсолютному значению, справедливо неравенство .
- Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих правее , справедливо неравенство .
- Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих левее , справедливо неравенство .
Окрестностное определение по Коши[править | править код]
Пусть функция определена на множестве , имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка называется пределом функции на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся такая достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки .
Частичный предел[править | править код]
Для функции, как и для последовательности, можно ввести понятие частичного предела. Число называется частичным пределом функции в точке , если для какой-либо последовательности справедливо равенство . Наибольший из частичных пределов называется верхним пределом функции в точке и обозначается , наименьший из частичных пределов называется нижним пределом функции в точке и обозначается . Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы [2].
Обозначения[править | править код]
Если в точке у функции существует предел, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к , и пишут одним из следующих способов:
Если у функции существует предел на бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
Если у функции существует предел на плюс бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
Если у функции существует предел на минус бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
Свойства пределов числовых функций[править | править код]
Пусть даны числовые функции и .
- Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
- Сходящаяся функция локально и никак иначе сохраняет знак. Более обще,
где — проколотая окрестность точки .
- В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
- Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
- Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
- Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
- Правило двух милиционеров
- Предел суммы равен сумме пределов:
- Предел разности равен разности пределов:
- Предел произведения равен произведению пределов:
- Предел частного равен частному пределов.
Примеры[править | править код]
См. также[править | править код]
- Правило Лопиталя
- Замечательные пределы
- Повторный предел
- Непрерывная функция
- Список пределов
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
- Зорич В. А. Математический анализ. — М..
Ссылки[править | править код]
- Предел функции . Габович. И. Квант.1980 №10
- Предел функции в точке. Теоретическая справка
Предел функции
В ряде разделов нашего справочника, где требуется применение понятия предела функции, встречаются несколько ситуаций в зависимости от того, куда стремится аргумент функции x , и того, куда при этом стремится значение функции. Определения предела функции для этих случаев удобно представить в форме таблицы. Однако таблица, описывающая все возможные случаи, должна содержать 24 строки и является слишком громоздкой. Для удобства читателей мы привели в таблице только те определения предела функции, которые использованы в нашем справочнике.
| Название | Обозначение | Определение |
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a, равен числу A | Число A называют пределом функции f (x) при x, стремящемся к числу a, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ , что при всех , удовлетворяющих неравенству | x – a | < δ , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε . | |
f (x) → A при x → a | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A | Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству x > C , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε . | |
f (x) → A при | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A | Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к, если для любого положительного числа ε найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству x < C , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε . | |
f (x) → A при | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A | Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству | x | > C , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε . | |
f (x) → A при x → | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен | Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству | x | > C , будет выполняться неравенство | f (x)| > D . | |
f (x) → при x → | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен | Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству x > C , будет выполняться неравенство | f (x)| > D . | |
f (x) → при | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен | Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству x < C , будет выполняться неравенство | f (x)| > D . | |
f (x) → при | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a слева, равен Замечание. Когда говорят, что x стремится к a слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые меньше a . | Функция f (x) стремится к , при x, стремящемся к числу a слева, если для любого положительного числа С найдется такое положительное число δ что при всех x, удовлетворяющих неравенству a – δ < x < a , будет выполняться неравенство | f (x)| > C . | |
f (x) → при x → a – 0 | ||
Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a справа, равен Замечание. Когда говорят, что x стремится к a справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые больше a . | Функция f (x) стремится к , при x , стремящемся к числу a справа, если для любого положительного числа С, найдется такое положительное число δ что при всех x, удовлетворяющих неравенству a < x < a + δ , будет выполняться неравенство | f (x)| > C . | |
f (x) → при x → a + 0 |
Название: Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a, равен числу A Обозначения: или f (x) → A при x → a Определение: Число A называют пределом функции f (x) при x, стремящемся к числу a, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ , что при всех , удовлетворяющих неравенству | x – a | < δ , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε . |
Название: Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A Обозначения: или f (x) → A при Определение: Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к , если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству x > C , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε . |
Название: Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A Обозначения: или f (x) → A при Определение: Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к , если для любого положительного числа ε найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству x < C , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε . |
Название: Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен числу A Обозначения: или f (x) → A при x → Определение: Число A называют пределом функции f (x) при x , стремящемся к, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству | x | > C , будет выполняться неравенство | f (x) – A | < ε . |
Название: Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен Обозначения: или f (x) → при x → Определение: Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству | x | > C , будет выполняться неравенство | f (x)| > D . |
Название: Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен Обозначения: или f (x) → при Определение: Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое положительное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству x > C , будет выполняться неравенство | f (x)| > D . |
Название: Предел функции f (x) при x, стремящемся к , равен Обозначения: или f (x) → при Определение: Функция f (x) стремится к при x, стремящемся к , если для любого положительного числа D найдется такое отрицательное число С, что при всех x, удовлетворяющих неравенству x < C , будет выполняться неравенство | f (x)| > D . |
Название: Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a слева, равен Замечание. Когда говорят, что x стремится к a слева, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые меньше a . Обозначения: или f (x) → при x → a – 0 . Определение: Функция f (x) стремится к , при x, стремящемся к числу a слева, если для любого положительного числа С найдется такое положительное число δ что при всех x, удовлетворяющих неравенству a – δ < x < a , будет выполняться неравенство | f (x)| > C . |
Название: Предел функции f (x) при x, стремящемся к числу a справа, равен Замечание. Когда говорят, что x стремится к a справа, то это означает, что при определении предела функции рассматриваются только те значения x , которые больше a . Обозначения: или f (x) → при x → a + 0 . Определение: Функция f (x) стремится к , при x , стремящемся к числу a справа, если для любого положительного числа С, найдется такое положительное число δ что при всех x, удовлетворяющих неравенству a < x < a + δ , будет выполняться неравенство | f (x)| > C . |
Свойства пределов функций
Если у функций f (x) и g (x) при x , стремящемся к a , существуют пределы
и ,
где A и B – некоторые числа, то при x , стремящемся к a , существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих функций, причем
Если, кроме того, выполнено условие
то при x , стремящемся к a , существует предел дроби
причем
Для любой непрерывной функции F (x) справедливо равенство
Раскрытие неопределенностей типа
Определение 1 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .
Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.
Пример 1. Найти предел функции предел функции
Решение. Вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в каждой из скобок числителя и знаменателя дроби и, используя свойства пределов функций, получим
Ответ.
Пример 2. Найти предел функции предел функции
Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к более удобному виду:
Далее, используя свойства пределов функций, находим
Ответ. 3 .
Раскрытие неопределенностей типа
Определение 2 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что пределы числителя и знаменателя дроби равны 0 , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности .
В алгебраических дробях неопределенность при x → a раскрывается при помощи разложения на множители числителя и знаменателя дроби с последующим сокращением на соответствующую степень множителя (x – a) .
Пример 3. Найти предел функции
Решение. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби стремятся к 0 при x → – 2 , то для того, чтобы раскрыть неопределенность типа , разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе применим формулу сокращенного умножения «сумма кубов», а в знаменателе – разложение квадратного трехчлена на множители, а затем сократим дробь на (x + 2) :
Теперь предел знаменателя дроби равен – 11 , и, воспользовавшись свойствами пределов функций, получаем
Ответ.
Пример 4. Найти предел функции
Решение. В этом примере также возникает неопределенность типа .
К сожалению, из-за большого размера формул для расчета подробные вычисления на Вашем мобильном устройстве не видны. Их можно посмотреть только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах).
Указания к решению примера. Поскольку знаменатель дроби является разностью двух квадратных корней, каждый из которых стремится к одному и тому же числу 5 при x → 5 , то сначала необходимо домножить и числитель, и знаменатель дроби на сумму этих квадратных корней и применить формулу сокращенного уножения «разность квадратов». Затем, разложив квадратный трехчлен 4x2 – 9x – 55 на множители, сократить числитель и знаменатель на (x – 5) .
После этого, воспользовавшись свойствами пределов функций, получить ответ.
На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.
Ответ.
Первый замечательный предел
В пределах, содержащих тригонометрические функции, неопределенность раскрывается с помощью первого замечательного предела
Пример 5. Найти предел функции
Решение. Числитель и знаменатель дроби стремятся к 0 при x → 0 , поэтому для того, чтобы раскрыть неопределенность типа , разложим числитель и знаменатель дроби на множители. С этой целью в числителе вынесем за скобки x2, а в знаменателе воспользуемся формулой «разность косинусов»:
Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем
Ответ.
Пример 6. Найти предел функции
Решение. Чтобы вычислить данный предел, перейдем от переменной x к новой переменной z по формуле
.
Поскольку
,
то предел можно преобразовать к виду
Применяя формулы приведения и формулу для косинуса двойного угла, получаем
Теперь, воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами пределов функций, получаем
Ответ.
Раскрытие неопределенности типа . Второй замечательный предел
Определение 3. Если при нахождении предела степени некоторого выражения выясняется, что предел основания степени равен 1, а предел показателя степени равен , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности .
Неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела:
| (1) |
Если взять натуральный логарифм от обеих частей формулы (1), то второй замечательный предел примет вид:
| (2) |
Пример 7. Найти предел функции предел функции
Решение. Рассмотрим функцию
и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции y = ln f (x) при x →. Применяя свойства логарифмов, получаем
Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма к виду, удобному для применения второго замечательного предела,
и заметим, что
В пределе
и числитель, и знаменатель дроби стремятся к стремятся к, поэтому для раскрытия неопределенности вынесем за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и, используя свойства пределов функций, получим
Следовательно,
Таким образом,
Ответ.
Пример 8. Найти предел функции
Решение. Рассмотрим функцию
и, взяв от нее натуральный логарифм, найдем сначала предел функции y = ln f (x) при x → – 6 . Применяя свойства логарифмов, получаем
Чтобы вычислить предел функции y = ln f (x) при x → – 6 , перейдем от переменной x к новой переменной z по формуле
x = – 6 + z .
Поскольку
то предел (3) можно преобразовать к виду, с помощью формулы (3), получаем
Воспользовавшись вторым замечательным пределом в виде (2) и свойствами пределов функций, получаем
Следовательно,
Ответ.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.