Какие свойства у фигуры квадрат
Êâàäðàò — ïðàâèëüíûé ÷åòûð¸õóãîëüíèê. Ó êâàäðàòà âñå óãëû è ñòîðîíû îäèíàêîâû.
Êâàäðàòû ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü äëèíîé ñòîðîíû, à âñå 4 óãëà ïðÿìûå è ðàâíû 90°.
Êâàäðàòîì ìîæåò ñòàòü ïàðàëëåëîãðàìì, ðîìá ëèáî ïðÿìîóãîëüíèê, êîãäà ó íèõ îäèíàêîâûå äëèíû äèàãîíàëåé, ñòîðîí è ðàâíûå óãëû.
Ñâîéñòâà êâàäðàòà.
— ó âñåõ 4-õ ñòîðîí êâàäðàòà îäèíàêîâàÿ äëèíà, ò.å. ñòîðîíû êâàäðàòà ðàâíû:
AB = BC = CD = AD
— ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû êâàäðàòà ïàðàëëåëüíû:
AB||CD, BC||AD
— êàæäûé óãîë êâàäðàòà ïðÿìîé:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
— ñóììà óãëîâ êâàäðàòà ðàâíà 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
— êàæäàÿ äèàãîíàëü êâàäðàòà èìååò òàêóþ æå äëèíó, êàê è äðóãàÿ:
AC = BD
— êàæäàÿ èç äèàãîíàëåé êâàäðàòà äåëèò êâàäðàò íà 2 îäèíàêîâûå ñèììåòðè÷íûå ôèãóðû.
— óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ðàâåí 90°, ïåðåñåêàÿ äðóã äðóãà, äèàãîíàëè äåëÿòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè:
AC┴BD;AO = BO = CO = DO = d/2
— òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé íàçûâàþò öåíòð êâàäðàòà è îíà îêàçûâàåòñÿ öåíòðîì âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé.
— âñå äèàãîíàëè äåëÿò óãîë êâàäðàòà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè, òàêèì îáðàçîì, îíè îêàçûâàþòñÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ êâàäðàòà:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
— äèàãîíàëè äåëÿò êâàäðàò íà 4 îäèíàêîâûõ òðåóãîëüíèêà, êðîìå òîãî, ïîëó÷åííûå òðåóãîëüíèêè â îäíî âðåìÿ è ðàâíîáåäðåííûå è ïðÿìîóãîëüíûå:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Äèàãîíàëü êâàäðàòà.
Äèàãîíàëüþ êâàäðàòà ÿâëÿåòñÿ âñÿêèé îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò 2-å âåðøèíû ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ êâàäðàòà.
Äèàãîíàëü âñÿêîãî êâàäðàòà áîëüøå ñòîðîíû ýòîãî êâàäðàòà â √2 ðàç.
Ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ äëèíû äèàãîíàëè êâàäðàòà:
1. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ñòîðîíó êâàäðàòà:
2. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ïëîùàäü êâàäðàòà:
3. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ïåðèìåòð êâàäðàòà:
4. Ñóììà óãëîâ êâàäðàòà = 360°:
5. Äèàãîíàëè êâàäðàòà îäíîé äëèíû:
6. Âñå äèàãîíàëè êâàäðàòà äåëÿò êâàäðàò íà 2-å îäèíàêîâûå ôèãóðû, êîòîðûå ñèììåòðè÷íû:
7. Óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ðàâåí 90°, ïåðåñåêàÿ äðóã äðóãà, äèàãîíàëè äåëÿòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè:
8. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç äëèíó îòðåçêà l:
9. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
R — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè;
D — äèàìåòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè;
d — äèàãîíàëü êâàäðàòà.
10. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
R – ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè;
D – äèàìåòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè;
d – äèàãîíàëü.
11. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ëèíèþ, êîòîðàÿ âûõîäèò èç óãëà íà ñåðåäèíó ñòîðîíû êâàäðàòà:
C – ëèíèÿ, êîòîðàÿ âûõîäèò èç óãëà íà ñåðåäèíó ñòîðîíû êâàäðàòà;
d – äèàãîíàëü.
Ïåðèìåòð êâàäðàòà. Ïëîùàäü êâàäðàòà.
Âïèñàííûé êðóã â êâàäðàò – ýòî êðóã, ïðèìûêàþùèé ê ñåðåäèíàì ñòîðîí êâàäðàòà è èìåþùèé öåíòð íà ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé êâàäðàòà.
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè — ñòîðîíà êâàäðàòà (ïîëîâèíà).
Ïëîùàäü êðóãà âïèñàííîãî â êâàäðàò ìåíüøå ïëîùàäè êâàäðàòà â π/4 ðàçà.
Êðóã, îïèñàííûé âîêðóã êâàäðàòà — ýòî êðóã, êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç 4-ðå âåðøèíû êâàäðàòà è êîòîðûé èìååò öåíòð íà ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé êâàäðàòà.
Ðàäèóñ îêðóæíîñòè îïèñàííîé âîêðóã êâàäðàòà áîëüøå ðàäèóñà âïèñàííîé îêðóæíîñòè â √2 ðàç.
Ðàäèóñ îêðóæíîñòè îïèñàííîé âîêðóã êâàäðàòà ðàâåí 1/2 äèàãîíàëè.
Ïëîùàäü êðóãà îïèñàííîãî âîêðóã êâàäðàòà áîëüøàÿ ïëîùàäü òîãî æå êâàäðàòà â π/2 ðàç.
В статье дается определение, основные свойства и формулы для следующих геометрических фигур:
Четырехугольник (общее для всех четырехугольников)
Квадрат
Прямоугольник
Параллелограмм
Ромб
Трапеция
Треугольник
Окружность
Четырёхугольник
Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.
Основные свойства:
- Сумма углов четырёхугольника равна 360°
- Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
- Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.
- Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон.
В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.
Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°.Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
Квадрат
Квадрат — правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Основные формулы:
Периметр: P=4a, где P-периметр, a-сторона
Площадь: S=a2или S=d2/2
Сторона и диагональ связаны соотношениями: a=d/√2, d=a√2
Радиус описанной окружности: R=d или R=a/√(2)
Радиус вписанной окружности: r=a/2
где a-сторона, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(2) – корень квадратный из 2.
Свойства:
- Все стороны равны, все углы равны и составляют 90°;
- Диагонали квадрата равны и перпендикулярны;
- У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей;
- Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника.
Прямоугольник
Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые.
Основные формулы:
Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по сторонам: S = a*b
Площадь по диагонали и углу между ними: S = d²* sin γ. / 2
Стороны и диагональ связаны соотношением: d=√(a2+b2)/2 (теорема Пифагора)
Радиус описанной окружности: R= √(a2+b2)/2 (теорема Пифагора)
где a, b — длины сторон прямоугольника, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
γ – угол между диагоналями
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(a2+b2) – корень квадратный из (a2+b2).
Свойства:
- Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
- Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали.
Параллелограмм
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Определения:
Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.
Основные формулы:
Стороны и диагональ связаны соотношением: (d1)2+(d2)2=(a2+b2)*2
Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по стороне и высоте: S = a*h
Площадь по двум сторонам и углу между ними: S=a*b*sin α
Площадь по двум диагоналям и углу между ними: S=(d1*d2)/2*sin γ
где a, b — длины сторон, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h-высота, проведенная к противоположной стороне
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма (острый).
Свойства:
- У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
- Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.
- Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
- Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника (равны площади всех 4-х треугольников)
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
- Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Ромб
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Основные формулы:
Периметр: P=4*a
Площадь по стороне и высоте: S=a*h
Площадь по диагоналям: S = (d1*d2)/2
Площадь по стороне и радиусу вписанной окружности: S=2*a*r
Площадь по стороне и углу: S = a2 · sin α
Радиус окружности, вписанной в ромб: r=h/2 или r =(d1*d2)/4a
где a — длина стороны, d1, d2 –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h -высота, проведенная к противоположной стороне
α — угол между сторонами ромба
Свойства:
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
- В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей. Радиус окружности: r=h/2 или r = d1*d2/4a.
Трапеция
Трапеция — четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Определения:
- Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
- Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
- Средняя линия (первая средняя линия) трапеции — отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции.Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
- Средняя линия (вторая средняя линия) — отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей.
- Равнобокая трапеция – трапеция,у которой боковые стороны равны (c=d). У равнобокой трапеции:диагонали равны, углы при основании равны, сумма противолежащих углов равна 180°.Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
- Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Основные формулы:
Периметр: P=a+b+c+d
Площадь определить: S=h*(a+b)/2
Стороны и диагональ равнобокой трапеции: d² = ab+c²
Радиус вписанной окружности: r = h/2
где a,b — основания, c,d — боковые стороны (с – боковые стороны в случае, если трапеция равнобокая), d1, d2 –диагонали,
P-периметр, S-площадь, h -высота, проведенная к противоположной стороне
Свойства:
В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон (a+b=c+d). Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.
Треугольник
Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).
Определения:
- Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.
- Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны
- Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
- Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне
- Равные треугольники – треугольники, у которых соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны
- Равнобедренный треугольник— треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.
- Равносторонний или правильный треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
- Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого есть прямой угол. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.
Основные формулы:
Периметр: P=a+b+c
Площадь по стороне и высоте: S=(a*h)/2
Площадь по сторонам и углу между ними: S=(a*b)/2* sin γ
Площадь по трем сторонам и радиусу описанной окружности: S=(a*b*c)/4R
Площадь по трем сторонам и радиусу вписанной окружности: S=(a+b+c)/2*r
Площадь прямоугольного треугольника: S=(a*b)/2
Стороны прямоугольного треугольника: c2=a2+b2 (Теорема Пифагора)
где a,b, c — стороны (a,b –катеты , с – гипотенуза в случае прямоугольного треугольника)
d1, d2 –диагонали, h -высота, проведенная к противоположной стороне,
P-периметр, S-площадь, γ — угол между сторонами a и b
r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности
Свойства:
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
- Сумма углов треугольника равна 180°:
- Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон: |a-b| <c<a+b
- Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
- Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников
- Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой и высотой.
- Все углы равностороннего треугольника равны 60°. Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой.
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2=a2+b2 (Теорема Пифагора).В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.
Окружность
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.
Определения:
- Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой её точкой.
- Хорда — отрезок, который соединяет какие-либо две точки окружности (AB).
- Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности(d). Диаметр – наибольшая хорда окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.
- Касательная — прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку (E)
- Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.
Основные формулы:
Длина окружности: L = 2πR
Площадь круга: S = π*r2 или S = π*d2/4
где π = 3,14 (3,1415926535) – величина постоянная,
где r-радиус, d –диаметр, L – длина окружности, S-площадь.
Êâàäðàò — ïðàâèëüíûé ÷åòûð¸õóãîëüíèê. Ó êâàäðàòà âñå óãëû è ñòîðîíû îäèíàêîâû.
Êâàäðàòû ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü äëèíîé ñòîðîíû, à âñå 4 óãëà ïðÿìûå è ðàâíû 90°.
Êâàäðàòîì ìîæåò ñòàòü ïàðàëëåëîãðàìì, ðîìá ëèáî ïðÿìîóãîëüíèê, êîãäà ó íèõ îäèíàêîâûå äëèíû äèàãîíàëåé, ñòîðîí è ðàâíûå óãëû.
Ñâîéñòâà êâàäðàòà.
— ó âñåõ 4-õ ñòîðîí êâàäðàòà îäèíàêîâàÿ äëèíà, ò.å. ñòîðîíû êâàäðàòà ðàâíû:
AB = BC = CD = AD
— ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû êâàäðàòà ïàðàëëåëüíû:
AB||CD, BC||AD
— êàæäûé óãîë êâàäðàòà ïðÿìîé:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
— ñóììà óãëîâ êâàäðàòà ðàâíà 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
— êàæäàÿ äèàãîíàëü êâàäðàòà èìååò òàêóþ æå äëèíó, êàê è äðóãàÿ:
AC = BD
— êàæäàÿ èç äèàãîíàëåé êâàäðàòà äåëèò êâàäðàò íà 2 îäèíàêîâûå ñèììåòðè÷íûå ôèãóðû.
— óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ðàâåí 90°, ïåðåñåêàÿ äðóã äðóãà, äèàãîíàëè äåëÿòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè:
AC┴BD;AO = BO = CO = DO = d/2
— òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé íàçûâàþò öåíòð êâàäðàòà è îíà îêàçûâàåòñÿ öåíòðîì âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé.
— âñå äèàãîíàëè äåëÿò óãîë êâàäðàòà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè, òàêèì îáðàçîì, îíè îêàçûâàþòñÿ áèññåêòðèñàìè óãëîâ êâàäðàòà:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
— äèàãîíàëè äåëÿò êâàäðàò íà 4 îäèíàêîâûõ òðåóãîëüíèêà, êðîìå òîãî, ïîëó÷åííûå òðåóãîëüíèêè â îäíî âðåìÿ è ðàâíîáåäðåííûå è ïðÿìîóãîëüíûå:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Äèàãîíàëü êâàäðàòà.
Äèàãîíàëüþ êâàäðàòà ÿâëÿåòñÿ âñÿêèé îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò 2-å âåðøèíû ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ êâàäðàòà.
Äèàãîíàëü âñÿêîãî êâàäðàòà áîëüøå ñòîðîíû ýòîãî êâàäðàòà â √2 ðàç.
Ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ äëèíû äèàãîíàëè êâàäðàòà:
1. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ñòîðîíó êâàäðàòà:
2. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ïëîùàäü êâàäðàòà:
3. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ïåðèìåòð êâàäðàòà:
4. Ñóììà óãëîâ êâàäðàòà = 360°:
5. Äèàãîíàëè êâàäðàòà îäíîé äëèíû:
6. Âñå äèàãîíàëè êâàäðàòà äåëÿò êâàäðàò íà 2-å îäèíàêîâûå ôèãóðû, êîòîðûå ñèììåòðè÷íû:
7. Óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ðàâåí 90°, ïåðåñåêàÿ äðóã äðóãà, äèàãîíàëè äåëÿòñÿ íà äâå ðàâíûå ÷àñòè:
8. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç äëèíó îòðåçêà l:
9. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
R — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè;
D — äèàìåòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè;
d — äèàãîíàëü êâàäðàòà.
10. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
R – ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè;
D – äèàìåòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè;
d – äèàãîíàëü.
11. Ôîðìóëà äèàãîíàëè êâàäðàòà ÷åðåç ëèíèþ, êîòîðàÿ âûõîäèò èç óãëà íà ñåðåäèíó ñòîðîíû êâàäðàòà:
C – ëèíèÿ, êîòîðàÿ âûõîäèò èç óãëà íà ñåðåäèíó ñòîðîíû êâàäðàòà;
d – äèàãîíàëü.
Ïåðèìåòð êâàäðàòà. Ïëîùàäü êâàäðàòà.
Âïèñàííûé êðóã â êâàäðàò – ýòî êðóã, ïðèìûêàþùèé ê ñåðåäèíàì ñòîðîí êâàäðàòà è èìåþùèé öåíòð íà ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé êâàäðàòà.
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè — ñòîðîíà êâàäðàòà (ïîëîâèíà).
Ïëîùàäü êðóãà âïèñàííîãî â êâàäðàò ìåíüøå ïëîùàäè êâàäðàòà â π/4 ðàçà.
Êðóã, îïèñàííûé âîêðóã êâàäðàòà — ýòî êðóã, êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç 4-ðå âåðøèíû êâàäðàòà è êîòîðûé èìååò öåíòð íà ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé êâàäðàòà.
Ðàäèóñ îêðóæíîñòè îïèñàííîé âîêðóã êâàäðàòà áîëüøå ðàäèóñà âïèñàííîé îêðóæíîñòè â √2 ðàç.
Ðàäèóñ îêðóæíîñòè îïèñàííîé âîêðóã êâàäðàòà ðàâåí 1/2 äèàãîíàëè.
Ïëîùàäü êðóãà îïèñàííîãî âîêðóã êâàäðàòà áîëüøàÿ ïëîùàäü òîãî æå êâàäðàòà â π/2 ðàç.
Квадрат, его свойства и признаки.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:
Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.
У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.
У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.
У квадрата диагонали равны.
У квадрата стороны являются высотами.
Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.
Теперь определим признаки квадрата.
ТЕОРЕМА (I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.
– квадрат (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим .
по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).
– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
– диагональ
– биссектриса
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как – биссектриса , то .
по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Дано: – ромб
— диагонали
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. . Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых и , следовательно, их сумма равна , т.е. , а, значит, и . Так как в ромбе противолежащие углы равны, то и все остальные углы также равны по . Значит, такой ромб является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.
Так как , то по IV признаку квадрата, ромб является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
1. Так как , то четырёхугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).
2. Так как , то ромб, который по определению является параллелограммом, является прямоугольником (по III признаку прямоугольника), значит, все углы в этом четырёхугольнике прямые.
3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.
Итак, признаки квадрата:
Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
Периметр квадрата равен см. Найдите сторону квадрата .
На рисунке четырёхугольник – квадрат, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник также является квадратом.
На рисунке четырёхугольник – прямоугольник, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник является квадратом.
В треугольнике . На сторонах и взяты точки и , а на стороне – точки и так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
В треугольнике . На сторонах отмечены точки соответственно так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно, . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите .
На сторонах квадрата отмечены соответственно точки . Сравните отрезки и .
На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Докажите, что сумма расстояний от точек и до прямой равна .
На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна . Найдите длину диагонали.
В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
Дан квадрат . Докажите, что – квадрат.
Дан квадрат . Докажите, что – ромб.
Дан квадрат . На стороне взята точка такая, что . Докажите, что точки – вершины равнобедренного треугольника.
Дан квадрат . Точки – середины его сторон соответственно. Докажите, что .
Дан квадрат . Точки и делят его стороны и так, что . Докажите, что .
Квадраты и имеют общую вершину . Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна отрезку .
Внутри квадрата взята точка так, что . Докажите, что треугольник равносторонний.
На рисунке – квадрат, точка принадлежит , точка принадлежит , точка принадлежит , прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно см. Найдите периметр этого квадрата.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно так, что . Определите взаимное расположение прямых и .
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий угол . Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен см.
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .
