Какие свойства сложения изучают в начальной школе

                                                                                                Правила по математике
                                                

ЧИСЛА И ЦИФРЫ.

Числа – это единицы счёта. С
помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные
величины (длину, ширину, высоту и т.д.).

Для записи чисел используются специальные знаки
– цифры.

Цифр – десять:

1   2  
3   4   5  
6   7   8   9   0

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Числа, которые используются при счёте,
называются натуральными.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …, □

1 – самое маленькое число.

□ – самого большого числа не существует.

Число 0 (нуль) обозначает отсутствие предмета.
Нуль не является натуральным число.

СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ.

Правило 1.

Из двух натуральных чисел больше то, которое в натуральном ряду расположено правее, а меньше
то, которое расположено левее:

…,   10,   11,   12,  
13,   14,   15,  

14 > 11 

Правило 2.

Из двух натуральных чисел с разным количеством разрядов больше
то число, в котором разрядов больше.

28 < 145        782
< 1263 

Правило 3.

Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством разрядов больше то, у которого больше
цифра старшего разряда.

4 5 861    
и    4 7 361

45 861 < 
47 361       47361 >
45 681

СЛОЖЕНИЕ.

Сложение – это математическое действие.

Числа, которые
складываются, называются слагаемыми.

Результат сложение
называется суммой.

Правило 1.

Если одно из слагаемых
равно 0, сумма равна второму слагаемому:

a  + 
0  =  a          
0  +  a 
=  a

5  + 
0  =  5           0 
+  5  =  5 

Правило 2.

Если оба слагаемых равны 0, то и сумма равна
0:     0  
+   0   =   0

ВЫЧИТАНИЕ.

Вычитание – действие, обратное сложению.

Правило 1.

Если к разности
прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Правило 2.

Если из уменьшаемого вычесть разность, то
получится вычитаемое.

ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ.

Закон 1.

Переместительный закон
сложения.

От перемены мест слагаемых значение суммы не
меняется:

a   +   b   =   b  +  a

4  + 
2  =  2  +  4 

Закон 2.

Сочетательный  закон сложения.

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число,
можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел или ко второму
числу прибавить сумму первого и третьего чисел:

(a   +   b) 
+  c   =   a  + 
(b  +  c)  
=  (a  + 
c)  +  b

(2  +  4) 
+  8  =  2  + 
(4  +  8) 
=  (2  + 
8)  +  4

УМНОЖЕНИЕ.

Умножение – это сложение одинаковых слагаемых.

2  + 
2  +  2 
=  2  · 
3  =  6

2
– слагаемое

3
– число, которое показывает, сколько раз повторяется слагаемое 2 (по два три
раза)

· ,  ×  — знаки умножения. 

a   ·   b   =   a +a  + 
a  + … + a

b
раз

ДЕЛЕНИЕ.

Деление – это действие,
обратное умножению.

6  : 
2  =  3                        6  : 3 
=  2 

ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ.

Закон 1.

Переместительный закон
умножения.

От перестановки множителей произведение не
меняется:

a   ·   b   =   b  ·  a

4  · 
2  =  2  ·  4

8  =  8

Закон 2.

Сочетательный  закон умножения.

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье
число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел или
второе число умножить на произведении первого и третьего чисел:

(a   ·   b)  ·  c   =   a  ·  (b  ·  c)   =  (a  ·  c)  ·  b

(2  · 
4)  ·  8 
=  2  · 
(4  ·  8)  =  (2  ·  8)  ·  4

Закон 3.

Распределительный  закон умножения. 

Относительно
сложения

Произведение суммы на число равно сумме
произведений каждого слагаемого на это число.

(a   +   b  +  c) 
·  d   =   a   ·   d  + 
b  ·  d   +   c  ·  d 

(2  +  5 
+  3)  ·  2 
=  2  ·  2  + 
5  ·  2 
+  3  · 
2  =  20 

Относительно
вычитания

Чтобы умножить разность на число, достаточно
умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого
произведения вычесть второе произведение.

(a   —   b)  ·  d   =   a   ·   d  —  b  ·  d  

(15  —  5)  ·  4  =  15  ·  4  — 
5  ·  4 
=  60  -+ 
20  =  40

СВОЙСТВА ДЕЛЕНИЯ.

Правило 1.

Чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить каждое слагаемое на это число,
а полученные результаты сложить.

(a  +  b)  :  c   =   a   :  c  + 
b  :  c  

Правило 2.

Чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и
вычитаемое, а затем из первого частного вычесть второе частное. 

(a  —  b)  :  c   =   a   :  c  —  b  :  c  

Правило 3.

Частное от
деления произведений двух множителей на число равно произведению одного из множителей
на частное от деления второго множителя на это число.

(a  ·  b)  :  c   =  (a   :  c)  ·  b 
=  a  · 
(b  :  c)  

Правило 4.

Чтобы разделить
число на частное, достаточно разделить это число на делимое и полученный
результат умножить на делитель.

a  ·  (b  :  c)   =   (a   :  b)  ·  c  

Правило 5.

Чтобы разделить
частное на число, достаточно умножить делитель  на это число и разделить делимое на полученный
результат

Можно так же разделить делимое на это число, а
полученный результат разделить на делитель.

(a  :  b)  :  c   =   a   :  (b  ·  c)

или

 (a  :  b)  :  c   =   (a   :  c)  :  b  

НАХОЖДЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ
ДЕЛЕНИЯ.

Правило.

Чтобы найти неизвестный
делитель, нужно делимое разделить на частное.

a  :  ?  =  c                                    ?  
= a  :  c   

Чтобы найти неизвестное
делимое, нужно частное умножить на делитель.

?  :  b  =  c                                    ?  
= c  ·  b   

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ УМНОЖЕНИЯ.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ДЕЛЕНИЯ.

Нуль
можно делить на любое число, получится 0.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ.

На 2
делятся
все чётные числа, то есть числа, которые оканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6, 8.

На 3
делятся
все числа, сумма цифр которых делится на 3.

На 5
делятся
все числа, которые оканчиваются на 0 или 5.

На 6
делятся
числа, которые делятся одновременно и на 2, и на 3.

На 9
делятся
числа, сумма цифр которых делится на 9.

ИМЕНОВАННЫЕ ЧИСЛА.

Именованные
числа –
это числа, полученные при измерении величин и сопровождающиеся названием единиц
измерения.

Например: 2 кг, 4 см, 8 л

Именованные числа бывают простые и составные.

Простые именованные числа: 7 м, 18 т, 21 кг – в них входит только
одн единица измерения.

Составные именованные числа: 2 м 4 см, 24 кг 45 г, 8 км 520 м – в них входят
несколько единиц измерения.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ИМЕНОВАННЫХ ЧИСЕЛ.

Чтобы перейти от одних единиц измерения к
другим, пользуйся таблицей величин.

Таблица величин.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
ИМЕНОВАННЫХ ЧИСЕЛ.

Правило.

Складывать и вычитать можно именованные числа,
выраженные в одинаковых единицах
измерения.

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
ИМЕНОВАННЫХ ЧИСЕЛ.

Запомни!

При умножении и делении составные именованные
числа сначала заменяют простыми, а затем выполняют вычисления. В ответе простое
именованное число заменяют составным.

ВЫРАЖЕНИЯ.

Математическое
выражение
– это фраза, записанная с помощью чисел, знаков и букв.

Выражение, записанное только с помощью чисел и
знаков, называется числовым.

Выражение, в котором кроме чисел и знаков есть
буквы, называется буквенным.

Любое числовое выражение имеет значение. Найти значение числового
выражения – значит найти его ответ.

ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ В
ВЫРАЖЕНИЯХ.

Правило 1.

В выражениях без скобок, где выполняются только сложение и вычитание,
действия выполняются в том порядке, в котором они записаны (то есть слева
направо).

                                                                                
 1            2

70  —  26 
+  10  =  54

                                                                                
 1            2

90  —  20 
—  15  =  55

                                                                                
 1            2

42  +  18 
—  19  =  41

Правило 2.

В выражениях без скобок, где выполняются только умножение  и деление, действия выполняются в том
порядке, в котором они записаны.

                                                                                  
 1            2

4  ·  10 
:  5  =  8

                                                                                  
 1            2

60  :  10 
·  3  =  18

                                                                                  
 1            2

36  :  9 
·  3  =  12

Правило 3.

В выражениях со скобками первым выполняется действие в скобках, затем умножение
или деление и только потом сложение или вычитание.

                                                                                
 1             2

80  —  (46 
—  14)  =  48

                                                                               
1              2

6  ·  (30 
—  20)  =  60

                                                                                
 1            2

90  :  (2 
·  5)  =  9

Правило 4.

В выражениях, где есть действия первой и второй
ступеней (то есть +,  -,  ·,  :),
сначала выполняются умножение и деление, а затем по порядку сложение и
вычитание.

                                                                              
   1     
3         2

6 · 5 + 40 : 2 = 20

                                                                                 
 2        1       
3

72 – 24 : 6 + 2 = 70

УРАВНЕНИЯ.

Уравнение – это равенство,
которое содержит в себе неизвестное (переменную),
значение которого нужно найти, чтобы равенство было верным.

Решить
уравнение
– значит найти все значения переменной, при которых уравнение превращается в
верное равенство.

x  + 
3  =  5

x  =  5  —  3

x  =  2

2  + 
3  =  5

5  =  5 

Значение
переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения: y  — 
2  =  7

y  = 9  —
корень уравнения, так как 9  — 
2  =  7

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
УРАВНЕНИЙ.

Правило 1.

Чтобы найти неизвестное
слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

x  + 
3  =  5

x  = 
5  —  3

Правило 2.

Чтобы найти неизвестное
уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.

x  —  3 
=  5

x  = 
5  +  3

Правило 3.

Чтобы найти неизвестное
вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

8  —  x  =  5

x  =  8
 —  5

Правило 4.

Чтобы найти неизвестный
множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

x  · 
3  =  15

x  =  15  :  3

Правило 5.

Чтобы найти неизвестное
делимое, нужно к вычитаемому прибавить разность.

x  : 
3  =  5

x  = 
5  ·  3

Правило 6. 

Чтобы найти неизвестный
делитель, нужно делимое разделить на частное.

8  :  x  =  2

x  =  8  :  2

УЧИМСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ.

Как работать над
задачей.

1.   
Прочитай
внимательно условие задачи и представь то, о чём идёт речь.

2.   
Запиши
кратко задачу или сделай к ней рисунок, схему, чертёж.

3.   
Объясни,
что означает каждое число.

4.   
Устно
составь план решения задачи.

5.   
Реши
задачу и найди ответ.

6.   
Проверь
решение, составив обратную задачу.

7.   
Запиши
ответ.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ
СУММЫ ДВУХ ЧИСЕЛ.

Запомни!

Задачи этого вида решаются сложением, потому что
находим сумму.

Задача.

Белочка припасла для маленьких друзей 4 гриба и
5 орехов. Сколько всего гостинцев приготовила белочка?

Краткое условие:

Грибов — □

Орехов
— □

Решение:

4  + 
5  =  9 (гост.)

Ответ: 9 гостинцев.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ
ОСТАТКА.

Запомни!

Задачи этого вида решаются вычитанием, потому
что находим остаток.

Задача.

На ветке было 7 ягод рябины. Снегирь склевал 3
ягоды. Сколько ягод осталось?

Краткое условие:

Было
– 7 яг.

Склевал
– 3 яг.

Осталось
— ? яг.

Решение:

7  — 
3  =  4 
(яг.)

Ответ: 4 ягоды.

ЗАДАЧИ НА УВЕЛИЧЕНИЕ
ЧИСЛА

НА НЕСКОЛЬКО ЕДИНИЦ.

Задача.

Во дворе гуляло 6 утят, а гусят на 2 больше.
Сколько гуляло гусят?

Краткое условие:

Утят – 6 пт.

Гусят – ? пт., на 2 больше (>)

Решение:

6  + 
2  =  8 
(гус.)

Ответ: 8 гусят.

ЗАДАЧИ НА УМЕНЬШЕНИЕ
ЧИСЛА

НА НЕСКОЛЬКО ЕДИНИЦ.

Задача.

На столе лежало 9 столовых ложек, а чайных на 3
меньше. Сколько чайных ложек лежало на столе?

Краткое условие:

Стол. – 9 лож.

Чайн. – ? лож., на 3 меньше (<)

Решение:

9  — 
3  =  6 
(лож.)

Ответ: 6 чайных ложек.

ЗАДАЧИ НА РАЗНОСТНОЕ
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ.

Правило.

Чтобы узнать, на сколько одно число больше (меньше) другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.

Задача.

В одной корзине 7 яблок, а в другой – 10 груш.
На сколько груш больше, чем яблок?

Краткое условие:

Яб. – 7 шт.

Гр. – 10 шт.,        на ? шт. больше (>)

Решение:

10  — 
7  =  3 
(гр.)

Ответ: на 3 груши.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ

НЕИЗВЕСТНОГО СЛАГАЕМОГО.

Задача.

Два петушка нашли 8 червячков. Первый нашёл 5.
Сколько червячков нашёл второй петушок?

Краткое условие:

1 пет. – 5 чер.      8 чер.

2
пет. — ? чер.

Решение:

8  — 
5  =  3 
(чер.)

Ответ: 3 червячка.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ

НЕИЗВЕСТНОГО
УМЕНЬШАЕМОГО.

Задача.

На тарелке лежали пряники. Когда дети взяли 4
пряника, на тарелке осталось 8. Сколько пряников было на тарелке?

Краткое условие:

Было
– ? пр.

Взяли
– 4 пр.

Осталось
– 8 пр.

Решение:

8  + 
4  =  12 
(пр.)

Ответ: 12 пряников.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ

НЕИЗВЕСТНОГО
ВЫЧИТАЕМОГО.

Задача.

В вазе стояло 7 гвоздик. Когда несколько гвоздик
отдали, в вазе осталось 5 гвоздик. Сколько гвоздик отдали?

Краткое условие:

Было
– 7 гв.

Отдали
– ? гв.

Осталось
– 5 гв.

Решение:

7  — 
5  =  2 
(гв.)

Ответ: 2 гвоздики.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ.

Задача.

В одной коробке 6 карандашей. Сколько карандашей
в 4 коробках?

Краткое условие:

1
кор. – 6 кар.

4
кор. — ? кар.

Решение:

6
 · 
4  =  24 
(кар.)

Ответ: 24 карандаша.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ
ЧАСТНОГО ДВУХ ЧИСЕЛ.

Задача 1.

ДЕЛЕНИЕ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ.

15 шариков раздали 5 ученикам поровну. Сколько
шариков получил каждый ученик?

Краткое условие:

15
шар. – 5 уч.

Поровну
шар. – 1 уч.

Решение:

15  : 
5  =  3 
(шар.)

Ответ: 3 шарика.

Задача 2.

ДЕЛЕНИЕ ПО СОДЕРЖАНИЮ.

12 лимонов разложили в пакеты по 4 лимона в
каждый. Сколько получилось пакетов с лимонами?

Краткое условие:

12
лим. – ? пак.

4
лим. – 1 пак.

Решение

12  : 
4  =  3  (пак.)

Ответ: 3 пакета.

ЗАДАЧИ НА УВЕЛИЧЕНИЕ
ЧИСЛА В НЕСКОЛЬКО РАЗ.

Задача.

У Тани было 4 ириски, а карамелек в 2 раза
больше. Сколько карамелек было у Тани?

Краткое условие:

Ириски – 4 шт.

Карамельки – ? шт., в 2 раза
больше (>)

Решение:

4  · 
2  =  8 
(кар.)

Ответ: 8 карамелек.

ЗАДАЧИ НА УМЕНЬШЕНИЕ
ЧИСЛА

В НЕСКОЛЬКО РАЗ.

Задача.

На одной полке стоит 12 книг, а на второй –
в  3 раза меньше. Сколько книг на второй
полке?

Краткое условие:

I – 12 кн.

II
– ? кн., в 3 раза меньше (<)

Решение:

12  : 
3  =  4 
(кн.)

Ответ: 4 книг.

ЗАДАЧИ НА КРАТНОЕ
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ.

Правило.

Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) другого, нужно  большее число разделить на меньшее.

Задача.

Петя почистил 27 картофелин, а Коля – 9. Во
сколько раз больше картофелин почистил Петя, чем Коля?

Краткое условие:

Петя – 27 кар.        во ? раз больше (>)

Коля – 9 кар.,       

Решение:

27  : 
9  =  3 
(гр.)

Ответ: в 3 раза больше.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ
НЕИЗВЕСТНОГО МНОЖИТЕЛЯ.

Задача.

20 яблок разложили в сетки по 5 яблок в каждую.
Сколько потребовалось сеток?

Краткое условие:

1
сет. – 5 яб.

?
сет. – 20 яб.

Решение:

1-ый
способ:        20 :  5  = 4
(сет.)

2-ой
способ:  запишем решение задачи, составив
уравнение.

х  · 
5  =  20

х  = 
20  :  5

х  =  4
(сет.)

Ответ: 4 сетки.

ЗАДАЧИ В КОСВЕННОЙ
ФОРМЕ.

Правило.

При решении задач в косвенной форме помни: если
одна величина на несколько единиц (в несколько раз) больше, то другая на
столько же единиц (во столько же раз) меньше.

Задача.

Брату 5 лет, он на 2 года старше сестры. Сколько
лет сестре?

Краткое условие:

Брат – 5 лет, на 2 года больше (>)

Сестра – ? лет       

Если брат
старше на 2 года, значит, сестра на 2 года младше. Чтобы стало меньше, нужно
вычитать.

Решение:

5  — 
2  =  3  (г.)

Ответ: 3 года.

Задача.

У Нины 7 марок. Это на 4 марки меньше, чес у
Тани. Сколько марок у Тани?

Краткое условие:

Нина – 7 мар., на 4 мар. меньше (<)

Таня – ? мар.       

Если у
Нины на 4 марки меньше, значит, у Тани на 4 марки больше. Чтобы стало больше,
нужно прибавлять.

Решение:

7  + 
4  =  11 (мар.)

Ответ: 11 марок.