Какие свойства преобразования подобия вы знаете докажите что преобразование
Инфоурок
›
Другое
›Презентации›Презентация «Преобразование подобия и его свойства»
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
«Величие человека — в его способности мыслить». (Б. Паскаль)
2 слайд
Описание слайда:
Преобразование подобия и его свойства. Подобные фигуры
3 слайд
Описание слайда:
Цели урока: -узнать какое преобразование называется подобием; -какими свойствами обладает подобие; -какие фигуры называются подобными.
4 слайд
Описание слайда:
Определите виды преобразований
5 слайд
Описание слайда:
Вопрос! Какого преобразования не было среди перечисленных?
6 слайд
Описание слайда:
Гомотетия! Определение гомотетии; Свойства гомотетии; Элементы гомотетии; Является ли гомотетия движением?
7 слайд
Описание слайда:
Работа по карточкам: Задание 1. Дан треугольник АВС, точка О-центр гомотетии, коэффициент гомотетии равен 2. Постройте треугольник гомотетичный данному. Задание 2. Дан параллелограмм АВСD, точка О-центр гомотетии, коэффициент гомотетии равен 1,5. Постройте параллелограмм гомотетичный данному. Задание 3. Дана трапеция АВСD, точка О-центр гомотетии, коэффициент гомотетии равен -2. Постройте трапецию гомотетичную данной.
8 слайд
Описание слайда:
Преобразование подобия.
9 слайд
Описание слайда:
Подобие вокруг нас!
10 слайд
11 слайд
12 слайд
Описание слайда:
Чему равно K? А О В С 8см 5 см Н К Р М 32 см 20 см
13 слайд
14 слайд
Описание слайда:
Вопрос! Если k=1, то преобразование подобия будет являться каким преобразованием?
15 слайд
Описание слайда:
Задание: Если размеры фигуры, полученной преобразованием подобия относительно исходной, увеличились в 7 раз, то чему равен коэффициент подобия? А если уменьшились в 10 раз, то тогда коэффициент подобия чему равен?
16 слайд
17 слайд
Описание слайда:
Свойства преобразования подобия Свойство 1: Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки; Свойство 2: Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми
18 слайд
19 слайд
Описание слайда:
Подобные фигуры Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия
20 слайд
Описание слайда:
Подобные фигуры Расстояние между соответствующими точками изменилось в одно и то же число раз, значит, треугольники были подвергнуты преобразованию подобия, следовательно треугольники подобны: ∆АВС∾∆А1В1С1 число 3 – коэффициент подобия ∾ — знак подобия фигур А А1 С В С1 В1 5см 15см 4см 12см 6 см 18 см
21 слайд
Описание слайда:
Свойства подобных фигур Если фигура А подобна фигуре В, а фигура В подобна фигуре С, то фигуры А и С подобны; У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны.
22 слайд
Описание слайда:
Квадрат А ∾ квадрату В, а квадрат В ∾ квадрату С квадрат А ∾ квадрату С А С В 3 см 2 см 5 см
23 слайд
Описание слайда:
∆АВС ∾ ∆КМН ∠ А=∠ К, ∠В=∠М, ∠С=∠Н и АВ:КМ=ВС:МН=АС:КН Против равных углов лежат пропорциональные стороны А С В К Н М
24 слайд
Описание слайда:
Попробуй сам! Задание 1. Дан квадрат АВСD, сторона которого равна 2 см , коэффициент подобия равен 4, постройте квадрат подобный данному. Задание 2. Стороны подобного данному параллелограмма KMNE равны KM=NE=15, MN=KE=27, к=3, найдите стороны исходного параллелограмма FSRT.
25 слайд
Описание слайда:
Задание 3 Дано: ∆АВС ∾ ∆МРН АВ:МН=2 Найти: х, у, z A В С Н Р М 8 см 6 см 7 см z y x
26 слайд
Описание слайда:
Домашнее задание. Параграф 17, учить определения, № 168
27 слайд
Описание слайда:
Проверь себя Какие фигуры называются подобными? Каким знаком обозначается подобие фигур? Какие фигуры называются подобными?
Выберите книгу со скидкой:
БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА
Инфолавка — книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Педагог-библиотекарь
Курс профессиональной переподготовки
Библиотекарь
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Номер материала:
ДБ-336549
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Пусть рассматривается некоторая фигура и фигура, полученная из нее преобразованием подобия (центр О, коэффициент k, см. рис. 263). Установим основные свойства преобразования подобия.
1. Преобразование подобия устанавливает между точками фигур взаимно однозначное соответствие.
Это значит, что при заданном центре О и коэффициенте подобия k всякой точке первой фигуры отвечает единственным образом определенная точка второй фигуры и что, обратно, всякая точка второй фигуры получена преобразованием единственной точки первой Фигуры.
Рис. 266.
Доказательство. То, что любой точке А исходной фигуры отвечает определенная точка А преобразованной фигуры, следует из определения, указывающего точный способ преобразования. Легко видеть, что, и обратно, преобразованная точка А определяет исходную точку А однозначно: обе точки должны лежать на одном луче при и на противоположных лучах при и отношение их расстояний до начала луча О известно: при Поэтому точка А, лежащая на известном нам расстоянии от начала О, определена единственным образом.
Следующее свойство можно назвать свойством взаимности.
2. Если некоторая фигура получена из другой фигуры преобразованием подобия с центром О и коэффициентом подобия k, то, и обратно, исходная фигура может быть получена преобразованием подобия из второй фигуры с тем же центром подобия и коэффициентом подобия
Это свойство, очевидно, следует хотя бы из рассуждений, приведенных при доказательстве свойства 1. Читателю остается проверить, что соотношение верно для обоих случаев: КО и
Фигуры, получаемые одна из другой преобразованием подобия, называют гомотетичными или подобно расположенными.
3. Любые точки, лежащие на одной прямой, преобразуются при гомотетии в щочки, лежащие на одной прямой, параллельной исходной (совпадающей с ней, если она проходит через О).
Доказательство. Случай, когда прямая проходит через О, ясен; любые точки этой прямой переходят в точки этой же прямой. Рассмотрим общий случай: пусть (рис. 266) А, В, С — три точки основной фигуры, лежащие на одной прямой; пусть А — образ точки А при преобразовании подобия.
Проведем покажем, что образы В и С также лежат на АК. Действительно, проведенная прямая и прямая АС отсекают на ОА, ОВ, ОС пропорциональные части: Таким образом, видно, что точки , лежащие на лучах ОВ и ОС и на прямой АК (аналогично получится и при являются соответственными для В и С. Можно сказать, что при преобразовании подобия всякая прямая, не проходящая через центр подобия, преобразуется в прямую, параллельную себе.
Из сказанного уже видно, что всякий отрезок преобразуется также в отрезок.
4. При преобразовании подобия отношение любой пары соответствующих отрезков равно одному и тому же числу — коэффициенту подобия.
Доказательство. Следует различать два случая.
1) Пусть данный отрезок АВ не лежит на луче, проходящем через центр подобия (рис. 266). В этом случае данные два отрезка — исходный АВ и ему подобно соответствующий АВ — суть отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла АОВ. Применяя свойство п. 203, находим , что и требовалось доказать.
Рис. 267.
2) Пусть данный отрезок, а значит, и ему подобно соответствующий лежат на одной прямой, проходящей через центр подобия (отрезки АВ и АВ на рис. 267). Из определения подобного преобразования имеем откуда, образуя производную пропорцию, находим , что и требовалось доказать.
5. Углы между соответствующими прямыми (отрезками) подобно расположенных фигур равны.
Доказательство. Пусть данный угол и угол, соответствующий ему при преобразовании подобия с центром О и некоторым коэффициентом k. На рис. 263, 264 представлены два варианта: . В любом из этих случаев по свойству 3 стороны углов попарно параллельны. При этом в одном случае обе пары сторон одинаково направлены, во втором — обе противоположно направлены. Таким образом, по свойству углов с параллельными сторонами углы равны.
Итак, доказана
Теорема 1. У подобно расположенных фигур любые соответствующие пары отрезков находятся в одном и том же постоянном отношении, равном коэффициенту подобия; любые пары соответствующих углов равны.
Таким образом, из двух подобно расположенных фигур любая может считаться изображением другой в некотором выбранной масштабе.
Пример 1. Построить фигуру, подобно расположенную с квадратом ABCD (рис. 268) при данном центре подобия О и коэффициенте подобия
Решение. Соединяем одну из вершин квадрата (например, А) с центром О и строим точку А такую, что Эта точка и будет соответствовать А в преобразовании подобия. Дальнейшее построение удобно провести так: соединим остальные вершины квадрата с О и через А проведем прямые, параллельные соответствующим сторонам АВ и AD. В точках их пересечения с О В и и будут помещаться вершины В и D. Так же проводим ВС параллельно ВС и находим четвертую вершину С. Почему ABCD также является квадратом? Обосновать самостоятельно!
Рис. 268.
Рис. 269.
Пример 2. На рис. 269 показана пара подобно расположенных треугольных пластинок. На одной из них изображена точка К. Построить соответствующую точку на второй.
Решение. Соединим К с одной из вершин треугольника, например с А. Полученная прямая пересечет сторону ВС в точке L. Находим соответствующую точку L как пересечение и ВС и строим искомую точку К на отрезке , пересекая его прямой ОК.
Теорема 2. Фигура, гомотетичная окружности (кругу), есть снова окружность (круг). Центры кругов подобно соответствуют.
Доказательство. Пусть С—центр окружности Ф радиуса R (рис. 270), О — центр подобия. Коэффициент подобия обозначим через k. Пусть С — точка, подобно соответствующая центру С окружности . (Мы еще не знаем, будет ли она сохранять роль центра!) Рассмотрим всевозможные радиусы окружности все они при преобразовании подобия перейдут в отрезки, параллельные себе и имеющие равные длины
Таким образом, все концы преобразованных радиусов разместятся вновь на одной окружности с центром С и радиусом R, что и требовалось доказать.
Рис. 270.
Обратно, любые две окружности находятся в гомотетичном соответствии (в общем случае даже двояком, с двумя разными центрами).
Действительно, проведем любой радиус первой окружности (радиус СМ на рис. 271) и оба параллельных ему радиуса второй окружности. Точки пересечения линии центров СС и прямых, соединяющих конец радиуса СМ с концами радиусов, параллельных ему, т. е. точки О и О» на рис. 271, могут быть приняты за центры гомотетии (первого и второго рода).
Рис. 271.
В случае концентрических окружностей имеется единственный центр гомотетии — общий центр окружностей; равные окружности находятся в соответствии гомотетии с центром в середине отрезка .
Макеты страниц
1. Определение преобразования подобия. Непосредственным обобщением движений являются преобразования подобия. Преобразование А называется преобразованием подобия, если для этого преобразования существует такое положительное число подобия», что каковы бы были две точки , всегда
При этом, как всегда, через М обозначаем образ точки М. Если , то получаем изометрические преобразования, т. е. движения, являющиеся, таким образом, частным случаем преобразований подобия.
Замечание 1. Легко видеть, что преобразования подобия образуют группу — подгруппу в группе всех преобразований (плоскости, соответственно пространства).
2. Равномерное растяжение (гомотетия). Сначала рассмотрим простейшие преобразования подобия, так называемые равномерные растяжения, или гомотетические преобразования (гомотетии). Растяжением пространства (плоскости) с центром О и коэффициентом растяжения k называется преобразование А, состоящее в следующем:
V Точка О остается неподвижной.
2 Всякая точка переходит в точку М, лежащую на луче ОМ и определяемую на нем условием ОМ .
Таким образом, название «растяжение» соответствует наглядной картине преобразования лишь при наше «растяжение» в действительности оказывается сжатием.
Замечание 2. Так как векторы и ОМ лежат на одной и той же полупрямой, исходящей из точки О, то они имеют одно и то же направление. Поэтому из равенства следует и .
Докажем, что всякое растяжение является преобразованием подобия. В самом деле, пусть при растяжении с центром О и коэффициентом к точки переходят соответственно в точки и М, (рис. 150). Тогда . Треугольники подобны, и, значит, , что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что растяжение с центром О и коэффициентом k есть аффинное преобразование. Можно ограничиться случаем плоскости.
Возьмем произвольный координатный репер с началом в центре данного растяжения (рис. 151). Пусть — произвольная точка плоскости, — ее образ при данном растяжении (координаты относительно репера ). Тогда имеем равенство , эквивалентное системе равенств
доказывающей наше утверждение.
Обратно, если в какой-нибудь аффинной координатной системе . Преобразование А записывается в виде (2), то оно есть растяжение с центром О и коэффициентом растяжения k. В самом деле, преобразование — А, оставляя точку О на месте, переводит всякий вектор в вектор , откуда и следует утверждение.
Рис. 150.
Рис. 151.
Итак, растяжение плоскости с центром О и коэффициентом k может быть определено как аффинное преобразование, которое в , и тогда непременно во всякой, аффинной системе координат с началом О записывается в виде (2).
Замечание 3. Мы всегда в качестве исходной системы координат можем выбрать прямоугольную систему.
Совершенно аналогичный результат имеет место и для пространства.
Замечание 4. Все растяжения с данным центром образуют группу — подгруппу группы аффинных преобразований (плоскости, соответственно пространства).
3. Представление преобразования подобия в виде произведения растяжения и движения. Из сказанного до сих пор еще не ясно, является ли всякое преобразование подобия аффинным преобразованием. Положительный ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме, которая и представляет собою основной результат этого параграфа.
Теорема 11. Всякое преобразование подобия с коэффициентом подобия k есть аффинное преобразование, а именно произведение растяжения с тем же коэффициентом k и произвольным центром О на некоторое собственное или несобственное движение A.
Доказательство. Пусть Q есть растяжение с произвольным центром О и коэффициентом — L. При преобразовании длина каждого отрезка умножается на k, а при преобразовании Q она умножается на поэтому, если сделать сначала преобразование Q, а потом преобразование то получим преобразование при котором длина каждого отрезка остается неизменной. Другими словами, преобразование есть изометрическое преобразование, т. е. движение, собственное или несобственное.
Преобразование , обратное к преобразованию Q, есть, очевидно, растяжение с центром О и коэффициентом .
Сделаем теперь сначала преобразование , а затем преобразование А, т. е. рассмотрим произведение этих преобразований; получим . Итак, наше преобразование представлено в виде произведения преобразования , т. е. растяжения с коэффициентом k и произвольным центром О, на движение А. Так как и , и А суть аффинные преобразования, то аффинным преобразованием является и их произведение . Теорема доказана.
Как всякое аффинное преобразование, преобразование подобия может быть собственным или несобственным. Так как в представлении
преобразование (растяженне) собственное, то движение А будет собственным или несобственным в зависимости от того, будет ли собственным или несобственным данное преобразование подобия .
Малоязовская башкирская гимназия
Геометрия
Реферат
на тему:
“Преобразования фигур”
Выполнил: ученик 10 Б класса
Халиуллин А.Н.
Проверила: Исрафилова Р.Х.
Малояз 2003 год
План:
I. Преобразование.
II. Виды преобразований
1. Гомотетия
2. Подобие
3. Движение
III. Виды движения
1. Симметрия относительно точки
2. Симметрия относительно прямой
3. Симметрия относительно плоскости
4. Поворот
5. Параллельный перенос в пространстве
I.Преобразование — смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.
II.Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение.
Подобие
Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY.
Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.
2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми
3. Подобие переводит плоскости в плоскости.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.
Гомотетия
Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.
Свойство гомотетии:1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1).
Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и a — любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости a. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость aперейдет в плоскость a’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости a и a’ параллельны, что и требовалось доказать.
Движение
Движением — преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = XY
Свойства движения:1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A1,B1,C1. То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A1 и C1.
Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A1,B1,C1 лежат на одной прямой.
Если точка A1,B1,C1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A1C1 < A1B1 + B1C1. По определению движения отсюда следует, что AC<AB+BC. Однако по свойству измерения отрезков AC=AB+BC.
Мы пришли к противоречию. Значит, точка B1 лежит на прямой A1C1. Первое утверждение теоремы доказано.
Покажем теперь, что точка B1 лежит между A1 и C1. Допустим, что точка A1 лежит между точками B1 и C1. Тогда A1B1 + A1C1 = B1C1, и, следовательно, AB+AC=BC. Но это противоречит неравенству AB+BC=AC. Таким образом, точка A1 не может лежать между точками B1 и C1.
Аналогично доказываем, что точка C1 не может лежать между точками A1 и B1.
Так как из трех точек A1,B1,C1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B1. Теорема доказана полностью.
2. При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки
3. При движении сохраняются углы между полупрямыми.
Доказательство. Пусть AB и AC – две полупрямые, исходящие из точки A, не лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые A1B1 и A1C1. Так как движение сохраняет расстояние, то треугольники ABC и A1B1C1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B1A1C1, что и требовалось доказать.
4. Движение переводит плоскость в плоскость.
Докажем это свойство. Пусть a — произвольная плоскость. Отметим на ней любые три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость a’.
Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость a переходит в плоскость a’.
Пусть X — произвольная точка плоскости a. проведем через нее какую-нибудь прямую a в плоскости a, пересекающую треугольник ABXC в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую a’. Точки Y и Z прямой a перейдут в точки Y’ и Z’, принадлежащие треугольнику A’B’C’, а значит, плоскости a’.
Итак прямая a’ лежит в плоскости a’. Точка X при движении переходит в точку X’ прямой a’, а значит, и плоскости a’, что и требовалось доказать.
В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.
III. Виды движения: симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, симметрия относительно плоскости, поворот, движение, параллельный перенос.
Симметрия относительно точки
Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка OX за точку O отрезок OX’, равный OX. Точка X’ называется симметричной точкеXотносительно точкиO. Точка, симметричная точке O, есть сама точка O. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая ее точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной точке O, называется преобразованием симметрии относительно точкиO. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно точкиO.
Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрии.
Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей.
Теорема:Преобразование симметрии относительно точки является движением.
Доказательство. Пусть X и Y — две произвольные точки фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X’ и Y’. Рассмотрим треугольники XOY и X’OY’. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольника. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OX=OX’, OY=OY’ по определению симметрии относительно точки O. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY=X’Y’. А значит, что симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана.
Симметрия относительно прямой
Пусть g — фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр AX н прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку A отложим отрезок AX’, равный отрезку AX. Точка X’ называется симметричной точкеXотносительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая ее точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрииотносительно прямой g. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно прямойg.
Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямойg, а прямая g называется осью симметрии фигуры.
Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, является осями симметрии прямоугольника. Прямые на которых лежат диагонали ромба, является его осями симметрии.
Теорема:Преобразование симметрии относительно прямой является движением.
Доказательство. Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат. Пусть произвольная точка A (x;y) фигуры F переходит в точку A’ (x’;y’) фигуры F’. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A’ равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: x’ = -x.
Возьмем две произвольные точки A (x;y) и B (x;y). Они перейдут в точки A’ (-x;y) и B’ (-x;y).
Имеем:
AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
A’B’2=(-x2+ x1) 2+(y2-y1)2
Отсюда видно, что AB=A’B’. А значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.
Симметрия относительно плоскости
Пусть a — произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр XA на плоскость a и на его продолжении за точку Aоткладываем отрезок AX’, равный XA. Точка X’ называется симметричной точке X относительно плоскости a, а преобразование, которое переводит X в симметричную ей точку X’, называется преобразованием симметрии относительно плоскостиa.