Какие свойства понятий прямоугольник изучают начальном курсе математики
Лекция 7. Математические понятия
1. Группы понятий, изучаемых в начальном курсе математики. Особенности математических понятий.
2. Объем и содержание понятия.
3. Отношения между понятиями.
4. Операции с понятиями: обобщение, ограничение, определение и деление понятия.
5. Правила, необходимые при формулировке определения понятий через род и видовое отличие.
6. Контекстуальные и остенсивные определения. Описание, сравнение.
Группы понятий, изучаемых в начальном курсе математики. Особенности математических понятий.
Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.
Как же изучать такое обилие самых разных понятий?
Прежде всего, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.
В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.
Составить понятие об объекте — это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов.
Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».
Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».
Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.
К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. B математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функций, т.е. абстракцией от абстракций.
Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.
2. Объем и содержание понятия
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.
Среди свойств объекта различают существенные и несущественные.
Свойство считают существеннымдля объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата ABCD свойство «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона AD окажется расположенной по-другому (рис. 26). Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства.
Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».
Любое понятие характеризуется словом, объемом и содержанием.
Объем понятия а — это множество всех объектов, которые можно назвать данным словом (термином)
Содержание понятия а — это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.
Пример. Выделим объем и содержание понятия «прямоугольник».
Объем понятия — это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т. д.
Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).
Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.
Геометрический материал в начальном курсе математики
Основной задачей изучения геометрического материала в 1 — 4 классах является формирование у обучающихся четких представлений и понятий о таких геометрических фигурах, как точка, прямая линия, отрезок прямой, ломаная линия, угол, многоугольник, круг.
Одной из задач обучения является выработка у учащихся практических умений измерения и построения геометрических фигур с помощью чертежных и измерительных инструментов и без них (измерить на глаз, начертить от руки и т.п.). Следует также дать первоначальные представления о точности построений и измерений.
Также существуют и другие задачи изучения геометрического материала: формирование геометрических представлений; формирование пространственных представлений и развитие воображения, умений наблюдать, сравнивать, абстрагировать и обобщать; формирование умений использовать наглядность в приобретении знаний.
При изучении геометрического материала следует широко использовать разнообразные наглядные пособия. Это демонстрационные, общеклассные пособия: геометрические фигуры, изготовленные из цветного картона или плотной бумаги, плакаты с изображениями предметов различной формы, геометрических фигур; чертежи на доске, презентации. Кроме того, требуются индивидуальные наглядные пособия — такой раздаточный материал, как полоски бумаги, палочки различной длины, вырезанные из бумаги фигуры и части фигур. При изучении отдельных тем полезно изготовить с детьми самодельные наглядные пособия: модель прямого угла, раздвижную модель угла (малку), палетку, модели единиц измерения длины, площади и др.
Содержание обучения представлено в программе разделами, среди которых выделяют разделы, связанные с изучением геометрического материала. («Пространственные отношения. Геометрические фигуры», «Геометрические величины»)
Программа включает рассмотрение пространственных отношений между объектами, ознакомление с различными геометрическими фигурами и геометрическими величинами. Школьники научатся распознавать и изображать точку, прямую и кривую линии, отрезок, луч, угол, ломаную, многоугольник, различать окружность и круг. Они овладеют навыками работы с измерительными и чертёжными инструментами (линейка, чертёжный угольник, циркуль). В содержание включено знакомство с простейшими геометрическими телами: шаром, кубом, пирамидой. Изучение геометрического материала создаёт условия для развития пространственного воображения детей и закладывает фундамент успешного изучения систематического курса геометрии в основной школе.
Программа также предусматривает ознакомление с геометрическими величинами (длина, площадь, вместимость) и их измерением, с единицами этих величин и соотношениями между ними.
Последовательность изучения геометрического материала в начальной школе по А.В. Белошистая «Методика обучения математике в начальной школе» представлена в таблице. (Таблица 1)
Таблица 1
Последовательность изучения геометрического материала
в начальной школе
1 класс
2 класс
3 класс
4 класс
Точка
Линия
Прямая и кривая линии
Отрезок
Луч. Числовой луч
Ломаная. Звенья ломаной
Многоугольники
Углы. Прямой угол
Прямоугольник
Квадрат
Периметр прямоугольника и квадрата
Длина ломаной
Площадь прямоугольника и квадрата.
Круг. Окружность. Треугольник: равносторонний, прямоугольный, тупоугольный, остроугольный треугольник.
Представление о телах: куб, шар, пирамида
Виды работ при изучении геометрического материала: распознавание линий, распознавание фигур, измерение отрезка, построение отрезка, построение фигуры (четырёхугольника) и деление его на два треугольника, построение ломаной линии с определённым количеством звеньев, доработка ломаной линии до треугольника, логические задания на нахождение недостающей фигуры в квадрате, нахождение определённого количества фигур, заключённых в другую фигуру, рассказ о фигуре (Например, название — многоугольник, восьмиугольник; количество сторон, углов – 8; границей является замкнутая ломаная линия, состоящая из 8 звеньев; стороны многоугольника – это звенья ломаной), работа с понятиями «за», «перед», «слева», «справа», «вверху», «внизу» и т.д., нахождение ошибок при определении количества сторон «необычных фигур», составление фигур из фигур меньшего размера (квадрат, прямоугольный треугольник, трапеция).
Геометрический материал не выделяется в программе для начальных классов в качестве самостоятельного раздела. В учебном процессе изучение элементов геометрии непосредственно связывается с изучением арифметических вопросов.
Изучение геометрического материала способствует накоплению запаса представлений о геометрических фигурах; развитию пространственного воображение, логического мышления; развитию важных практических умений и навыков; подготовке учащихся к дальнейшему изучению геометрии.
Ведущую роль при изучении геометрического материала играют систематически проводимые практические работы по формированию умений и навыков, связанных с применением чертежных и измерительных инструментов, с выполнением простейших чертежей с построением геометрической фигур. При этом необходимо формировать умение давать словесно описание выполняемых действий, умение применять символику и терминологию.
Методика ознакомления учащихся с геометрическими фигурами связано с задачами изучения темы:
1. Формировать четкие представления о таких геометрических фигурах, как точка, отрезок, угол, многоугольник, прямоугольник, квадрат и.т.д.
2. Формировать практические умения и навыки построения геометрических фигур, как с помощью чертёжных инструментов так и без них.
3. Развивать пространственные представления учащихся.
Общие представления у учащихся о геометрических фигурах уточняются при усвоении темы «Изучение чисел в пределах 10». Сначала эти фигуры (круги, треугольники, квадраты, и другие) используются как счетный материал. Дети оперируют ими, отсчитывая, например, 5 треугольников, 3 квадрата, 8 кружков, считая большие и маленькие круги, красные и синие треугольники. При этом уточняются названия геометрических фигур. Знакомя учащихся с отрезком, учитель использует окружающие предметы (ручку, карандаш, планку) и показывает, как изобразить отрезок на бумаге.
Дети учатся находить отрезки на окружающих их предметах (край доски, стола и т.д.) и на геометрических фигурах (стороны треугольников и.т.п.). При этом важно научить детей правильно показывать точки и отрезки.
В процессе формирования навыков построения отрезков следует предъявлять большие требование к качеству выполняемых чертежей.
Изучение прямой линии развивает один из основных компонентов пространственных представлений — понятие о линейной протяженности. Познание линейной протяженности формируется как на уроках математики, так и на уроках рисования, физкультуры, труда, начиная с первых шагов обучения. Эти знания развиваются в двух направлениях: в процессе измерительных операций и при оценке на глаз расстояний или соотношения размеров предметов. Когда дети рисуют предметы, то они сравнивают на глаз линейные соотношения их размеров.
Параллельно с этим измерительные операции уточняют их знания о протяженности, устанавливают связь между пространственными и количественными представлениями. Постепенно эти ассоциации крепнут, уточняются и развиваются представления о протяженности, сближаются результаты, полученные измерением инструментом и на глаз.
Образ прямой линии можно иллюстрировать при помощи натянутой нити или резинового шнура, ребер геометрических тел, следа на листе бумаги после перегибания его, следа движущейся точки. Ученики могут находить прямые линии на многих предметах, находящихся вокруг них в классе и вне класса, указывают случаи из практики, когда нужно прокладывать прямые линии (при постройке домов, сараев, заборов, дорог, при посадке деревьев и т. д.)
У школьников формируется понятие о прямой линии (неограниченной), о луче, ограниченном начальной точкой, и об отрезке, ограниченном с двух сторон.
В результате указанных упражнений дети могут приобрести ряд понятий и знаний. О точке дети должны знать, что она не имеет измерений; точки могут располагаться на прямой, вне прямой, по одну или разные стороны прямой.
Линия имеет только одно измерение — длину; туго натянутый резиновый шнур изображает прямую линию. Прямая линия может быть продолжена сколько угодно в обе стороны, то есть она не имеет концов или границ (это хорошо показать, растягивая резиновый шнур). Через две точки можно провести только одну прямую линию. Через одну точку можно провести сколько угодно прямых линий.
Луч — это часть прямой линии, ограниченной с одной стороны.
Часть прямой, ограниченной с обеих сторон, называется отрезком.
Линия, состоящая из нескольких отрезков или из отрезков и лучей, называется ломаной. Прямые линии, лучи, отрезки обозначаются буквами. Прямые линии на плоскости могут пересекаться, могут пересечься при их продолжении, могут не пересекаться, сколько бы их ни продолжали (параллельные линии).
Отрезки могут быть равными и неравными. Их можно складывать, находить их сумму, разность; отрезки можно умножать на целое число, делить на равные части. Учащиеся должны уметь пользоваться линейкой, циркулем, угольником для черчения, измерения и выполнения действий над отрезками.
Знакомство с углами удобно провести на шарнирной модели. Можно сначала дать образ прямого угла. Путем двойного перегибания листа бумаги ученики получают модель прямого угла, пользуясь которой выполняют различные упражнения: накладывают эту модель на углы, тетради, книги и убеждаются, что эти углы прямые; строят прямые углы на клетчатой и нелинованной бумаге.
Ученики находят прямые углы на различных предметах. Необходимо строить прямые углы в различном положении на плоскости.
Благодаря указанным упражнениям ученики могут получить об углах следующие сведения:
Элементы угла: стороны, вершина.
Понятие о прямом угле: уметь его строить на клетчатой и нелинованной бумаге, изготовлять модель прямого угла перегибанием листа бумаги.
Углы острые и тупые: уметь сравнивать их по величине с прямым углом, изготовлять их модели.
Уметь находить различные углы на предметах окружающей обстановки.
Если последовательно соединить несколько точек, расположенных так, чтобы их соединение дало замкнутую ломаную линию, то создается образ многоугольника: четырехугольника, пяти или шестиугольника и т. д.
Приступая к изучению прямоугольника и квадрата, учитель строит на доске несколько выпуклых четырехугольников, чтобы выделить из них фигуры прямоугольника и квадрата. Желательно раздать ученикам такие же фигуры, вырезанные из картона или бумаги, изготовленные заранее самими детьми. Выясняется сначала то общее, что имеется у всех этих фигур — 4 стороны и 4 угла. Отсюда название — четырехугольники. Затем устанавливается различие. Ученики, конечно, будут называть и несущественные признаки (размеры фигур, их расположение). Надо направить внимание детей на виды углов, затем последовательно рассмотреть фигуры, имеющие 1, 2 и 4 прямых угла. Отсюда название фигуры с четырьмя прямыми углами — прямоугольник.
Изучение свойств прямоугольника протекает на основе практических работ учащихся: измерения углов, сторон, перегибания по осям симметрии. Основной прием, применяемый обычно учителями при введении геометрических понятий — это выделение основных, существенных свойств фигуры, при этом не обращается внимание учеников на различное расположение фигур на плоскости, разное соотношение сторон и т. д. Это приводит к тому, что некоторые из учеников не получают правильного представления о фигурах.
В частности, при изучении четырехугольников, чтобы отделить существенные признаки от несущественных, полезны такие упражнения: начертить несколько четырехугольников с различной величиной сторон, углов, различно расположенных на плоскости, и установить в беседе с детьми, имеет ли значение для названия фигуры четырехугольник длина сторон, величина углов, расположение фигуры. Начертив целый ряд прямоугольников с самым различным соотношением сторон и расположением на плоскости, провести аналогичную беседу о существенных и несущественных признаках.
Изменив на чертеже у какого-либо прямоугольника величину одного из углов, выявить нарушение существенного признака. Удлинив на равную величину противоположные стороны прямоугольника, мы сохраняем существенные признаки. Точно так же сохраняем существенные признаки, изменяя окраску и материал, из которого изготовлены модели прямоугольников. Можно повернуть окрашенные с двух сторон в различные цвета прямоугольники и убедиться в сохранении основных свойств. Те же вариации нужно проделать и с квадратом. Аналогичные упражнения и беседы следует проводить при изучении других геометрических фигур.
Геометрический материал очень важно дополнить фигурами круга и окружности, которые необходимы на уроках математики, рисования и труда. Дети должны знать центр, радиус и диаметр окружности уметь начертить окружность заданного радиуса.
В результате изучения геометрического материала ученики получат следующие понятия и умения:
— общее понятие о многоугольнике, четырехугольнике, о различных видах четырехугольников;
— понятие о прямоугольнике и квадрате как частных видах четырехугольников. Их свойства, сходство и различие;
— умение строить прямоугольник и квадрат по клеткам и на нелинованной бумаге;
— умение вычислить периметр прямоугольника и квадрата;
— умение преобразовывать и комбинировать фигуры, образуя их из треугольников, прямоугольников и квадратов;
— некоторые понятия о треугольниках, их элементах, об окружности и ее элементах.;
— умение находить указанные формы на предметах окружающей обстановки.
Изучение геометрического материала создаёт условия для развития пространственного воображения детей и закладывает фундамент успешного изучения систематического курса геометрии в основной школе.
Литература
Бантова М.А. Методика преподавания математики в начальной школе/М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова – М.: Просвещение, 1984. – 376 с.
Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций/А.В. Белошистая. – М.: Владос, 2016. – 458 с.
Зайцева С.А. Методика обучения математике в начальной школе/С. А. Зайцева, И. Б. Румянцева, И. И. Целищева. – М.: Владос, 2008. – 192 с.
Калинченко А.В. Методика преподавания начального курса математики: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования/А.В. Калинченко, Р.Н. Шикова, Е.Н. Леонович; под ред. А.В. Калинченко. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 208 с.