Какие свойства параллельного переноса

Параллельный перенос

Теперь рассмотрим, какие бывают виды движения. Будем использовать нашу аналогию с бесконечным листом бумаги. Одно из возможных движений – передвинуть его вдоль плоскости. В этом случае все точки сдвинутся на один и тот же вектор.

Действительно, передвинем произвольный треугольник. Если соединять прообразы с их образами, то получим равные векторы перемещения. Т. к. все они параллельны друг другу, то такое перемещение называют параллельным переносом. Дадим ему формальное определение.

Пусть задан вектор . Параллельный перенос – это такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка плоскости  отображается в точку  таким образом, что

 (см. рис. 13). Проще говоря, параллельный перенос – это такое отображение, при котором каждая точка перемещается на вектор . Чтобы задать параллельный перенос, нужно задать этот вектор .

Рис. 13. Параллельный перенос

Является ли параллельный перенос движением? В нашем представлении, конечно, да. Но докажем этот факт формально. Чтобы это сделать, нужно показать, что параллельный перенос сохраняет расстояние между точками.

Теорема 2. Параллельный перенос сохраняет расстояние между точками.

Доказательство

Пусть задано движение вектором . Рассмотрим произвольные точки  и . Их образами являются точки  и  (см. рис. 14).

Рис. 14. Движение задано вектором , точки  и  – образы  и 

По определению параллельного переноса:

Значит, в четырехугольнике  две противоположные стороны равны и параллельны:

Но тогда это параллелограмм (ответьте, почему). А значит, и другие две противоположные стороны равны друг другу:

Т. е. расстояние между прообразами  и расстояние между образами  равны.

Мы показали, что параллельный перенос сохраняет расстояние, а следовательно, является движением.

Доказано.

Поворот

Еще один вариант движения – повернуть лист бумаги. Понятно, что одна из точек при этом окажется неподвижной (центр поворота). Это уже говорит о том, что поворот не является параллельным переносом (при параллельном переносе ни одна из точек не останется на месте). Дадим строгое определение поворота.

Выберем точку  – центр поворота – и угол , на который будем поворачивать. Выберем теперь произвольную точку  и повернем ее вокруг точки  на угол . Для этого найдем ее образ  такой, что , а угол  (см. рис. 15).

Рис. 15. Поворот

Если для параллельного переноса нужно было задать вектор этого переноса, то, чтобы задать поворот, необходимо указать центр поворота  и угол поворота .

Направление против часовой стрелки договорились считать положительным. Поэтому если речь идет о повороте на положительный угол , то поворачивать будем именно против часовой стрелки (см. рис. 16).

Рис. 16. Поворот против часовой стрелки: 

Если необходим поворот по часовой стрелке, скажем на , то нужно указать угол поворот  (см. рис. 17).

Рис. 17. Поворот по часовой стрелке: 

Покажем, что при повороте сохраняются расстояния между точками, т. е. поворот является движением.

Теорема 3. При повороте сохраняются расстояния, т. е. поворот является движением.

Доказательство

Повернем точки  и  вокруг точки  на угол . Получим их образы  и  (см. рис. 18).

Рис. 18. Точки  и  повернули вокруг точки  на угол  и получили их образы  и 

Надо доказать, что расстояние не изменилось, т. е.:

Для этого покажем, что равны треугольники  и  (см. рис. 19).

Рис. 19. Рассматриваемые треугольники  и 

В самом деле, углы при вершине  у них равны как сумма общего угла  и угла :

По определению поворота:

Тогда треугольники  и  равны по первому признаку равенства. Итак, поворот является движением, т. к. сохраняет расстояние между точками.

Доказано.

Осевая симметрия

Два рассмотренных движения (параллельный перенос и поворот) при их комбинировании задают практически любое движение, которое мы можем представить.

В самом деле, передвиньте книгу по столу так, как вам этого захочется. Движение книги можно разложить на два (см. рис. 20): параллельный перенос до того места, где она находится теперь, и поворот до того положения, в котором она оказалась. Можно сказать, что все движения можно описать параллельным переносом и поворотом.

Рис. 20. Разложение движения книги на два: параллельный перенос и поворот

Но с помощью такого движения мы никогда не сможем получить книгу, повернутую к нам другой стороной обложки – как бы мы ее ни переносили и ни поворачивали, ее ориентация в пространстве не изменится. И здесь нам на помощь придет симметрия, о которой мы говорили в начале урока. Вспомните: в зеркале правая рука становится левой.

Две точки  и  называются симметричными относительно прямой , если прямая проходит через середину отрезка  перпендикулярно ему (см. рис. 21).

Рис. 21. Точки  и , симметричные относительно прямой 

Понятно, что для любой точки  всегда существует симметричная точка  и причем единственная. Зададим отображение, используя это понятие.

Осевой симметрией относительно прямой  называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка плоскости переходит в точку, ей симметричную относительно прямой  (см. рис. 22).

Рис. 22. Осевая симметрия

Нетрудно показать, что такое отображение сохраняет расстояние.

 Теорема 4. При осевой симметрии сохраняются расстояния, т. е. осевая симметрия является движением.

Доказательство

Рассмотрим случай, когда оба прообраза (точки  и ) лежат с одной стороны от оси симметрии  (см. рис. 23).

Рис. 23. Точки  и  лежат с одной стороны от оси симметрии 

Построим их образы, точки  и , симметричные относительно прямой  (см. рис. 24).

Рис. 24. Точки  и  – образы точек  и 

Необходимо доказать:

Сделать это можно, например, так: построим два прямоугольных треугольника  и  (см. рис. 25).

Рис. 25. Рассматриваемые прямоугольные треугольники  и 

Видим ли мы, что четырехугольник  – прямоугольник? Да, видим.

Стороны и  перпендикулярны одной прямой, а значит, параллельны друг другу:

Стороны  и  тоже перпендикулярны одной прямой, следовательно, тоже параллельны:

Четырехугольник уже параллелограмм, и у него уже есть два прямых угла. Он прямоугольник, тогда:

Вычтем из них равные отрезки  и  и получим:

Тогда в двух прямоугольных треугольниках  и  катеты попарно равны, что является признаком равенства треугольников. Раз треугольники равны, то равны их гипотенузы , т. е. расстояния между прообразами и образами. Осевая симметрия сохраняет расстояние и является движением.

Доказано.

Существуют, конечно, и другие варианты расположения прообразов относительно оси симметрии. Вот некоторые из них (см. рис. 26). Попробуйте самостоятельно доказать сохранение расстояний в этих случаях.

Рис. 26.  Некоторые варианты расположения прообразов относительно оси симметрии

Легко убедиться, что осевая симметрия не сводится к параллельному переносу и повороту – именно симметричный себе образ мы видим в зеркале. Конечно, если «выйти» из плоскости и рассмотреть движение в пространстве, то осевую симметрию можно свести к переносу и повороту – при повороте в пространстве наша книга может поменять ориентацию. Но мы рассматриваем только преобразования плоскости, и в этом случае осевая симметрия – отдельный вид движения.

Если некая осевая симметрия переводит фигуру саму в себя, то ось симметрии называют осью симметрии фигуры.

У одной фигуры может быть одна, несколько или бесконечное количество осей симметрии. Например, у равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является осью симметрии (см. рис. 27). У произвольного прямоугольника две оси симметрии. Посчитайте, сколько осей симметрии у равностороннего треугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, круга.

Рис. 27. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является осью симметрии

Центральная симметрия

Последним движением, которое мы рассмотрим, является центральная симметрия. Центральная симметрия – это симметрия относительно выбранной точки, центра симметрии.

Зафиксируем точку  – это будет центр симметрии. Выберем произвольную точку . Точка  будет ее образом, если точка  является серединой отрезка  (см. рис. 28).

Рис. 28. Центральная симметрия

Доказательство того факта, что центральная симметрия является движением, т. е. сохраняет расстояния между точками, элементарно.

Теорема 5. При центральной симметрии сохраняются расстояния, т. е. центральная симметрия является движением.

Доказательство

Построим для двух прообразов  и  их образы  и , т. е. точки, симметричные относительно центра симметрии  (см. рис. 29).

Рис. 29. Точки  и  симметричны относительно центра симметрии  точкам  и 

Полученные два треугольника  и  равны по первому признаку:

1. углы  (как вертикальные);
2. стороны  (по определению симметрии);
3. стороны  (по определению симметрии).

Следовательно, отрезки:

Т. е. расстояния при центральной симметрии сохраняются.

Доказано.