Какие свойства имеет прямоугольный треугольник
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 февраля 2020;
проверки требуют 14 правок.
Прямоугольный треугольник
Πрямоуго́льный треугóльник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть 90 градусов).
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.
Связанные определения[править | править код]
- Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
- Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.
Типы прямоугольных треугольников[править | править код]
- Если катеты равны, то треугольник называется равнобедренным прямоугольным треугольником.
- Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются натуральными числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.
Признаки равенства прямоугольных треугольников[править | править код]
- По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак немедленно следует из первого признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равны по два катета и прямой угол.
- По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
Этот признак немедленно следует из второго признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равен один катет, прилежащий к нему угол и прямой угол.
- По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак следует из второго признака равенства треугольников, так как вторые острые углы будут равны по теореме о сумме углов треугольника и у треугольников будут равны гипотенузы и два прилежащих к ней угла.
- По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак докажем так. Наложим два треугольника друг на друга так, чтобы получить равнобедренный треугольник, то есть совместим их равными катетами так, чтобы углы, лежащие при этих катетах, лежали в разных плоскостях. Так как гипотенузы равны, получившийся треугольник — равнобедренный, тогда углы при основании равны. Тогда два прямоугольных треугольника будут равны по гипотенузе и острому углу.
- По катету и противолежащему острому углу: если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак доказывается так: если один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго треугольника, то второй острый угол будет известен по теореме о сумме углов треугольника. Так как второй острый угол прилегает к катету, то далее равенство треугольников будет доказываться по предыдущей теореме.
Свойства[править | править код]
Далее предполагаем, что и длины катетов, а длина гипотенузы
- (Теорема Пифагора)
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,
Высота[править | править код]
Высота прямоугольного треугольника.
Если высота проведена к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме:[1]
- Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть
(иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)
- Каждый катет треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть
- В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, то есть
Кроме того высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:[2][3]
и
Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:
, где — это радиус вписанной окружности, а — серебряное сечение.
Характеристики[править | править код]
Треугольник ABC со сторонами a, b, c (где c — самая длинная сторона), с описанной окружностью радиуса R является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из следующих соотношений:[4]
Тригонометрические соотношения[править | править код]
Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого данного угла можно построить прямоугольный треугольник, содержащий такой угол, и со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой, связанными с этим углом определёнными выше соотношениями. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а зависят только от заданного угла, так как все треугольники, построенные таким образом, являются подобными. Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:
И таким образом:
- Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла
- Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла
- Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла
- Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла
- Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними)
Специальные прямоугольные треугольники[править | править код]
Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определённых углов, используя прямоугольные треугольники с особыми значениями углов. К таким треугольникам относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любых значений, кратных π/6, и треугольник 45-45-90 (равнобедренный прямоугольный), который можно использовать для оценки тригонометрических функций для значений, кратных π/4.
В частности,
- Катет, лежащий против острого угла в 30° (и соответственно, прилежащий к углу в 60°), равен половине гипотенузы.
Теорема Фалеса[править | править код]
Медиана прямого угла треугольника
Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.
Другие свойства[править | править код]
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:
Если отрезки длиной p и q, исходящие из вершины C, делят гипотенузу на три равных отрезка длины c/3, то:[5]:pp. 216-217
Прямоугольный треугольник является единственным треугольником с двумя, а не тремя, отличными друг от друга вписанными квадратами.[6]
Пусть h и s (h>s) являются сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Тогда:
Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырех описанных окружностей:
Если заданы S и r, то стороны треугольника находятся по формулам:
Во всех прямоугольных треугольниках медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.
Окружность девяти точек касается описанной окружности того же треугольника в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идет в вершине прямого угла треугольника.
Вариации и обобщение[править | править код]
- Четырёхугольники с перпендикулярными парами элементов: с 2 перпендикулярными сторонами и с 2 перпендикулярными диагоналями,- вырождаются в прямоугольный треугольник, если длина одной нужной стороны (из их 4 сторон), лежащей вблизи прямого угла или же опирающейся концами на этот угол, стремится к нулю.
- Если в прямоугольном треугольнике провести отрезок, параллельный его гипотенузе, то он разрежет этот треугольник на подобный ему же прямоугольный треугольник и трапецию. При этом сумма углов при одном из оснований трапеции будет равна 90°, а продолжения боковых сторон трапеции пересекутся под прямым углом. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований указанной трапеции, равен полуразности оснований. Данное утверждение обобщает свойство: медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна половине длины гипотенузы.
Примечания[править | править код]
- ↑ Wentworth p. 156
- ↑ Voles, Roger, «Integer solutions of ,» Mathematical Gazette 83, July 1999, 269—271.
- ↑ Richinick, Jennifer, «The upside-down Pythagorean Theorem, » Mathematical Gazette 92, July 2008, 313—317.
- ↑ Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, «Complex Numbers from A to…Z», Birkhäuser, 2006, pp. 109—110.
- ↑ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
- ↑ Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278—284.
Ccылки[править | править код]
- Calculator for right triangles
- Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Wentworth, G.A. A Text-Book of Geometry (неопр.). — Ginn & Co., 1895.
Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).
Прямоугольный треугольник (понятие, определение)
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Свойства прямоугольного треугольника
Формулы прямоугольного треугольника
Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник (понятие, определение):
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.
Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Катет (с греч. κάθετος – «перпендикуляр, опущенный, отвесный») – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол.
Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.
Рис. 1. Прямоугольный треугольник
АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°
Равнобедренный треугольник может быть прямоугольным (равнобедренным прямоугольным треугольником).
Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.
1. Равенство по двум катетам.
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам
АВ = А1В1, АС = А1С1
2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу
АВ = А1В1, ∠АВС = ∠А1В1С1
3. Равенство по гипотенузе и острому углу.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
ВС = В1С1, ∠АВС = ∠А1В1С1
4. Равенство по гипотенузе и катету.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету
ВС = В1С1, АС = А1С1
5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.
Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу
АС = А1С1, ∠АВС = ∠А1В1С1
Свойства прямоугольного треугольника:
1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.
И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚
b = c / 2
3. Теорема Пифагора:
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
c2 = a2 + b2 ,
где a, b – катеты, c – гипотенуза.
Рис. 8. Прямоугольный треугольник
4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.
,
где c – гипотенуза.
Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность
5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.
Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу
АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2
6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.
Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла
АВ/ВС = АН/АС = ВН/АВ
Формулы прямоугольного треугольника:
Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).
Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:
c2 = a2 + b2 ,
a2 = c2 – b2 ,
b2 = c2 – a2 .
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность
Формула радиуса описанной окружности (R):
.
Формулы площади (S) прямоугольного треугольника:
.
Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:
.
Квадрат
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Ромб
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта
Коэффициент востребованности
12 952
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей:
Стандартные обозначения в прямоугольных треугольниках
Определение. Прямоугольный треугольник – треугольник, один из углов которого прямой (равен ).
Прямоугольный треугольник – частный случай обычного треугольника. Поэтому все свойства обычных треугольников для прямоугольных сохраняются. Но есть и некоторые частные свойства, обусловленные наличием прямого угла.
Общепринятые обозначения (рис.1):
– прямой угол;
– гипотенуза;
– катеты;
.
Рис. 1.
Свойства прямоугольного треугольника.
Свойство 1. Сумма углов и прямоугольного треугольника равна .
Доказательство. Вспомним, что сумма углов любого треугольника равна . Учитывая тот факт, что , получаем, что сумма оставшихся двух углов равна То есть,
Свойства прямоугольного треугольника (сумма острых углов, соотношение длин катетов и гипотенузы, неравенство треугольника)
Свойство 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (является самой большой стороной).
Доказательство. Вспомним, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (и наоборот). Из доказанного выше свойства 1 следует, что сумма углов и прямоугольного треугольника равна . Так как угол треугольника не может равняться 0, то каждый из них меньше . Значит, является самым большим, а, значит, напротив него лежит наибольшая сторона треугольника. Значит, гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника, то есть: .
Свойство 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза меньше суммы катетов.
Доказательство. Это свойство становится очевидным, если вспомнить неравенство треугольника.
Неравенство треугольника
В любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.
Из данного неравенства сразу же следует свойство 3.
Примечание: несмотря на то, что каждый из катетов по отдельности меньше гипотенузы, их сумма оказывается больше. В числовом примере это выглядит так: , но .
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
1-й признак (по 2 сторонам и углу между ними): если у треугольников равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны между собой.
2-й признак (по стороне и двум прилежащим углам): если у треугольников равны сторона и два угла, прилежащие к данной стороне, то такие треугольники равны между собой.Примечание: пользуясь тем, что сумма углов треугольника постоянна и равна , легко доказать, что условие «прилежания» углов не является необходимым, то есть признак будет верен и в такой формулировке: «… равны сторона и два угла, то …».
3-й признак (по 3 сторонам): если у треугольников равны все три стороны, то такие треугольники равны между собой.
Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников. Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность – у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются. Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:
1-й признак (по двум катетам): если у прямоугольных треугольников катеты попарно равны, то такие треугольники равны между собой (Рис. 2).
Дано:
Рис. 2. Иллюстрация первого признака равенства прямоугольных треугольников
Доказать:
Доказательство: в прямоугольных треугольниках: . Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: .
2-й признак (по катету и углу): если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 3).
Дано:
Рис. 3. Иллюстрация второго признака равенства прямоугольных треугольников
Доказать:
Доказательство: сразу отметим, что тот факт, что равны углы, прилежащие к равным катетам, не является принципиальным. Действительно, сумма острых углов прямоугольного треугольника (по свойству 1) равна . Значит, если равна одна пара из этих углов, то равна и другая (так как их суммы одинаковы).
Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: .
3-й признак (по гипотенузе и углу): если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 4).
Дано:
Рис. 4. Иллюстрация третьего признака равенства прямоугольных треугольников
Доказать:
Доказательство: для доказательства этого признака можно сразу воспользоваться вторым признаком равенства треугольников – по стороне и двум углам (точнее, следствием, в котором указано, что углы не обязательно должны быть прилежащими к стороне). Действительно, по условию: , , а из свойств прямоугольных треугольников следует, что . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, и получить: .
4-й признак (по гипотенузе и катету): если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 5).
Дано:
Рис. 5. Иллюстрация четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников
Доказать:
Доказательство: для доказательства этого признака воспользуемся признаком равенства треугольников, который мы сформулировали и доказали на прошлом уроке, а именно: если у треугольников равны две стороны и больший угол, то такие треугольники являются равными. Действительно, по условию у нас есть две равных стороны. Кроме того, по свойству прямоугольных треугольников: . Осталось доказать, что прямой угол является наибольшим в треугольнике. Предположим, что это не так, значит, должен быть ещё хотя бы один угол, который больше . Но тогда сумма углов треугольника уже будет больше . Но это невозможно, значит, такого угла в треугольнике быть не может. Значит, прямой угол является наибольшим в прямоугольным треугольнике. А значит, можно воспользоваться сформулированным выше признаком, и получить: .
Сформулируем теперь ещё одно свойство, характерное только для прямоугольных треугольников.
Свойство
Катет, лежащий против угла в , в 2 раза меньше гипотенузы (Рис. 6).
Дано:
Рис. 6.
Доказать: AB
Доказательство: выполним дополнительное построение: продлим прямую за точку на отрезок, равный . Получим точку . Так как углы и – смежные, то их сумма равна . Поскольку , то и угол .
Значит, прямоугольные треугольники (по двум катетам: – общий, – по построению) – первый признак равенства прямоугольных треугольников.
Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, . Откуда: . Кроме того, (из равенства всё тех же треугольников). Значит, треугольник – равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен , – равносторонний. Из этого следует, в частности, что .
Свойство катета, лежащего против угла в
Стоит отметить, что верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше одного из катетов, то острый угол, лежащий напротив этого катета, равен .
Примечание: признак означает, что если какое-то утверждение верно, то треугольник является прямоугольным. То есть признак позволяет идентифицировать прямоугольный треугольник.
Важно не путать признак со свойством – то есть, если треугольник прямоугольный, то у него есть такие свойства… Часто признаки и свойства являются взаимно обратными, но далеко не всегда. Например, свойство равностороннего треугольника: в равностороннем треугольнике есть угол . Но это не будет признаком равностороннего треугольника, так как не любой треугольник, у которого есть угол , является равносторонним.
Можно привести и более жизненный пример: свойство слова «хлеб» – в слове «хлеб» 4 буквы. Но наличие 4 букв не является признаком слова «хлеб», так как существует множество слов из 4 букв.
Признак прямоугольного треугольника (медиана равна половине стороны, к которой проведена)
Признак прямоугольного треугольника:
Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник является прямоугольным, причём медиана проведена из вершины прямого угла.
Примечание: медиана – линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны (Рис. 7).
Дано:
Рис. 7.
Доказать:
Доказательство: поскольку , то – равнобедренные. Значит, углы при основаниях каждого из этих треугольников равны. То есть, , . Тогда сумма углов треугольника равна Значит, . Но: .
Теорема Пифагора: .
Решение прямоугольного треугольника:
;
;
.
Теоремы:
- Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: .
- Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику. Для любых сходственных элементов (медиана, биссектриса, радиусы вписанной и описанной окружностей и т. п.) исходного и полученных треугольников справедливо соотношение .
- Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна отношению произведения длин катетов и гипотенузы: .
- Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Ее основание является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус описанной окружности равен этой медиане и равен половине гипотенузы: .
- Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, уменьшенной на гипотенузы: